W tym temacie wykorzystujemy znane już przekształcenia algebraiczne po to, żeby
uprościć wyrażenie, usunąć pierwiastek z mianownika
albo szybciej rozwiązać równanie czy nierówność.
Najważniejsza myśl: zanim zaczniesz rozwijać wszystko po kolei, sprawdź, czy nie da się użyć wzoru skróconego mnożenia.
Najważniejsze wzory
Kwadrat sumy
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
Kwadrat różnicy
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Różnica kwadratów
\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\)
Wyłączanie wspólnego czynnika
\(ab+ac=a(b+c)\)
Usuwanie niewymierności z mianownika
Chcemy doprowadzić do sytuacji, w której w mianowniku nie ma pierwiastka.
Robimy to przez pomnożenie licznika i mianownika przez odpowiednie wyrażenie.
Przypadek 1 – w mianowniku jest jeden pierwiastek
Przykład:
\(\frac{1}{\sqrt a}\)
Krok 1. Mnożymy licznik i mianownik przez \(\sqrt a\)
\[
\frac{1}{\sqrt a}\cdot\frac{\sqrt a}{\sqrt a}
\]
Krok 2. Mnożymy licznik
\[
1\cdot\sqrt a=\sqrt a
\]
Krok 3. Mnożymy mianownik
\[
\sqrt a\cdot\sqrt a=a
\]
Krok 4. Otrzymujemy
\[
\frac{\sqrt a}{a}
\]
Przypadek 2 – w mianowniku jest suma albo różnica
Przykład:
\(\frac{1}{a+\sqrt b}\)
Krok 1. Wybieramy sprzężenie mianownika
Sprzężeniem wyrażenia \(a+\sqrt b\) jest:
\[
a-\sqrt b
\]
Krok 2. Mnożymy licznik i mianownik przez to samo wyrażenie
\[
\frac{1}{a+\sqrt b}\cdot
\frac{a-\sqrt b}{a-\sqrt b}
\]
Krok 3. Mnożymy licznik
\[
1\cdot(a-\sqrt b)=a-\sqrt b
\]
Krok 4. Zapisujemy mianownik
\[
(a+\sqrt b)(a-\sqrt b)
\]
Krok 5. Stosujemy wzór skróconego mnożenia – różnicę kwadratów
\[
(a+\sqrt b)(a-\sqrt b)
=
a^2-(\sqrt b)^2
\]
Krok 6. Upraszczamy pierwiastek
\[
(\sqrt b)^2=b
\]
\[
a^2-(\sqrt b)^2=a^2-b
\]
Krok 7. Zapisujemy wynik
\[
\frac{a-\sqrt b}{a^2-b}
\]
Dla mianownika \(a-\sqrt b\) robimy dokładnie to samo, tylko mnożymy przez sprzężenie \(a+\sqrt b\).
Równania i nierówności
Przykład 1 – równanie
Rozwiąż:
\[
(x-5)(x+5)=x^2-100x
\]
Krok 1. Stosujemy wzór na różnicę kwadratów
\[
(x-5)(x+5)=x^2-25
\]
Krok 2. Podstawiamy do równania
\[
x^2-25=x^2-100x
\]
Krok 3. Odejmujemy \(x^2\) po obu stronach
\[
-25=-100x
\]
Krok 4. Dzielimy obie strony przez \(-100\)
\[
x=\frac{-25}{-100}
\]
\[
x=\frac14
\]
Rozwiązanie: \(x=\frac14\).
Przykład 2 – nierówność
Rozwiąż:
\[
4x^2-(2x+1)^2<3
\]
Krok 1. Rozwijamy kwadrat sumy
\[
(2x+1)^2=4x^2+4x+1
\]
Krok 2. Podstawiamy
\[
4x^2-(4x^2+4x+1)<3
\]
Krok 3. Usuwamy nawias
\[
4x^2-4x^2-4x-1<3
\]
Krok 4. Redukujemy wyrazy podobne
\[
-4x-1<3
\]
Krok 5. Dodajemy 1 do obu stron
\[
-4x<4
\]
Krok 6. Dzielimy obie strony przez \(-4\)
Uwaga: gdy mnożymy lub dzielimy obie strony nierówności przez liczbę ujemną, zmieniamy znak nierówności na przeciwny.
\[
<\ \leftrightarrow\ > \qquad
\le\ \leftrightarrow\ \ge
\]
\[
x>-1
\]
Zbiór rozwiązań: \((-1,\infty)\).
Równanie tożsamościowe i sprzeczne
Równanie tożsamościowe
Po uproszczeniu otrzymujemy prawdę, np.:
\[
0=0
\]
Wtedy równanie jest spełnione dla każdej liczby rzeczywistej.
Równanie sprzeczne
Po uproszczeniu otrzymujemy fałsz, np.:
\[
5=0
\]
Wtedy równanie nie ma rozwiązań.
Mini ściąga
| Co widzę? | Co robię? |
|---|
| \((a-b)(a+b)\) | stosuję różnicę kwadratów |
| \((a+b)^2\) | rozwijam: \(a^2+2ab+b^2\) |
| \((a-b)^2\) | rozwijam: \(a^2-2ab+b^2\) |
| pierwiastek w mianowniku | mnożę licznik i mianownik przez odpowiednie wyrażenie |
| suma/różnica z pierwiastkiem w mianowniku | mnożę przez sprzężenie |
| dzielenie nierówności przez liczbę ujemną | zmieniam znak nierówności |
| po uproszczeniu \(0=0\) | równanie tożsamościowe |
| po uproszczeniu np. \(3=7\) | równanie sprzeczne |
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1
Usuń niewymierność z mianownika:
\[
\frac{1}{1+\sqrt3}
\]
Pokaż rozwiązanie
Sprzężenie mianownika to \(1-\sqrt3\).
\[
\frac{1}{1+\sqrt3}\cdot\frac{1-\sqrt3}{1-\sqrt3}
\]
\[
(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)=1-3=-2
\]
\[
\frac{1-\sqrt3}{-2}
=
\frac{\sqrt3-1}{2}
\]
Wynik: \(\frac{\sqrt3-1}{2}\).
Zadanie 2
Usuń niewymierność z mianownika:
\[
\frac{10}{\sqrt7-\sqrt2}
\]
Pokaż rozwiązanie
Sprzężenie mianownika to \(\sqrt7+\sqrt2\).
\[
\frac{10}{\sqrt7-\sqrt2}\cdot
\frac{\sqrt7+\sqrt2}{\sqrt7+\sqrt2}
\]
\[
(\sqrt7-\sqrt2)(\sqrt7+\sqrt2)=7-2=5
\]
\[
\frac{10(\sqrt7+\sqrt2)}{5}=2(\sqrt7+\sqrt2)
\]
Wynik: \(2\sqrt7+2\sqrt2\).
Zadanie 3
Rozwiąż równanie:
\[
(3-x)^2-\left(x+\frac13\right)^2=\frac29
\]
Pokaż rozwiązanie
Stosujemy wzór na różnicę kwadratów:
\[
a^2-b^2=(a-b)(a+b)
\]
\[
\left(\frac83-2x\right)\cdot\frac{10}{3}
=
\frac29
\]
\[
\frac{80}{9}-\frac{20x}{3}
=
\frac29
\]
\[
80-60x=2
\]
\[
-60x=-78
\]
\[
x=\frac{13}{10}
\]
Rozwiązanie: \(x=\frac{13}{10}\).
Zadanie 4
Rozwiąż równanie:
\[
4\left(\frac12x-3\right)^2=(6-x)^2
\]
Pokaż rozwiązanie
\[
4\left(\frac12x-3\right)^2=(x-6)^2
\]
\[
(6-x)^2=(x-6)^2
\]
Obie strony są takie same dla każdego \(x\).
Równanie tożsamościowe: \(x\in\mathbb R\).
Zadanie 5
Rozwiąż nierówność:
\[
9\left(\frac23x-1\right)^2>(1-2x)^2-8x
\]
Pokaż rozwiązanie
\[
9\left(\frac49x^2-\frac43x+1\right)
>
1-4x+4x^2-8x
\]
\[
4x^2-12x+9
>
4x^2-12x+1
\]
\[
9>1
\]
Otrzymaliśmy zdanie prawdziwe niezależnie od \(x\).
Nierówność jest spełniona dla każdego \(x\in\mathbb R\).
Zadanie 6
Rozwiąż nierówność:
\[
-9(2-x)^2-(1-3x)(3x+1)<1
\]
Pokaż rozwiązanie
\[
-9(4-4x+x^2)-(1-9x^2)<1
\]
\[
-36+36x-9x^2-1+9x^2<1
\]
\[
36x-37<1
\]
\[
36x<38
\]
\[
x<\frac{19}{18}
\]
Zbiór rozwiązań: \((-\infty,\frac{19}{18})\).
Zadanie 7
Rozwiąż nierówność:
\[
(x+1)^2-2\le(x-1)(x+1)+2x
\]
Pokaż rozwiązanie
\[
x^2+2x+1-2
\le
x^2-1+2x
\]
\[
x^2+2x-1
\le
x^2+2x-1
\]
\[
0\le0
\]
Nierówność tożsamościowa: \(x\in\mathbb R\).
Zadanie 8
Sprawdź, jaki to typ równania:
\[
(x-4)^2+4x=(x-2)^2+12
\]
Pokaż rozwiązanie
\[
x^2-8x+16+4x=x^2-4x+4+12
\]
\[
x^2-4x+16=x^2-4x+16
\]
\[
0=0
\]
Równanie tożsamościowe: \(x\in\mathbb R\).
Zadanie 9
Sprawdź, jaki to typ równania:
\[
(x-3)^2+14x=2x^2-(x-4)^2
\]
Pokaż rozwiązanie
\[
x^2-6x+9+14x=2x^2-(x^2-8x+16)
\]
\[
x^2+8x+9=x^2+8x-16
\]
\[
9=-16
\]
Równanie sprzeczne – brak rozwiązań.
Zadanie 10
Wyznacz przedział liczb spełniających obie nierówności:
\[
\begin{cases}
(x+1)^2>x^2+1\\
(x-1)^2<(2-x)^2
\end{cases}
\]
Pokaż rozwiązanie
Pierwsza nierówność
\[
x^2+2x+1>x^2+1
\]
\[
2x>0
\]
\[
x>0
\]
Druga nierówność
Na koniec: w tych zadaniach najważniejsze jest rozpoznanie, jaki wzór można zastosować. Dopiero potem wykonujemy działania — najlepiej po jednym przekształceniu w każdym kroku.
