Wektor w układzie współrzędnych

W układzie współrzędnych wektor możemy opisać za pomocą dwóch liczb. Mówią one, o ile przesuwamy się w poziomie i w pionie.

Jak obliczyć współrzędne wektora?

Jeżeli mamy punkty:

A(x₁, y₁)    i    B(x₂, y₂)

to współrzędne wektora AB obliczamy:

AB = [x₂ − x₁,   y₂ − y₁]

Najważniejsza zasada:

WSPÓŁRZĘDNE KOŃCA WEKTORA − WSPÓŁRZĘDNE POCZĄTKU WEKTORA
x₂ − x₁    oraz    y₂ − y₁

Czyli od współrzędnych punktu końcowego odejmujemy odpowiednie współrzędne punktu początkowego.

Przykład

Dane są:

A(2, 1),    B(−2, 3)

Liczymy:

AB = [−2 − 2,   3 − 1]
AB = [−4, 2]

Czyli z punktu A przesuwamy się 4 jednostki w lewo i 2 jednostki w górę.

Jak odczytać współrzędne wektora?

Pierwsza współrzędna mówi nam, jak przesuwamy się wzdłuż osi x.

Druga współrzędna mówi, jak przesuwamy się wzdłuż osi y.

u = [4, −3]

4 → 4 jednostki w prawo.

−3 → 3 jednostki w dół.

v = [−2, 5]

−2 → 2 jednostki w lewo.

5 → 5 jednostek w górę.

Znamy punkt i wektor – jak znaleźć drugi punkt?

Jeżeli znamy punkt początkowy oraz współrzędne wektora, to współrzędne wektora mówią nam dokładnie, o ile mamy przesunąć się w poziomie i w pionie.

Przykład

Dane są:

A(−5, 3)
AB = [7, −9]

Pierwsza współrzędna mówi: przesuwamy się o 7 w prawo.

Druga współrzędna mówi: przesuwamy się o 9 w dół.

Liczymy:

x₂ = −5 + 7 = 2
y₂ = 3 − 9 = −6

Zatem:

B(2, −6)
x y A(−5, 3) B(2, −6) +7 −9 AB = [7, −9]
Z punktu A przesuwamy się o 7 w prawo i o 9 w dół, dlatego dochodzimy do punktu B(2, −6).

Możemy myśleć:

punkt końcowy = punkt początkowy + wektor

Kiedy dwa wektory są równe?

Dwa wektory są równe wtedy, gdy mają dokładnie takie same obie współrzędne.

Jeżeli:

u = [uₓ, uᵧ]
v = [vₓ, vᵧ]

to:

u = v

wtedy, gdy:

uₓ = vₓ    i    uᵧ = vᵧ

Długość wektora

Zanim policzymy długość wektora wyznaczonego przez dwa punkty, zobaczmy najpierw prostszy przypadek: gdy znamy już jego współrzędne.

Jeżeli:

u = [a, b]

to współrzędne a i b mówią nam, o ile wektor przesuwa się w poziomie i w pionie.

Możemy więc utworzyć trójkąt prostokątny. Jego przyprostokątne mają długości |a| oraz |b|, a długość wektora jest przeciwprostokątną.

x y |a| |b| |u|
Współrzędne wektora tworzą przyprostokątne trójkąta, a długość wektora jest przeciwprostokątną.

Skąd bierze się wzór?

Bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa:

|u|² = a² + b²

więc:

|u| = √(a² + b²)

Na rysunku dla wygody zaczepiliśmy wektor w początku układu współrzędnych. Nie oznacza to jednak, że wektor musi zaczynać się w punkcie (0,0). Długość wektora zależy od jego współrzędnych, a nie od miejsca, w którym został narysowany.

Przykład
u = [12, 5]
|u| = √(12² + 5²)
= √(144 + 25) = √169 = 13

A jeśli wektor jest wyznaczony przez dwa punkty?

Jeżeli mamy:

A(x₁, y₁)    i    B(x₂, y₂),

to najpierw obliczamy współrzędne wektora:

AB = [x₂ − x₁,   y₂ − y₁].

Następnie te dwie wartości podstawiamy do poznanego przed chwilą wzoru na długość:

|AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Czyli w dwóch krokach:

1. Oblicz współrzędne wektora:

[x₂ − x₁,   y₂ − y₁]

2. Z tych współrzędnych oblicz jego długość za pomocą twierdzenia Pitagorasa.

Dodawanie wektorów

Dodajemy osobno pierwsze współrzędne i osobno drugie.

[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]
Przykład
u = [4, −1],    v = [2, 4]
u + v = [4 + 2,   −1 + 4]
= [6, 3]

Wektor przeciwny

Żeby otrzymać wektor przeciwny, zmieniamy znaki obu współrzędnych.

−[a, b] = [−a, −b]
Przykład
u = [−2, −5]
−u = [2, 5]

Odejmowanie wektorów

Odejmujemy współrzędna po współrzędnej.

[a, b] − [c, d] = [a − c, b − d]
Przykład
p = [4, −1],    r = [2, 4]
p − r = [4 − 2,   −1 − 4]
= [2, −5]

Mnożenie wektora przez liczbę

Mnożymy obie współrzędne przez tę liczbę.

k[a, b] = [ka, kb]
Przykład
u = [2, −1]
−3u = [−3 · 2,   −3 · (−1)]
= [−6, 3]

Kiedy wektory są równoległe?

Dwa niezerowe wektory są równoległe, jeżeli jeden można otrzymać przez pomnożenie drugiego przez pewną liczbę.

u = kv
Przykład
[6, 9] = 3[2, 3]

Wektory [6, 9] oraz [2, 3] są więc równoległe.

Jeżeli k > 0, wektory mają ten sam zwrot.

Jeżeli k < 0, wektory mają przeciwne zwroty.

Środek odcinka

Jeżeli:

A(x₁, y₁)    i    B(x₂, y₂),

to współrzędne środka odcinka liczymy osobno.

xS = x₁ + x₂ 2
yS = y₁ + y₂ 2

A następnie zapisujemy:

S(xS, yS)
Przykład

Dane są:

A(−2, 4),    B(6, −2)

Najpierw współrzędna x:

xS = −2 + 6 2 = 4 2 = 2

Teraz współrzędna y:

yS = 4 + (−2) 2 = 2 2 = 1

Zatem:

S(2, 1)
A(−2, 4) B(6, −2) S(2, 1)
Punkt S leży dokładnie w połowie odcinka AB.

Zapamiętaj

Współrzędne wektora:

AB = [x₂ − x₁,   y₂ − y₁]

Długość:

|[a,b]| = √(a² + b²)

Dodawanie:

[a,b] + [c,d] = [a+c, b+d]

Odejmowanie:

[a,b] − [c,d] = [a−c, b−d]

Mnożenie:

k[a,b] = [ka,kb]

Środek odcinka:

xS = x₁ + x₂ 2
yS = y₁ + y₂ 2

Zadania

Zadanie 1

Oblicz współrzędne wektora AB.

a) A(−3, 2), B(4, 5)

b) A(2, −4), B(−5, 1)

Pokaż rozwiązanie

Korzystamy z zasady: współrzędne końca wektora minus współrzędne początku.

a)

AB = [4 − (−3),   5 − 2]
= [7, 3]

b)

AB = [−5 − 2,   1 − (−4)]
= [−7, 5]
a) [7, 3]
b) [−7, 5]

Zadanie 2

Dany jest punkt:

A(−4, 3)

oraz wektor:

AB = [6, −5]

Wyznacz współrzędne punktu B.

Pokaż rozwiązanie

Wektor [6, −5] oznacza:

• 6 jednostek w prawo,

• 5 jednostek w dół.

Liczymy:

x₂ = −4 + 6 = 2
y₂ = 3 − 5 = −2
B(2, −2)

Zadanie 3

Oblicz długość wektora:

a) u = [6, 8]

b) v = [−5, 12]

Pokaż rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru wynikającego z twierdzenia Pitagorasa:

|[a,b]| = √(a²+b²)

a)

|u| = √(6²+8²) = √100 = 10

b)

|v| = √((−5)²+12²) = √169 = 13
a) 10
b) 13

Zadanie 4

Dane są:

u = [−2, 3],    v = [4, −1]

Oblicz:

a) u + v

b) v − u

c) 2u + v

d) u − ½v

Pokaż rozwiązanie

a)

[−2+4,   3+(−1)] = [2,2]

b)

[4−(−2),   −1−3] = [6,−4]

c)

2u = [−4,6]
[−4,6] + [4,−1] = [0,5]

d)

½v = [2, −½]
[−2,3] − [2,−½] = [−4, 3½]
a) [2,2]
b) [6,−4]
c) [0,5]
d) [−4, 3½]

Zadanie 5

Sprawdź, czy podane wektory są równoległe.

a) [2,3] oraz [6,9]

b) [4,−2] oraz [−6,3]

c) [2,5] oraz [4,8]

Pokaż rozwiązanie

Wektory są równoległe, jeżeli jeden jest wielokrotnością drugiego.

a)

[6,9] = 3[2,3]

Wektory są równoległe.

b)

[−6,3] = −1,5[4,−2]

Wektory są równoległe. Ponieważ mnożnik jest ujemny, mają przeciwne zwroty.

c)

2 · [2,5] = [4,10]

Otrzymaliśmy [4,10], a nie [4,8], więc wektory nie są równoległe.

a) tak
b) tak
c) nie

Zadanie 6

Dane są punkty:

A(−6, 4),    B(8, −2)

Wyznacz współrzędne środka odcinka AB.

Pokaż rozwiązanie

Najpierw współrzędna x:

xS = −6 + 8 2 = 1

Teraz współrzędna y:

yS = 4 + (−2) 2 = 1
S(1, 1)

Zadanie 7

Wyznacz liczbę a tak, aby wektory:

u = [3, −6]

oraz:

v = [a, 10]

były równoległe.

Pokaż rozwiązanie

Wektory równoległe muszą być swoimi wielokrotnościami.

Porównujemy drugie współrzędne:

−6k = 10
k = −5 3

Teraz pierwsza współrzędna:

a = 3 · −5 3 = −5
a = −5

Zadanie 8

Dane są:

A(1, −2)

oraz:

u = [−3,4]

Wyznacz punkt B, jeżeli:

AB = 2u

Następnie oblicz długość wektora AB.

Pokaż rozwiązanie

Najpierw:

2u = 2[−3,4] = [−6,8]

Czyli:

AB = [−6,8]

Z punktu A(1,−2) przesuwamy się 6 w lewo i 8 w górę.

x₂ = 1 − 6 = −5
y₂ = −2 + 8 = 6

Zatem:

B(−5,6)

Teraz obliczamy długość:

|AB| = √((−6)²+8²)
= √100 = 10
B(−5,6)
|AB| = 10

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?

Umów bezpłatną lekcję próbną — wytłumaczę Ci wszystko krok po kroku.

Umów lekcję próbną