Do tej pory zajmowaliśmy się pojedynczymi zdaniami, np.
albo:
„10 jest liczbą parzystą.”
W matematyce bardzo często chcemy jednak połączyć kilka informacji w jedno zdanie.
Na przykład:
„Liczba 12 jest podzielna przez 3 i przez 4.”
albo:
„Liczba jest mniejsza od 0 lub większa od 5.”
Po co nam zdania złożone? Pozwalają połączyć kilka warunków i sprawdzić, kiedy całe zdanie jest prawdziwe, a kiedy fałszywe.
Najczęściej będziemy używać słów: i, lub, jeżeli… to…, wtedy i tylko wtedy, gdy…
Koniunkcja – czyli „i”
Załóżmy, że mamy dwa zdania:
Możemy połączyć je słowem „i”:
„10 jest większe od 5 i mniejsze od 20.”
Takie połączenie nazywamy koniunkcją.
Zapisujemy:
Czytamy:
„p i q”.
Kiedy zdanie z „i” jest prawdziwe?
Przy słowie „i” obie części zdania muszą być prawdziwe.
W naszym przykładzie:
jest prawdą i:
również jest prawdą.
Dlatego całe zdanie jest prawdziwe.
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Jak czytać tę tabelę?
Pierwszy wiersz mówi, że jeśli pierwsze zdanie jest prawdziwe i drugie również, to całe zdanie jest prawdziwe:
Drugi i trzeci wiersz pokazują, że wystarczy jedna fałszywa część, aby całe zdanie z „i” było fałszywe.
Jeżeli obie części są fałszywe, całe zdanie również jest fałszywe.
Zapamiętaj: przy „i” obie części muszą być prawdziwe.
W każdym innym przypadku wynik wynosi 0.
Alternatywa – czyli „lub”
Teraz połączmy dwa zdania słowem „lub”.
Na przykład:
„Liczba 12 jest podzielna przez 3 lub przez 5.”
Takie połączenie nazywamy alternatywą.
Zapisujemy:
Czytamy:
„p lub q”.
Kiedy zdanie z „lub” jest prawdziwe?
Przy słowie „lub” wystarczy, że przynajmniej jedna część jest prawdziwa.
„12 jest podzielne przez 3 lub przez 5.”
12 jest podzielne przez 3 – to prawda.
12 jest podzielne przez 5 – to fałsz.
Mimo to całe zdanie jest prawdziwe, bo jedna z części jest prawdziwa.
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Jak czytać tę tabelę?
Alternatywa jest fałszywa tylko wtedy, gdy obie części są fałszywe.
We wszystkich pozostałych przypadkach całe zdanie jest prawdziwe.
Ważne: w matematyce słowo „lub” oznacza: jedno, drugie albo oba naraz.
Dlatego:
Implikacja – czyli „jeżeli…, to…”
Teraz przechodzimy do zdania, które na początku może wydawać się trochę mniej intuicyjne.
Na przykład:
„Jeżeli liczba jest podzielna przez 4, to jest parzysta.”
Pierwszą część oznaczmy przez p:
„liczba jest podzielna przez 4”,
a drugą przez q:
„liczba jest parzysta”.
Zapisujemy:
Czytamy:
„jeżeli p, to q”.
Takie zdanie nazywamy implikacją.
Kiedy implikacja jest fałszywa?
Spójrzmy jeszcze raz:
„Jeżeli liczba jest podzielna przez 4, to jest parzysta.”
Kiedy moglibyśmy powiedzieć, że to zdanie jest fałszywe?
Musielibyśmy znaleźć liczbę, która:
• jest podzielna przez 4,
• ale nie jest parzysta.
Czyli pierwsza część byłaby prawdziwa, a druga fałszywa.
| p | q | p ⇒ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Najważniejsze: implikacja jest fałszywa tylko w jednym przypadku:
Czyli gdy pierwsza część jest prawdziwa, a druga fałszywa.
Dlaczego 0 ⇒ 1 i 0 ⇒ 0 są prawdziwe?
To zwykle najbardziej dziwi.
Wróćmy do zdania:
„Jeżeli liczba jest podzielna przez 4, to jest parzysta.”
Weźmy liczbę 3.
Zdanie:
„3 jest podzielne przez 4”
jest fałszywe.
Ale liczba 3 nie przeczy naszej regule.
Reguła mówi tylko, co dzieje się wtedy, gdy liczba rzeczywiście jest podzielna przez 4.
Jeżeli nie jest podzielna przez 4, nie znaleźliśmy kontrprzykładu do naszego zdania.
Najprościej: żeby obalić implikację, trzeba znaleźć przypadek:
„p jest prawdziwe, ale q jest fałszywe”.
Równoważność – „wtedy i tylko wtedy, gdy”
Przykład:
„Liczba całkowita jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 2.”
Równoważność zapisujemy:
Czytamy:
„p wtedy i tylko wtedy, gdy q”.
Kiedy równoważność jest prawdziwa?
Równoważność jest prawdziwa wtedy, gdy oba zdania mają taką samą wartość logiczną.
Czyli:
• oba są prawdziwe,
albo:
• oba są fałszywe.
| p | q | p ⇔ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Jak to rozumieć?
Równoważność mówi, że dwie informacje idą ze sobą w parze.
Jeśli jedna jest prawdziwa, druga też musi być prawdziwa.
Jeśli jedna jest fałszywa, druga również musi być fałszywa.
Zapamiętaj: równoważność jest prawdziwa dla:
oraz:
Zaprzeczenie zdania z „i”
Mamy zdanie:
czyli:
„p i q”.
Żeby takie zdanie nie było prawdziwe, wystarczy, że przynajmniej jedna część będzie fałszywa.
Dlatego:
Najprościej: przy zaprzeczaniu „i” zmienia się na „lub”.
Jednocześnie zaprzeczamy każdą część zdania.
Mamy:
Zaprzeczeniem x > 2 jest:
Zaprzeczeniem x < 7 jest:
A „i” zmieniamy na „lub”.
Otrzymujemy:
Zaprzeczenie zdania z „lub”
Mamy:
Żeby zdanie „p lub q” było fałszywe, obie części muszą być fałszywe.
Dlatego:
Najprościej: przy zaprzeczaniu „lub” zmienia się na „i”.
Jednocześnie zaprzeczamy każdą część zdania.
Mamy:
Zaprzeczeniem x < 2 jest:
Zaprzeczeniem x > 7 jest:
„Lub” zmieniamy na „i”.
Otrzymujemy:
czyli:
Najważniejsza zasada przy zaprzeczaniu „i” i „lub”
Przy zaprzeczaniu:
Czyli:
„i” zmieniamy na „lub”,
„lub” zmieniamy na „i”,
a dodatkowo zaprzeczamy każdą część zdania.
Te zasady nazywamy prawami de Morgana.
Zaprzeczenie implikacji
Mamy:
Wiemy już, że implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy:
Czyli wtedy, gdy:
p zachodzi, ale q nie zachodzi.
Dlatego:
Czyli aby zrobić zaprzeczenie implikacji pierwszą część zdania (p) zostawiamy bez zmian, dodajemy znak i „∧” a drugą część zdania (q) zaprzeczamy.
Mamy zdanie:
„Jeżeli x > 5, to x > 2.”
Zaprzeczenie musi opisywać jedyną sytuację, w której taka implikacja byłaby fałszywa.
Pierwsza część pozostaje:
Zaprzeczamy drugą część:
zmienia się na:
Otrzymujemy:
Nie istnieje taka liczba x. To pokazuje, że początkowa implikacja jest prawdziwa.
Przechodniość implikacji
Jeżeli wiemy, że:
oraz:
to możemy wnioskować, że:
Jeżeli liczba jest podzielna przez 8, to jest podzielna przez 4.
Jeżeli liczba jest podzielna przez 4, to jest parzysta.
Możemy więc powiedzieć:
Jeżeli liczba jest podzielna przez 8, to jest parzysta.
Poniższa część jest dodatkiem. Do podstawowych zadań najważniejsze jest rozumienie zwykłej implikacji p ⇒ q. Jeśli chcesz wiedzieć trochę więcej, możesz poznać także implikację odwrotną, przeciwną i przeciwstawną.
To wygląda na początku groźnie, ale tak naprawdę chodzi tylko o przestawianie i zaprzeczanie dwóch części.
Mamy implikację:
Nazywamy ją implikacją prostą.
Implikacja odwrotna
W implikacji odwrotnej po prostu zamieniamy miejscami zdania p i q.
Przykład:
Implikacja prosta:
„Jeżeli trójkąt jest równoboczny, to jest równoramienny.”
Implikacja odwrotna:
„Jeżeli trójkąt jest równoramienny, to jest równoboczny.”
Pierwsze zdanie jest prawdziwe, ale drugie już nie. Trójkąt może być równoramienny i nie być równoboczny.
Ważne: implikacja odwrotna nie musi mieć tej samej wartości logicznej co implikacja prosta.
Implikacja przeciwna
Tutaj zaprzeczamy obie części.
Dla naszego przykładu:
„Jeżeli trójkąt nie jest równoboczny, to nie jest równoramienny.”
To zdanie jest fałszywe, ponieważ istnieją trójkąty równoramienne, które nie są równoboczne.
Implikacja przeciwstawna
Tutaj najpierw zamieniamy części miejscami, a następnie obie zaprzeczamy.
Dla naszego przykładu:
„Jeżeli trójkąt nie jest równoramienny, to nie jest równoboczny.”
To zdanie jest prawdziwe. Każdy trójkąt równoboczny jest równoramienny, więc jeśli trójkąt nie jest równoramienny, na pewno nie może być równoboczny.
Co warto z tego zapamiętać?
Najważniejsza zależność jest taka:
ma zawsze taką samą wartość logiczną jak:
Czyli implikacja prosta i przeciwstawna są równoważne.
Podobnie implikacja odwrotna:
ma taką samą wartość logiczną jak implikacja przeciwna:
Zapamiętaj
Koniunkcja:
oznacza „p i q”. Obie części muszą być prawdziwe.
Alternatywa:
oznacza „p lub q”. Wystarczy przynajmniej jedna prawdziwa część.
Implikacja:
jest fałszywa tylko dla:
Równoważność:
jest prawdziwa wtedy, gdy p i q mają taką samą wartość logiczną.
Zaprzeczenie „i”:
Zaprzeczenie „lub”:
Zaprzeczenie implikacji:
Zadania
Zadanie 1
Określ wartość logiczną każdego zdania.
a) 5 > 2 i 10 < 20
b) 8 < 3 i 2 + 2 = 4
c) 7 > 10 lub 5² = 25
d) 4 < 1 lub 9 < 2
Pokaż rozwiązanie
a) 5 > 2 jest prawdą i 10 < 20 również jest prawdą. Mamy więc:
Całe zdanie jest prawdziwe.
b) 8 < 3 jest fałszem, natomiast 2 + 2 = 4 jest prawdą. Przy „i” obie części muszą być prawdziwe.
Całe zdanie jest fałszywe.
c) 7 > 10 jest fałszem, ale 5² = 25 jest prawdą. Przy „lub” wystarczy jedna prawdziwa część.
Całe zdanie jest prawdziwe.
d) 4 < 1 jest fałszem i 9 < 2 również jest fałszem.
Całe zdanie jest fałszywe.
Zadanie 2
Niech:
Określ wartości:
a) p ∧ q
b) p ∨ q
c) p ⇒ q
d) q ⇒ p
e) p ⇔ q
Pokaż rozwiązanie
a) Przy koniunkcji „i” obie części muszą być prawdziwe. Mamy 1 i 0, więc:
b) Przy „lub” wystarczy jedna prawdziwa część:
c) To jedyny przypadek, w którym implikacja jest fałszywa:
d) Tutaj mamy:
Pierwsza część jest fałszywa, więc nie znaleźliśmy przypadku obalającego implikację. Wartość wynosi 1.
e) Równoważność jest prawdziwa tylko wtedy, gdy obie części mają tę samą wartość. Tutaj mamy 1 i 0, więc:
Zadanie 3
Podaj zaprzeczenie zdania:
Pokaż rozwiązanie
Mamy zdanie połączone słowem „i”. Przy zaprzeczaniu „i” zmieniamy na „lub”.
Zaprzeczamy też każdą nierówność.
Zaprzeczeniem:
jest:
A zaprzeczeniem:
jest:
Ostatecznie:
Zadanie 4
Podaj zaprzeczenie zdania:
Pokaż rozwiązanie
Mamy zdanie z „lub”, więc przy zaprzeczaniu zmieniamy „lub” na „i”.
Zaprzeczeniem:
jest:
Zaprzeczeniem:
jest:
Otrzymujemy:
czyli krócej:
Zadanie 5
Podaj zaprzeczenie zdania:
„Jeżeli x > 4, to x > 1.”
Pokaż rozwiązanie
Zaprzeczenie implikacji ma postać:
Pierwszą część pozostawiamy bez zmian:
Zaprzeczamy drugą:
zmienia się na:
Otrzymujemy:
Takiego x oczywiście nie ma, co oznacza, że początkowa implikacja jest prawdziwa.
Zadanie 6
Oceń, czy implikacja jest prawdziwa:
„Jeżeli liczba jest podzielna przez 6, to jest podzielna przez 3.”
Następnie zapisz implikację odwrotną i oceń jej prawdziwość.
Pokaż rozwiązanie
Pierwsza implikacja jest prawdziwa. Każda liczba podzielna przez 6 jest również podzielna przez 3.
Implikacja odwrotna brzmi:
„Jeżeli liczba jest podzielna przez 3, to jest podzielna przez 6.”
To zdanie jest fałszywe. Wystarczy znaleźć kontrprzykład.
Weźmy liczbę:
3 jest podzielne przez 3, ale nie jest podzielne przez 6.
Implikacja odwrotna – fałsz.
Zadanie 7
Jeżeli:
oraz:
to co możemy powiedzieć o p i r?
Pokaż rozwiązanie
Korzystamy z przechodniości implikacji.
Jeżeli z p wynika q, a z q wynika r, to z p możemy od razu wywnioskować r.
Zadanie 8
Oceń wartość logiczną równoważności.
a) 4 > 2 ⇔ 10 > 3
b) 4 > 10 ⇔ 2 > 7
c) 5 > 2 ⇔ 1 > 8
Pokaż rozwiązanie
a) 4 > 2 jest prawdą i 10 > 3 również jest prawdą. Mamy:
Równoważność jest prawdziwa.
b) 4 > 10 jest fałszem i 2 > 7 również jest fałszem.
Równoważność także jest prawdziwa, bo obie części mają tę samą wartość logiczną.
c) 5 > 2 jest prawdą, ale 1 > 8 jest fałszem.
Równoważność jest fałszywa.
Zadanie 9
Podaj zaprzeczenie:
Pokaż rozwiązanie
To zadanie jest trochę trudniejsze, bo mamy tutaj kilka części. Najwygodniej robić je etapami.
Całe zdanie ma postać:
gdzie:
Zaprzeczeniem „A lub B” jest:
Najpierw zaprzeczamy A.
Mamy:
Przy zaprzeczaniu „i” zmienia się na „lub”:
Teraz zaprzeczamy B:
zmienia się na:
Łączymy obie części słowem „i”: