W tym temacie zamiast wszystko liczyć algebraicznie możemy narysować dwa wykresy i odczytać rozwiązanie.
Najważniejszy pomysł:
Równanie lub nierówność zamieniamy na porównanie dwóch funkcji:
Potem patrzymy, jak zachowują się ich wykresy.
Jak rozwiązujemy równanie?
Szukamy punktów przecięcia wykresów. Rozwiązaniami są współrzędne x tych punktów.
Nie odczytujemy y.
Jeżeli wykresy przecinają się w punkcie A(3,5), to rozwiązaniem równania jest x = 3.
Jak rozwiązujemy nierówność?
Szukamy, gdzie wykres f jest wyżej.
Szukamy, gdzie wykres f jest niżej.
Wykres f jest wyżej albo wykresy się przecinają.
Wykres f jest niżej albo wykresy się przecinają.
Zapamiętaj:
> → pierwszy wykres ma być wyżej.
< → pierwszy wykres ma być niżej.
≥ lub ≤ → punkty przecięcia też należą do rozwiązania.
Dziedzina – sprawdzamy ją na początku
Zanim odczytamy rozwiązanie, sprawdzamy, dla jakich x obie strony równania lub nierówności w ogóle mają sens.
Mianownik nie może być zerem:
Dziedzina: D = ℝ \ {3}.
Przykład 1 – równanie
Rozpatrujemy:
Dziedzina: x ≠ −1.
Wykresy mają trzy punkty wspólne: A(−2,2), B(0,−2), C(1,−1).
Odczytujemy ich pierwsze współrzędne:
Przykład 2 – nierówność
Dziedzina: x ≤ 0.
Rozpatrujemy funkcje:
Wykresy przecinają się dla x = −4 i x = 0.
Mamy znak ≤, więc szukamy miejsc, gdzie niebieski wykres jest niżej albo dokładnie na zielonym.
Przykład 3 – wynik przybliżony
Dziedzina: x ≥ 0.
Rozpatrujemy:
Z wykresu odczytujemy w przybliżeniu:
Dokładnie:
Ważne: z wykresu często otrzymujemy tylko wartość przybliżoną. Im dokładniej narysowany wykres, tym dokładniejszy odczyt.
Co, jeśli po jednej stronie jest liczba?
Dla równania f(x)=2 rysujemy wykres f oraz poziomą prostą y=2. Rozwiązaniami są miejsca przecięcia.
Dla f(x)>2 szukamy części wykresu znajdującej się powyżej prostej y=2.
Zadania
Zadanie 1
Pokaż rozwiązanie
Rysujemy funkcje f(x)=|x| i g(x)=−x²+2.
Wykresy przecinają się w punktach (−1,1) i (1,1).
Zadanie 2
Pokaż rozwiązanie
Wykresy spotykają się dla x=−4 i x=0. Teraz szukamy miejsca, w którym niebieski wykres jest wyżej.
Jest tak pomiędzy punktami przecięcia.
Końców nie bierzemy, bo nierówność jest ostra.
Zadanie 3
Pokaż rozwiązanie
Rysujemy:
Na wykresie widzimy trzy punkty przecięcia:
Zadanie 4
Pokaż rozwiązanie
Rysujemy:
Wykresy przecinają się w przybliżeniu dla:
Szukamy miejsca, gdzie niebieski wykres jest niżej lub na zielonym. Dzieje się tak od punktu przecięcia w prawo.
Zadanie 5
Pokaż rozwiązanie
Rozpatrujemy:
Dziedzina: x ≠ −4.
Szara przerywana prosta x=−4 przypomina o wartości wykluczonej z dziedziny.
Wykres f przecina prostą y=1 dla x=−3.
Niebieski wykres leży poniżej y=1 dla x<−4 oraz dla x>−3.
Zadanie 6
Pokaż rozwiązanie
Rysujemy:
Wykresy przecinają się dla:
Najczęstsze błędy
1. Odczytujesz współrzędną y zamiast x.
2. Zapominasz o dziedzinie.
3. Przy nierówności nie sprawdzasz, który wykres jest wyżej.
4. Przy ≤ lub ≥ nie dopisujesz punktów przecięcia.
5. Traktujesz wynik odczytany z wykresu jako dokładny, choć wykres daje tylko przybliżenie.
Mini ściąga
→ punkty przecięcia → odczytujemy x
→ pierwszy wykres jest wyżej
→ pierwszy wykres jest niżej
→ pierwszy wykres jest wyżej albo wykresy się przecinają
→ pierwszy wykres jest niżej albo wykresy się przecinają