Zdanie. Zaprzeczenie zdania
Po co w ogóle jest logika?
W matematyce nie zawsze chodzi tylko o obliczenie wyniku. Bardzo często musimy również zdecydować, czy jakieś stwierdzenie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Na przykład:
jest prawdą.
Natomiast:
jest fałszem.
Logika pomaga nam określać, czy zdania są prawdziwe, poprawnie je zapisywać, a później także zaprzeczać im.
1. Co to jest zdanie logiczne?
Zdanie logiczne to taka wypowiedź, o której możemy jednoznacznie powiedzieć, czy jest prawdziwa, czy fałszywa.
To zdanie jest prawdziwe.
W logice prawdę oznaczamy liczbą:
To zdanie jest fałszywe.
Fałsz oznaczamy liczbą:
Zdania logiczne często oznaczamy małymi literami, np. p, q, r.
Możemy więc zapisać:
Zdanie p jest prawdziwe, więc jego wartość logiczna wynosi 1.
2. Nie każda wypowiedź jest zdaniem logicznym
Żeby wypowiedź była zdaniem logicznym, musimy móc powiedzieć:
„To jest prawda” albo „To jest fałsz”.
To polecenie. Nie możemy powiedzieć, że polecenie jest prawdziwe albo fałszywe.
Nie jest więc zdaniem logicznym.
To pytanie. Pytanie również nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe.
Nie jest więc zdaniem logicznym.
3. Forma zdaniowa
Spójrzmy teraz na taki zapis:
Czy możemy powiedzieć, że jest prawdziwy?
Jeszcze nie.
Nie wiemy przecież, jaką liczbą jest x.
Jeżeli:
to otrzymujemy:
czyli zdanie prawdziwe.
Ale jeżeli:
to:
jest fałszem.
Dlatego zapis zawierający zmienną, którego prawdziwość zależy od wartości tej zmiennej, nazywamy formą zdaniową.
Na przykład:
Dla x = 7 jest prawdziwy, a dla x = 2 jest fałszywy.
Po co nam formy zdaniowe?
Bo często chcemy powiedzieć coś nie o jednej konkretnej liczbie, ale o całej grupie liczb.
Na przykład:
„Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest nieujemna”.
albo:
„Istnieje liczba całkowita, której kwadrat jest równy 9”.
Dlatego potrzebujemy dwóch bardzo ważnych określeń: „dla każdego” i „istnieje”.
4. „Dla każdego”
Spójrzmy na zdanie:
Co ono właściwie oznacza?
Mówi, że nie istnieje ani jedna liczba rzeczywista, dla której ten warunek byłby fałszywy.
Sprawdźmy kilka przykładów:
Warunek jest spełniony. Kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny.
Jak zapisujemy „dla każdego”?
Używamy symbolu:
Na przykład:
Czytamy:
„Dla każdego x należącego do liczb rzeczywistych x² jest większe lub równe 0.”
5. Jeden wyjątek wystarczy
Spójrzmy na podobne zdanie:
Na początku może wydawać się prawdziwe.
Ale sprawdźmy:
Wtedy:
czyli:
To jest fałsz.
Znaleźliśmy więc jeden wyjątek. To wystarczy, aby całe zdanie „dla każdego” było fałszywe.
6. Kontrprzykład
Kontrprzykład to przykład, który pokazuje, że zdanie typu „dla każdego” jest fałszywe.
Dla zdania:
kontrprzykładem jest:
Jeżeli zdanie mówi „dla każdego”, to żeby pokazać, że jest fałszywe, wystarczy znaleźć jeden wyjątek.
7. „Istnieje”
Spójrzmy na zdanie:
„Istnieje liczba naturalna x, dla której x² = 4.”
Czy trzeba sprawdzać wszystkie liczby naturalne?
Nie.
Wystarczy znaleźć jedną.
Weźmy:
Wtedy:
Znaleźliśmy liczbę spełniającą warunek, więc całe zdanie jest prawdziwe.
Jak zapisujemy „istnieje”?
Używamy symbolu:
Na przykład:
Czytamy:
„Istnieje liczba naturalna x, dla której x² = 4.”
8. „Dla każdego” czy „istnieje”?
To bardzo ważna różnica.
Warunek musi być prawdziwy dla wszystkich. Nie może być ani jednego wyjątku.
Wystarczy znaleźć jeden przykład spełniający warunek.
Zdanie 1:
„Dla każdej liczby całkowitej x, x² = 4.”
To zdanie jest fałszywe.
Wystarczy wziąć:
Zdanie 2:
„Istnieje liczba całkowita x, dla której x² = 4.”
To zdanie jest prawdziwe, ponieważ:
oraz:
9. Zaprzeczenie zdania
Zaprzeczenie zdania mówi, że dane zdanie nie jest prawdziwe.
Zaprzeczenie zdania p zapisujemy:
Czytamy:
„nieprawda, że p”.
Mamy zdanie:
Jest ono prawdziwe.
Jego zaprzeczenie to:
Zaprzeczenie jest fałszywe.
Jak działa zaprzeczenie?
| p | ¬p |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Co mówi ta tabelka?
Jeżeli zdanie p jest prawdziwe, czyli ma wartość 1, to jego zaprzeczenie jest fałszywe, czyli ma wartość 0.
Jeżeli zdanie p jest fałszywe, czyli ma wartość 0, to jego zaprzeczenie jest prawdziwe, czyli ma wartość 1.
Zaprzeczenie odwraca wartość logiczną:
10. Jak zaprzeczać równości i nierówności?
Ta umiejętność będzie potrzebna bardzo często.
| Zdanie | Zaprzeczenie |
|---|---|
| x > 5 | x ≤ 5 |
| x < 5 | x ≥ 5 |
| x ≥ 5 | x < 5 |
| x ≤ 5 | x > 5 |
| x = 5 | x ≠ 5 |
| x ≠ 5 | x = 5 |
Dlaczego zaprzeczeniem x > 5 jest x ≤ 5?
Mamy:
To zdanie jest fałszywe nie tylko wtedy, gdy x < 5.
Jest fałszywe również wtedy, gdy:
Dlatego poprawne zaprzeczenie to:
11. Jak zaprzeczyć zdaniu „dla każdego”?
Mamy zdanie:
czyli:
„Dla każdej liczby rzeczywistej x, x² > 0.”
Jeżeli chcemy temu zaprzeczyć, musimy powiedzieć, że istnieje przynajmniej jedna liczba, dla której warunek nie jest spełniony.
zmienia się na:
Otrzymujemy:
czyli:
„Istnieje liczba rzeczywista x, dla której x² ≤ 0.”
12. Jak zaprzeczyć zdaniu „istnieje”?
Mamy zdanie:
„Istnieje liczba całkowita x, dla której x > 10.”
Jeżeli chcemy temu zaprzeczyć, musimy powiedzieć, że nie istnieje ani jedna taka liczba.
zmienia się na:
Otrzymujemy:
czyli:
„Dla każdej liczby całkowitej x zachodzi x ≤ 10.”
13. Najważniejsza zasada dotycząca kwantyfikatorów
Ale to nie wszystko. Trzeba również zaprzeczyć warunek znajdujący się po kwantyfikatorze.
Zdanie:
Zaprzeczenie:
Zdanie:
Zaprzeczenie:
14. Przykład krok po kroku
Zapisz zaprzeczenie zdania:
„Dla każdej liczby rzeczywistej x, x + 3 > 0.”
„Dla każdej” zmieniamy na „istnieje”.
Zaprzeczenie:
Istnieje liczba rzeczywista x, dla której:
15. Jeszcze jeden przykład
Zapisz zaprzeczenie:
„Istnieje liczba całkowita x, dla której x² < 10.”
„Istnieje” zmieniamy na „dla każdej”.
Zaprzeczamy:
Otrzymujemy:
Odpowiedź:
Dla każdej liczby całkowitej x zachodzi:
Najważniejsze informacje
1. Prawda i fałsz
2. „Dla każdego” – warunek musi działać dla wszystkich. Jeden wyjątek wystarczy, aby zdanie było fałszywe.
3. „Istnieje” – wystarczy znaleźć jeden przykład spełniający warunek.
4. Kontrprzykład – przykład pokazujący, że zdanie „dla każdego” jest fałszywe.
5. Przy zaprzeczaniu:
i jednocześnie zaprzeczamy warunek.
Spróbuj sam
Określ, które wypowiedzi są zdaniami logicznymi.
a) 5 + 7 = 12
b) Oblicz 3⁴.
c) 8 < 2
d) Czy liczba 15 jest podzielna przez 3?
e) x + 4 = 10
Jeżeli wypowiedź jest zdaniem logicznym, określ jej wartość logiczną: 1 lub 0.
a) 13 > 5
b) 2⁴ = 8
c) √49 = 7
d) 10 ∈ ℕ
e) √2 ∈ ℚ
Podaj zaprzeczenie.
a) x > 7
b) x ≤ 4
c) x = 9
d) x ≠ 3
e) x ≥ −2
Oceń, czy zdanie jest prawdziwe. Jeśli jest fałszywe, podaj kontrprzykład.
a) Dla każdej liczby rzeczywistej x, x² ≥ 0.
b) Dla każdej liczby rzeczywistej x, x² > 0.
c) Dla każdej liczby naturalnej n, n + 1 > n.
d) Dla każdej liczby całkowitej x, x² ≥ 1.
Oceń, czy poniższe zdania są prawdziwe.
a) Istnieje liczba naturalna n, dla której n² = 25.
b) Istnieje liczba całkowita x, dla której x² = −4.
c) Istnieje liczba rzeczywista x, dla której x + 8 = 0.
d) Istnieje liczba naturalna n, dla której n < 0.
Zapisz zaprzeczenie zdania:
Dla każdej liczby rzeczywistej x:
Zapisz zaprzeczenie zdania:
Istnieje liczba całkowita x, dla której:
Zapisz zaprzeczenie zdania:
Dla każdej liczby naturalnej n:
Zapisz za pomocą symboli:
„Istnieje liczba rzeczywista x, dla której x² = 9.”
Zapisz za pomocą symboli:
„Dla każdej liczby naturalnej n, liczba n + 1 jest większa od n.”