W tym temacie najważniejsze są: dzielenie z resztą, dzielniki i wielokrotności, cechy podzielności, liczby pierwsze, rozkład na czynniki pierwsze oraz NWD i NWW.
Nie każda liczba dzieli się przez drugą bez reszty.
172 : 6 = 28 reszty 4
Oznacza to, że:
172 = 28 · 6 + 4
Reszta z dzielenia musi być zawsze mniejsza od liczby, przez którą dzielimy.
Dzielnikiem liczby jest taka liczba, przez którą możemy ją podzielić bez reszty.
24 : 4 = 6
Skoro dzielenie odbyło się bez reszty, to:
4 jest dzielnikiem liczby 24
oraz
6 także jest dzielnikiem liczby 24.
Możemy przecież sprawdzić:
24 : 4 = 6
24 : 6 = 4
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Wielokrotności otrzymujemy, mnożąc daną liczbę kolejno przez: 1, 2, 3, 4, 5, …
Wielokrotności liczby 4:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
Czyli:
4, 8, 12, 16, 20, 24, …
24 = 4 · 6
to 24 jest wielokrotnością liczby 4 i jednocześnie wielokrotnością liczby 6.
Dzięki cechom podzielności nie musimy za każdym razem wykonywać dzielenia.
| Liczba jest podzielna przez… | Gdy… |
|---|---|
| 2 | ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8 |
| 3 | suma cyfr jest podzielna przez 3 |
| 4 | liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4 |
| 5 | ostatnia cyfra to 0 lub 5 |
| 9 | suma cyfr jest podzielna przez 9 |
| 10 | ostatnia cyfra to 0 |
| 100 | dwie ostatnie cyfry to 00 |
Sprawdźmy liczbę 2340.
przez 2 → tak, bo kończy się cyfrą 0
przez 3 → tak, bo 2 + 3 + 4 + 0 = 9
przez 4 → tak, bo 40 dzieli się przez 4
przez 5 → tak, bo kończy się cyfrą 0
przez 9 → tak, bo suma cyfr wynosi 9
przez 10 → tak, bo ostatnia cyfra to 0
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie.
Liczba złożona ma więcej niż dwa dzielniki.
12 – liczba złożona, bo jej dzielniki to 1, 2, 3, 4, 6 i 12.
Liczby 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi, ani złożonymi.
Rozkład na czynniki pierwsze polega na zapisaniu liczby jako iloczynu liczb pierwszych.
Rozłóżmy 84 na czynniki pierwsze.
| 84 | 2 |
| 42 | 2 |
| 21 | 3 |
| 7 | 7 |
| 1 |
Po prawej stronie zapisujemy kolejne liczby pierwsze, przez które dzielimy.
Dlatego:
84 = 2 · 2 · 3 · 7 = 2² · 3 · 7
NWD to największa liczba, która jest dzielnikiem obu liczb.
Znajdź NWD(24, 36).
Sposób 1 – wypisujemy dzielniki
Dzielniki liczby 24:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Dzielniki liczby 36:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Wspólne dzielniki:
1, 2, 3, 4, 6, 12
Największy z nich to 12.
NWD(24, 36) = 12
Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 36 | 2 |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
36 = 2² · 3²
Zaznaczone kółkiem czynniki występują w obu rozkładach.
Przy NWD wybieramy właśnie te wspólne czynniki:
2 · 2 · 3 = 12
NWD(24, 36) = 12
Możesz wypisać wszystkie dzielniki obu liczb i wybrać największy wspólny.
NWW to najmniejsza dodatnia liczba, która jest wielokrotnością obu liczb.
Znajdź NWW(12, 18).
Sposób 1 – wypisujemy wielokrotności
Wielokrotności 12:
12, 24, 36, 48, 60, 72, …
Wielokrotności 18:
18, 36, 54, 72, …
Pierwsza wspólna wielokrotność to 36.
NWW(12, 18) = 36
Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
2 · 2 · 3
Krok 2. W drugim rozkładzie skreślamy czynniki, które już wystąpiły w pierwszym rozkładzie.
W liczbie 18 skreślamy więc jedno 2 i jedno 3.
Krok 3. Dopisujemy czynniki, które zostały nieskreślone.
Z drugiego rozkładu zostaje jeszcze jedno 3.
Otrzymujemy:
2 · 2 · 3 · 3 = 36
NWW(12, 18) = 36
Korzystamy z rozkładów na czynniki pierwsze:
12 = 2² · 3
18 = 2 · 3²
Patrzymy, jakie liczby pierwsze występują w obu rozkładach:
2 i 3
Przy NWW każdą z nich bierzemy w największej potędze, jaka pojawiła się w którymkolwiek rozkładzie.
Dla liczby 2 największa potęga to:
2²
Dla liczby 3 największa potęga to:
3²
Mnożymy:
2² · 3² = 4 · 9 = 36
NWW(12, 18) = 36
Możesz zacząć wypisywać wielokrotności obu liczb i znaleźć pierwszą wspólną.
Teraz trochę trudniejsze zadania. Spróbuj najpierw samodzielnie, a potem rozwiń rozwiązanie.
Znajdź liczbę x, jeżeli:
x : 11 = 6 reszty 4
Pokaż rozwiązanie
x : 11 = 6 reszty 4,
to:
x = 11 · 6 + 4
x = 66 + 4
x = 70
x = 70
Ustal, przez które z liczb 2, 3, 4, 5, 9, 10 można skrócić ułamek:
Pokaż rozwiązanie
Przez 2:
obie liczby są parzyste → TAK
Przez 3:
1 + 5 + 3 + 0 = 9
2 + 2 + 5 + 0 = 9
obie sumy są podzielne przez 3 → TAK
Przez 4:
30 nie dzieli się przez 4 → NIE
Przez 5:
obie liczby kończą się na 0 → TAK
Przez 9:
suma cyfr obu liczb wynosi 9 → TAK
Przez 10:
obie liczby kończą się na 0 → TAK
Odpowiedź: przez 2, 3, 5, 9 i 10.
Znajdź NWD i NWW liczb 300 i 360.
Pokaż rozwiązanie
| 300 | 2 |
| 150 | 2 |
| 75 | 3 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 |
| 360 | 2 |
| 180 | 2 |
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
360 = 2³ · 3² · 5
Zaznaczone kółkiem czynniki są wspólne dla obu liczb.
NWD:
2 · 2 · 3 · 5 = 60
NWD(300, 360) = 60
NWW:
bierzemy wszystkie czynniki w największych potęgach:
2³ · 3² · 5² = 1800
NWW(300, 360) = 1800
Oceń, czy zdania są prawdziwe.
a) Każda liczba podzielna przez 2 i przez 4 jest także podzielna przez 8.
b) Każda liczba podzielna przez 6 i przez 4 jest także podzielna przez 12.
c) Każda liczba podzielna przez 3 i przez 5 jest także podzielna przez 15.
Pokaż rozwiązanie
Na przykład liczba 12.
Dzieli się przez 2 i przez 4, ale nie dzieli się przez 8.
b) PRAWDA
Każda liczba podzielna jednocześnie przez 6 i 4 jest także podzielna przez 12.
c) PRAWDA
Liczba podzielna jednocześnie przez 3 i 5 jest podzielna przez 15.
Znajdź NWD i NWW liczb 400 i 560.
Pokaż rozwiązanie
| 400 | 2 |
| 200 | 2 |
| 100 | 2 |
| 50 | 2 |
| 25 | 5 |
| 5 | 5 |
| 1 |
| 560 | 2 |
| 280 | 2 |
| 140 | 2 |
| 70 | 2 |
| 35 | 5 |
| 7 | 7 |
| 1 |
560 = 2⁴ · 5 · 7
Zaznaczone kółkiem czynniki są wspólne dla obu liczb.
NWD:
2 · 2 · 2 · 2 · 5 = 80
NWD(400, 560) = 80
NWW:
bierzemy wszystkie czynniki w największych potęgach:
2⁴ · 5² · 7 = 2800
NWW(400, 560) = 2800