W matematyce nie zawsze chodzi tylko o obliczenie wyniku. Czasami musimy również zdecydować, czy jakieś stwierdzenie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Na przykład:
jest prawdą, natomiast:
jest fałszem.
Po co nam logika? Pozwala określać, czy dane stwierdzenie jest prawdziwe, poprawnie je zapisywać, a później również zaprzeczać takim stwierdzeniom.
Co to jest zdanie logiczne?
Zdanie logiczne to taka wypowiedź, o której możemy jednoznacznie powiedzieć, czy jest prawdziwa, czy fałszywa.
To zdanie jest prawdziwe.
W logice prawdę oznaczamy liczbą 1.
To zdanie jest fałszywe.
Fałsz oznaczamy liczbą 0.
Zapamiętaj:
Zdania logiczne często oznaczamy małymi literami, np. p, q, r.
Możemy więc zapisać:
Zdanie p jest prawdziwe, więc jego wartość logiczna wynosi 1.
Nie każda wypowiedź jest zdaniem logicznym
Żeby wypowiedź była zdaniem logicznym, musimy móc powiedzieć: „to jest prawda” albo „to jest fałsz”.
To polecenie. Nie możemy powiedzieć, że polecenie jest prawdziwe albo fałszywe.
Nie jest więc zdaniem logicznym.
To pytanie. Pytanie również nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe.
Nie jest więc zdaniem logicznym.
Forma zdaniowa
Spójrzmy na taki zapis:
Czy możemy powiedzieć, że jest prawdziwy?
Jeszcze nie. Nie wiemy przecież, jaką liczbą jest x.
Jeżeli x = 3, to:
czyli otrzymujemy zdanie prawdziwe.
Jeżeli natomiast x = 7, to:
czyli otrzymujemy zdanie fałszywe.
Taki zapis zawierający zmienną, którego prawdziwość zależy od wartości tej zmiennej, nazywamy formą zdaniową.
Na przykład:
Dla x = 7 otrzymujemy zdanie prawdziwe, a dla x = 2 – fałszywe.
Po co nam formy zdaniowe?
Bo często chcemy powiedzieć coś nie o jednej konkretnej liczbie, ale o całej grupie liczb.
Na przykład:
„Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest nieujemna”.
albo:
„Istnieje liczba całkowita, której kwadrat jest równy 9”.
Tutaj potrzebujemy dwóch ważnych określeń: „dla każdego” oraz „istnieje”.
„Dla każdego”
Spójrzmy na zdanie:
Mówi ono, że dla każdej liczby rzeczywistej warunek x² ≥ 0 musi być spełniony.
Innymi słowy: nie możemy znaleźć ani jednej liczby rzeczywistej, dla której ten warunek byłby fałszywy.
Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc zdanie jest prawdziwe.
Jak zapisujemy „dla każdego”?
W tym materiale używamy takiego samego oznaczenia jak w książce Kurczaba:
Pod symbolem zapisujemy, jakich liczb dotyczy zdanie.
Na przykład:
Czytamy:
„Dla każdego x należącego do zbioru liczb rzeczywistych x² jest większe lub równe 0.”
Jeden wyjątek wystarczy
Spójrzmy teraz na zdanie:
Na pierwszy rzut oka może wydawać się prawdziwe.
Przecież:
Ale sprawdźmy x = 0.
czyli:
To jest fałsz.
Znaleźliśmy więc jeden wyjątek. To wystarczy, żeby całe zdanie „dla każdego” było fałszywe.
Kontrprzykład
Kontrprzykład to jeden przykład, który pokazuje, że zdanie typu „dla każdego” jest fałszywe.
Dla zdania:
kontrprzykładem jest:
Zapamiętaj: jeżeli zdanie mówi „dla każdego”, to aby pokazać, że jest fałszywe, wystarczy znaleźć jeden wyjątek.
„Istnieje”
Spójrzmy na zdanie:
„Istnieje liczba naturalna x, dla której x² = 4.”
Czy musimy sprawdzić wszystkie liczby naturalne?
Nie. Wystarczy znaleźć jedną.
Weźmy:
Wtedy:
Znaleźliśmy jedną liczbę spełniającą warunek, więc całe zdanie jest prawdziwe.
Jak zapisujemy „istnieje”?
W książce Kurczaba używany jest symbol:
Na przykład:
Czytamy:
„Istnieje liczba naturalna x, dla której x² = 4.”
Inne oznaczenia kwantyfikatorów
W różnych podręcznikach możesz spotkać dwa sposoby zapisu kwantyfikatorów.
„Dla każdego” możemy zapisać jako:
„Istnieje” możemy zapisać jako:
W tej notatce będziemy używać oznaczeń ⋀ oraz ⋁, czyli takich jak w podręczniku. Oba sposoby zapisu oznaczają jednak to samo.
„Dla każdego” czy „istnieje”?
Różnica między nimi jest bardzo ważna.
„Dla każdego” oznacza, że warunek musi być prawdziwy dla wszystkich. Nie może być ani jednego wyjątku.
„Istnieje” oznacza, że wystarczy znaleźć jeden przykład, który spełnia warunek.
„Dla każdej liczby całkowitej x, x² = 4.”
To zdanie jest fałszywe. Wystarczy wybrać na przykład x = 3.
Natomiast zdanie:
„Istnieje liczba całkowita x, dla której x² = 4.”
jest prawdziwe, ponieważ możemy wybrać:
i wtedy:
Zaprzeczenie zdania
Zaprzeczenie zdania mówi, że dane zdanie nie jest prawdziwe.
Zaprzeczenie zdania p zapisujemy:
Czytamy: „nieprawda, że p”.
Mamy zdanie:
Jest ono prawdziwe.
Jego zaprzeczenie to:
Zaprzeczenie jest fałszywe.
Jak działa zaprzeczenie?
| p | ¬p |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Pierwszy wiersz mówi, że jeżeli zdanie p jest prawdziwe, czyli ma wartość 1, to jego zaprzeczenie jest fałszywe, czyli ma wartość 0.
Drugi wiersz mówi odwrotnie: jeżeli zdanie p jest fałszywe, to jego zaprzeczenie jest prawdziwe.
Najprościej: zaprzeczenie odwraca wartość logiczną.
Jak zaprzeczać równości i nierówności?
Ta umiejętność będzie bardzo często potrzebna w zadaniach.
| Zdanie | Zaprzeczenie |
|---|---|
| x > 5 | x ≤ 5 |
| x < 5 | x ≥ 5 |
| x ≥ 5 | x < 5 |
| x ≤ 5 | x > 5 |
| x = 5 | x ≠ 5 |
| x ≠ 5 | x = 5 |
Dlaczego zaprzeczeniem x > 5 jest x ≤ 5?
Mamy zdanie:
Jest ono fałszywe nie tylko wtedy, gdy x < 5.
Jest fałszywe również wtedy, gdy:
Dlatego poprawnym zaprzeczeniem jest:
Jak zaprzeczyć zdaniu „dla każdego”?
Mamy zdanie:
czyli:
„Dla każdej liczby rzeczywistej x, x² > 0.”
Żeby temu zaprzeczyć, musimy powiedzieć, że istnieje przynajmniej jedna liczba, dla której ten warunek nie jest spełniony.
„Dla każdego” zmienia się na „istnieje”.
Mamy:
Zaprzeczenie to:
Ostatecznie otrzymujemy:
czyli:
„Istnieje liczba rzeczywista x, dla której x² ≤ 0.”
Zapamiętaj: przy zaprzeczaniu „dla każdego” zmienia się na „istnieje”, a następnie zaprzeczamy również sam warunek.
Jak zaprzeczyć zdaniu „istnieje”?
Mamy zdanie:
„Istnieje liczba całkowita x, dla której x > 10.”
Jeżeli chcemy temu zaprzeczyć, musimy powiedzieć, że żadna liczba całkowita nie spełnia tego warunku.
„Istnieje” zmieniamy na „dla każdego”.
Mamy:
Zaprzeczenie to:
Otrzymujemy:
czyli:
„Dla każdej liczby całkowitej x zachodzi x ≤ 10.”
Najważniejsza zasada przy kwantyfikatorach
Przy zaprzeczaniu kwantyfikatory zamieniają się miejscami:
Ale jednocześnie zawsze trzeba zaprzeczyć warunek.
Na przykład zdanie:
ma zaprzeczenie:
Przykład krok po kroku
Zapisz zaprzeczenie zdania:
„Dla każdej liczby rzeczywistej x, x + 3 > 0.”
„Dla każdej” zmieniamy na „istnieje”.
zmienia się na:
Istnieje liczba rzeczywista x, dla której:
Jeszcze jeden przykład
Zapisz zaprzeczenie zdania:
„Istnieje liczba całkowita x, dla której x² < 10.”
„Istnieje” zmieniamy na „dla każdej”.
zmienia się na:
Dla każdej liczby całkowitej x:
Zapamiętaj
Prawda ma wartość 1, a fałsz ma wartość 0.
„Dla każdego” oznacza, że warunek musi być spełniony dla wszystkich. Jeden wyjątek wystarczy, żeby zdanie było fałszywe.
„Istnieje” oznacza, że wystarczy znaleźć jeden element spełniający warunek.
Kontrprzykład to przykład pokazujący, że zdanie „dla każdego” jest fałszywe.
Przy zaprzeczaniu:
i jednocześnie zaprzeczamy warunek.
Zadania
Zadanie 1
Określ, które wypowiedzi są zdaniami logicznymi.
a) 5 + 7 = 12
b) Oblicz 3⁴.
c) 8 < 2
d) Czy liczba 15 jest podzielna przez 3?
e) x + 4 = 10
Pokaż rozwiązanie
a) 5 + 7 = 12 – jest zdaniem logicznym, ponieważ możemy jednoznacznie powiedzieć, czy jest prawdziwe, czy fałszywe. Ponieważ 5 + 7 rzeczywiście jest równe 12, zdanie jest prawdziwe.
b) Oblicz 3⁴. – nie jest zdaniem logicznym, ponieważ jest poleceniem. Polecenie nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe.
c) 8 < 2 – jest zdaniem logicznym, bo możemy określić jego wartość logiczną. Liczba 8 nie jest mniejsza od 2, więc zdanie jest fałszywe.
d) Czy liczba 15 jest podzielna przez 3? – nie jest zdaniem logicznym, ponieważ jest pytaniem.
e) x + 4 = 10 – nie jest jeszcze zdaniem logicznym. Nie znamy wartości x, więc nie możemy zdecydować, czy równość jest prawdziwa. Jest to forma zdaniowa.
Zadanie 2
Określ wartość logiczną zdań: 1 lub 0.
a) 13 > 5
b) 2⁴ = 8
c) √49 = 7
d) 10 ∈ ℕ
e) √2 ∈ ℚ
Pokaż rozwiązanie
a) 13 jest większe od 5, więc zdanie jest prawdziwe. Prawda ma wartość logiczną 1.
b) Obliczamy: 2⁴ = 16. Otrzymaliśmy 16, a nie 8. Zdanie jest więc fałszywe i ma wartość 0.
c) Pierwiastek z 49 jest równy 7, więc zdanie jest prawdziwe. Jego wartość logiczna to 1.
d) Liczba 10 należy do zbioru liczb naturalnych ℕ. Zdanie jest więc prawdziwe, czyli jego wartość logiczna to 1.
e) Symbol ℚ oznacza zbiór liczb wymiernych. Liczba √2 jest niewymierna, więc nie należy do zbioru ℚ. Zdanie jest fałszywe, czyli ma wartość 0.
Zadanie 3
Podaj zaprzeczenie.
a) x > 7
b) x ≤ 4
c) x = 9
d) x ≠ 3
e) x ≥ −2
Pokaż rozwiązanie
a) Zaprzeczeniem x > 7 jest x ≤ 7. Musimy uwzględnić zarówno liczby mniejsze od 7, jak i samą liczbę 7.
b) Zaprzeczeniem x ≤ 4 jest x > 4. Jeżeli liczba nie jest mniejsza ani równa 4, to musi być większa od 4.
c) Zaprzeczeniem równości x = 9 jest x ≠ 9.
d) Jeżeli zaprzeczamy x ≠ 3, otrzymujemy x = 3.
e) Zaprzeczeniem x ≥ −2 jest x < −2.
a) x ≤ 7
b) x > 4
c) x ≠ 9
d) x = 3
e) x < −2
Zadanie 4
Oceń, czy zdanie jest prawdziwe. Jeśli jest fałszywe, podaj kontrprzykład.
a) Dla każdej liczby rzeczywistej x, x² ≥ 0.
b) Dla każdej liczby rzeczywistej x, x² > 0.
c) Dla każdej liczby naturalnej n, n + 1 > n.
d) Dla każdej liczby całkowitej x, x² ≥ 1.
Pokaż rozwiązanie
a) Zdanie jest prawdziwe. Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny. Może być dodatni albo równy 0. Dlatego dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi x² ≥ 0.
b) Zdanie jest fałszywe. Ponieważ występuje określenie „dla każdej”, wystarczy znaleźć jeden wyjątek. Wybieramy:
Wtedy:
Warunek x² > 0 nie jest więc spełniony. Liczba 0 jest kontrprzykładem.
c) Zdanie jest prawdziwe. Jeżeli do dowolnej liczby naturalnej dodamy 1, otrzymamy liczbę od niej większą. Dlatego zawsze n + 1 > n.
d) Zdanie jest fałszywe. Wystarczy znaleźć jeden wyjątek. Dla:
otrzymujemy:
a 0 ≥ 1 jest fałszem. Liczba 0 jest więc kontrprzykładem.
a) prawda
b) fałsz – kontrprzykład: x = 0
c) prawda
d) fałsz – kontrprzykład: x = 0
Zadanie 5
Oceń, czy poniższe zdania są prawdziwe.
a) Istnieje liczba naturalna n, dla której n² = 25.
b) Istnieje liczba całkowita x, dla której x² = −4.
c) Istnieje liczba rzeczywista x, dla której x + 8 = 0.
d) Istnieje liczba naturalna n, dla której n < 0.
Pokaż rozwiązanie
a) Zdanie jest prawdziwe. Przy słowie „istnieje” wystarczy znaleźć jeden przykład. Możemy wybrać:
ponieważ:
Znaleźliśmy liczbę spełniającą warunek, więc zdanie jest prawdziwe.
b) Zdanie jest fałszywe. Kwadrat liczby całkowitej nie może być ujemny. Nie istnieje więc liczba całkowita, której kwadrat byłby równy −4.
c) Zdanie jest prawdziwe. Szukamy jednej liczby spełniającej:
Stąd:
Liczba −8 jest rzeczywista, więc znaleźliśmy przykład spełniający warunek.
d) Zdanie jest fałszywe. Liczby naturalne nie są ujemne, więc nie istnieje liczba naturalna n, dla której n < 0.
Zadanie 6
Zapisz zaprzeczenie zdania:
Pokaż rozwiązanie
Zdanie mówi, że dla każdej liczby rzeczywistej warunek x + 5 > 0 jest spełniony.
Przy zaprzeczaniu „dla każdej” zmieniamy na „istnieje”.
Następnie zaprzeczamy sam warunek. Zaprzeczeniem:
jest:
Zatem zaprzeczenie całego zdania ma postać:
Istnieje liczba rzeczywista x, dla której x + 5 ≤ 0.
Zadanie 7
Zapisz zaprzeczenie zdania:
Pokaż rozwiązanie
Zdanie zaczyna się od słowa „istnieje”. Przy zaprzeczaniu zmieniamy je na „dla każdego”.
Następnie zaprzeczamy warunek:
Zaprzeczeniem równości jest nierówność:
Otrzymujemy:
Dla każdej liczby całkowitej x, x² ≠ 16.
Zadanie 8
Zapisz zaprzeczenie zdania:
Pokaż rozwiązanie
Najpierw zmieniamy „dla każdego” na „istnieje”.
Następnie zaprzeczamy nierówność. Zaprzeczeniem:
jest:
Zatem:
Istnieje liczba naturalna n, dla której n² + n < 0.
Zadanie 9
Zapisz za pomocą symboli:
„Istnieje liczba rzeczywista x, dla której x² = 9.”
Pokaż rozwiązanie
Zwrot „istnieje” zapisujemy symbolem ⋁.
Pod symbolem zapisujemy, jakiego zbioru dotyczy zmienna:
Warunek ma postać:
Łączymy wszystko:
Zadanie 10
Zapisz za pomocą symboli:
„Dla każdej liczby naturalnej n, liczba n + 1 jest większa od n.”
Pokaż rozwiązanie
Zwrot „dla każdej” zapisujemy symbolem ⋀.
Pod symbolem zapisujemy:
czyli informację, że n jest liczbą naturalną.
Warunek „liczba n + 1 jest większa od n” zapisujemy:
Łączymy wszystko: