1. Jak udowodnić, że funkcja jest rosnąca lub malejąca?
Gdy rośnie argument x, obserwujemy, co dzieje się z wynikiem f(x). Funkcja rosnąca daje większy wynik dla większego argumentu. W dowodzie musimy to sprawdzić nie tylko dla kilku wybranych liczb, ale dla dowolnych dwóch argumentów z podanego przedziału.
Przykład. Wykaż, że funkcja f(x) = 2x − 1x + 3 jest rosnąca dla x ∈ (−∞, −3).
Najpierw zobaczmy sens oznaczeń na wykresie:
Tu tylko dla zobrazowania bierzemy x₁ = −7 i x₂ = −5. Punkt P₂ leży bardziej na prawo i wyżej. W dowodzie x₁ i x₂ pozostają dowolnymi liczbami z przedziału.
Krok 1. Wybieramy dowolne x₁, x₂ ∈ (−∞, −3) i zakładamy x₁ < x₂.
Krok 2. Liczymy f(x₂) − f(x₁). Jeśli wynik jest dodatni, to f(x₂) > f(x₁).
Krok 3. Ponieważ x₁ < x₂, to x₂ − x₁ > 0; licznik 7(x₂ − x₁) jest dodatni. Obie liczby x₁ i x₂ są mniejsze od −3, więc x₁ + 3 < 0 i x₂ + 3 < 0. Ich iloczyn w mianowniku jest dodatni.
Wniosek: cały ułamek jest dodatni, więc f(x₂) − f(x₁) > 0, czyli f(x₂) > f(x₁). Funkcja jest rosnąca.
2. Jak wyznaczyć y z równania dwóch zmiennych?
Chcemy zapisać równanie w postaci y = f(x). Pilnujemy pierwotnych mianowników oraz sprawdzamy, przez co dzielimy w trakcie przekształceń. Z tych ograniczeń może wynikać brak punktu na wykresie.
Przykład. Wyznacz y z równania 1x + 3 + 1y − 2 = 1.
Krok 1. Zapisujemy założenia z równania wyjściowego: x ≠ −3 i y ≠ 2.
Krok 2. Przenosimy pierwszy ułamek na prawą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
Krok 3. Chcemy wyliczyć y, więc mnożymy na krzyż:
Uwaga! Teraz będziemy dzielić przez x + 2. Nie wolno dzielić przez zero, więc przyjmujemy x + 2 ≠ 0, czyli x ≠ −2.
Odpowiedź: y = 3 + 1/(x + 2), przy x ≠ −3, −2. Wykres to hiperbola z asymptotami x = −2, y = 3 i z usuniętym punktem (−3; 2), bo x = −3 było zabronione od początku.
3. Jak rozwiązać nierówność, porównując wykresy?
Gdy nierówność porównuje dwie funkcje, rysujemy je w jednym układzie. Tam, gdzie wykres lewej strony jest wyżej niż wykres prawej (albo na tej samej wysokości), nierówność „≥” jest spełniona.
Przykład. Rozwiąż graficznie −2x − 3 ≥ |x − 2|.
Krok 1. Dziedzina: x ≠ 3. Rysujemy f(x) = −2/(x − 3) oraz g(x) = |x − 2|.
Niebieska hiperbola leży nad zielonym V dla 1 ≤ x < 3.
Krok 2. Wykresy przecinają się w punkcie (1; 1). Niebieski wykres zaczyna być wyżej od zielonego dla x > 1 aż do asymptoty x = 3.
Krok 3. Punkt x = 1 uwzględniamy, bo mamy ≥. Liczbę x = 3 wykluczamy z dziedziny.
Odpowiedź: x ∈ [1, 3).
4. Moduł funkcji i liczba rozwiązań
Wartość bezwzględna zmienia ujemne wysokości wykresu na dodatnie. Pytanie „ile rozwiązań?” oznacza: ile razy pozioma prosta przecina wykres? Jedno przecięcie to jedno rozwiązanie.
Przykład. Dla jakich wartości parametru k równanie |3x + 1 + 3| = k4 ma: a) dwa różne rozwiązania; b) dwa różne rozwiązania ujemne?
Krok 1. Co przedstawia równanie? Rysujemy niebieski wykres funkcji f(x) = |3/(x + 1) + 3| (dla x ≠ −1). Prawa strona, czyli k/4, to pozioma linia. Każde jej przecięcie z niebieskim wykresem oznacza jedno rozwiązanie.
Linie na różnych wysokościach pokazują, jak zmienia się liczba przecięć. Brązowa linia y = 3 jest wyjątkiem: na tym poziomie jest tylko jedno przecięcie.
Krok 2. Kiedy mamy dwa rozwiązania? Gdy linia jest ponad osią OX, czyli k/4 > 0, zazwyczaj przecina wykres dwa razy. Jedyny wyjątek to k/4 = 3: wykres po prawej stronie zbliża się do poziomu 3, lecz go nie osiąga. Pozostaje wtedy tylko jedno przecięcie.
Odpowiedź a): k ∈ (0, 12) ∪ (12, +∞).
Krok 3. A kiedy oba rozwiązania są ujemne? Patrzymy, czy oba przecięcia leżą po lewej stronie osi OY (czyli czy oba x są mniejsze od zera). Dla wysokości pomiędzy 0 i 3 – tak. Na wysokości 6 jedno z przecięć jest na osi OY (x = 0), a dopiero powyżej 6 oba są z lewej strony.
Odpowiedź b): k ∈ (0, 12) ∪ (24, +∞).
Ważne: „dwa rozwiązania” i „dwa rozwiązania ujemne” to dwa różne pytania — dlatego pojawiają się dwa różne wyniki.
5. Zadania do samodzielnego rozwiązania
Spróbuj najpierw samodzielnie. Rozwijaj rozwiązanie dopiero po próbie — każdy etap został wyjaśniony.
Zadanie 1. Wykaż, że f(x) = x − 1x + 3 jest rosnąca w (−∞, −3).
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wybieramy dowolne x₁ < x₂ z (−∞, −3).
Krok 2. Liczymy różnicę wartości:
Krok 3. Z x₁ < x₂ wynika x₂ − x₁ > 0, dlatego licznik jest dodatni. Oba czynniki mianownika są ujemne, bo x₁ < −3 i x₂ < −3. Iloczyn dwóch ujemnych jest dodatni.
Stąd f(x₂) − f(x₁) > 0, czyli f(x₂) > f(x₁). Funkcja jest rosnąca.
Zadanie 2.. Wyznacz y z równania 5x + 1y − 3 = 1 i podaj dziedzinę otrzymanej funkcji.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wyjściowe mianowniki nie mogą być zerem: x ≠ 0 i y ≠ 3.
Krok 2. Przenosimy ułamek i sprowadzamy do wspólnego mianownika:
Krok 3. Mnożymy na krzyż:
Krok 4. Chcemy podzielić przez x − 5. Nie wolno dzielić przez zero! Zatem x − 5 ≠ 0, czyli x ≠ 5.
Odpowiedź: y = 4 + 5/(x − 5), przy x ≠ 0 oraz x ≠ 5. Wykres tej funkcji ma usunięty punkt dla x = 0 (wtedy y = 3).
Zadanie 3. Rozwiąż graficznie −2x − 3 ≥ |x − 2|.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Dziedzina: x ≠ 3.
Krok 2. Porównujemy oba wykresy:
Niebieska hiperbola leży nad zielonym V dla 1 ≤ x < 3.
Krok 3. W punkcie (1; 1) wykresy się spotykają. Dla 1 ≤ x < 3 niebieska hiperbola jest na zielonym wykresie lub nad nim.
Odpowiedź: x ∈ [1, 3).
Zadanie 4. Wyznacz wszystkie punkty o obu współrzędnych całkowitych, należące do wykresu funkcji f(x) = 2x − 1.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Dziedzina: x ≠ 0. Obie współrzędne mają być całkowite, więc x jest liczbą całkowitą, a wartość f(x) także ma być całkowita.
Krok 2. Ponieważ odejmujemy 1, liczba 2x również musi być całkowita. To możliwe wtedy, gdy x jest całkowitym dzielnikiem liczby 2.
Krok 3. Podstawiamy po kolei:
Odpowiedź: (−2, −2), (−1, −3), (1, 1), (2, 0).
Zadanie 5. Dana jest h(x) = x³ + 2x² − 9x + 6kx + 3k i h(1) = 3. a) Oblicz k; b) podaj miejsca zerowe; c) wyznacz, dla jakich x zachodzi h(x) ≥ 0.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Podstawiamy x = 1 oraz h(1) = 3. Zapisujemy L = P:
Założenie 1 + 3k ≠ 0 jest spełnione dla k = −3.
Krok 2. Podstawiamy k = −3 i rozkładamy licznik na czynniki:
Dziedzina: x ≠ 9. Miejsca zerowe: x = −3, −2, 3.
Krok 3. Badamy znak iloczynu na przedziałach wyznaczonych przez −3, −2, 3 i 9. W punkcie 9 mianownik jest zerem — ten punkt wykluczamy.
| Przedział | (−∞, −3) | (−3, −2) | (−2, 3) | (3, 9) | (9, +∞) |
|---|---|---|---|---|---|
| Znak h(x) | + | − | + | − | + |
Odpowiedź: k = −3; miejsca zerowe: −3, −2, 3; h(x) ≥ 0 dla x ∈ (−∞, −3] ∪ [−2, 3] ∪ (9, +∞).
Zapamiętaj! Jaką metodę wybrać?
Najpierw przeczytaj polecenie i ustal, czego masz szukać.
| Rodzaj polecenia | Co robić? |
|---|---|
| Wykaż monotoniczność | Weź x₁ < x₂, oblicz f(x₂) − f(x₁) i sprawdź znak. |
| Wyznacz y | Przekształć równanie, pilnując mianowników i dziedziny. |
| Rozwiąż graficznie | Narysuj wykresy i porównaj ich położenie. |
| Ustal liczbę rozwiązań | Policz przecięcia z prostą poziomą. |
Ważne: zamiast zapamiętywać gotowe wyniki, ucz się rozpoznawać metodę.