W doświadczeniu losowym wykonujemy jakieś działanie, ale nie wiemy z góry, jaki wynik otrzymamy.
Przykłady:
• rzut kostką,
• rzut monetą,
• losowanie kuli z urny,
• losowanie karty z talii.
Najważniejsza kolejność myślenia:
Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω
Najpierw wypisujemy wszystkie możliwe wyniki doświadczenia.
Zbiór wszystkich możliwych wyników oznaczamy literą:
Czytamy ją: omega.
Rzucamy dwa razy monetą.
O oznacza orła, a R reszkę.
Możliwe wyniki to:
Zatem:
Uwaga na kolejność
W doświadczeniu wykonywanym kilka razy kolejność często ma znaczenie.
Na przykład:
bo w pierwszym przypadku najpierw wypadł orzeł, a w drugim najpierw reszka.
Co to jest zdarzenie losowe?
Zdarzenie losowe to po prostu wybrane wyniki z całej przestrzeni Ω, które spełniają określony warunek.
Zdarzenia oznaczamy zwykle wielkimi literami:
Rzucamy dwa razy kostką.
Nie będziemy wypisywać całego Ω, ale rozpatrzmy zdarzenie:
A – suma oczek wynosi 4.
Szukamy wszystkich wyników, które spełniają ten warunek:
Zatem:
Mówimy, że te wyniki sprzyjają zdarzeniu A.
Zdarzenie pewne i niemożliwe
Rzucamy zwykłą kostką.
Możliwe wyniki:
A – wypadnie liczba mniejsza od 7.
Każdy możliwy wynik spełnia ten warunek:
Takie zdarzenie nazywamy pewnym.
B – wypadnie liczba większa od 10.
Nie ma żadnego wyniku, który spełnia ten warunek:
Takie zdarzenie nazywamy niemożliwym.
Zapamiętaj:
Suma zdarzeń A ∪ B
Suma zdarzeń oznacza:
Czyli zdarzyło się A lub B.
Do sumy należą wyniki:
• należące tylko do A,
• należące tylko do B,
• należące jednocześnie do A i B.
Iloczyn zdarzeń A ∩ B
Iloczyn zdarzeń oznacza:
Czyli zdarzyło się A i B jednocześnie.
Rzucamy raz kostką.
A – wypadła liczba parzysta:
B – wypadła liczba większa od 3:
Wyniki spełniające oba warunki jednocześnie:
Różnica zdarzeń A \ B
Zapis:
oznacza:
zdarzyło się A, ale nie zdarzyło się B.
Dla:
otrzymujemy:
Usuwamy z A te wyniki, które należą również do B.
Zdarzenie przeciwne A′
Zdarzenie przeciwne do A oznacza:
i zawiera wszystkie wyniki z Ω, które nie należą do A.
Rzucamy kostką:
Niech:
czyli wypadła liczba parzysta.
Zdarzenie przeciwne oznacza, że liczba parzysta nie wypadła:
Dwie ważne zależności:
Zdarzenie A i jego przeciwieństwo nie mogą wydarzyć się jednocześnie, ale jedno z nich musi się wydarzyć.
Zdarzenia rozłączne
Dwa zdarzenia są rozłączne, jeżeli nie mają żadnego wspólnego wyniku.
Rzucamy kostką.
A – wypadła liczba mniejsza od 3:
B – wypadła liczba większa od 4:
Nie ma wyniku należącego do obu zbiorów.
Zdarzenia są więc rozłączne.
Jedno zdarzenie zawiera się w drugim
Jeżeli każdy wynik sprzyjający zdarzeniu A sprzyja również zdarzeniu B, zapisujemy:
Rzucamy kostką.
A – wypadła liczba 2:
B – wypadła liczba parzysta:
Każdy wynik należący do A należy również do B:
Najważniejsze symbole
Zadania
Zadanie 1
Rzucamy trzy razy monetą.
Wypisz przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω.
Następnie wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniu:
A – wypadły dokładnie dwa orły.
Pokaż rozwiązanie
Każdy rzut może dać O lub R.
Wszystkich wyników jest:
Zatem:
Dokładnie dwa orły występują w wynikach:
Zadanie 2
Rzucamy dwa razy kostką.
Niech:
A – suma oczek jest mniejsza od 5,
B – w obu rzutach wypadły liczby parzyste.
Wypisz A, B oraz A ∩ B.
Pokaż rozwiązanie
Najpierw zdarzenie A.
Suma mniejsza od 5 może wynosić 2, 3 lub 4.
Zdarzenie B oznacza, że obie liczby są parzyste:
Część wspólna musi spełniać oba warunki.
Zadanie 3
Z urny zawierającej kule ponumerowane:
losujemy jedną kulę.
Niech:
A – wylosowano liczbę parzystą,
B – wylosowano liczbę większą od 3.
Wyznacz:
Pokaż rozwiązanie
Najpierw:
Suma:
Iloczyn:
Różnica:
Zdarzenie przeciwne:
Zadanie 4
Rzucamy trzy razy kostką.
Wypisz wszystkie wyniki sprzyjające zdarzeniu:
A – suma oczek jest równa 16.
Pokaż rozwiązanie
Szukamy uporządkowanych trójek liczb od 1 do 6, których suma wynosi 16.
Możliwe zestawy liczb to:
oraz:
Teraz uwzględniamy kolejność.
Z zestawu 6,6,4 otrzymujemy:
Z zestawu 6,5,5:
Zadanie 5
Rzucamy dwa razy kostką.
Niech:
A – pierwsza liczba jest większa od drugiej,
B – suma wyrzuconych oczek jest parzysta.
Czy zdarzenia A i B są rozłączne?
Pokaż rozwiązanie
Aby zdarzenia były rozłączne, musiałoby zachodzić:
Sprawdźmy, czy istnieje wynik spełniający oba warunki.
Na przykład:
Pierwsza liczba jest większa od drugiej:
a suma:
jest parzysta.
Wynik (4,2) należy więc do A ∩ B.
Zadanie 6
Rzucamy cztery razy monetą.
Niech:
A – wypadł co najmniej jeden orzeł,
B – wypadły same reszki.
Wyznacz zdarzenie A′ i określ związek między A′ i B.
Pokaż rozwiązanie
A oznacza:
„wypadł co najmniej jeden orzeł”.
Zdarzenie przeciwne oznacza więc:
„nie wypadł ani jeden orzeł”.
Czyli musiały wypaść same reszki:
Ale dokładnie to samo opisuje zdarzenie B.
Warto wiedzieć: częstość zdarzenia
Jeżeli doświadczenie wykonujemy wiele razy, możemy sprawdzić, jak często występuje dane zdarzenie.
Jeżeli doświadczenie wykonaliśmy n razy, a zdarzenie A wystąpiło k razy, to jego częstość wynosi:
Rzuciliśmy monetą 200 razy. Orzeł wypadł 104 razy.
Częstość otrzymania orła:
Czyli orzeł pojawił się w około:
Przy dużej liczbie doświadczeń częstość zdarzenia zwykle zaczyna zbliżać się do jego prawdopodobieństwa.
Na przykład przy wielu rzutach uczciwą monetą częstość orła powinna być bliska: