Wektor możemy wyobrazić sobie po prostu jako strzałkę. Pokazuje ona, w którą stronę się przemieszczamy i jak duże jest to przesunięcie.
Po co nam ten temat? Na razie wystarczy nauczyć się rozpoznawać wektory oraz dodawać, odejmować i mnożyć je przez liczbę. Te umiejętności będą później potrzebne przy przekształceniach wykresów.
Jak zapisujemy wektor?
Wektor zaczynający się w punkcie A i kończący w punkcie B zapisujemy:
Strzałka biegnie zawsze od pierwszej litery do drugiej.
Wektor opisują trzy rzeczy:
• długość,
• kierunek,
• zwrot.
Kiedy dwa wektory są równe?
Dwa wektory są równe, jeśli mają taką samą długość, kierunek i zwrot.
Nie muszą jednak znajdować się dokładnie w tym samym miejscu.
Ważne: wektor możemy sobie przesunąć, jeżeli nie zmienimy jego długości, kierunku ani zwrotu.
Wektor przeciwny
Wektor przeciwny do u oznaczamy:
Ma taką samą długość i kierunek, ale przeciwny zwrot.
Dlatego:
Podobnie:
Dodawanie wektorów
Przy dodawaniu najwygodniej ustawić wektory jeden za drugim.
Chcemy narysować:
Najpierw rysujemy u. Następnie początek v przesuwamy na koniec u.
Zapamiętaj: przy dodawaniu myślimy: „najpierw idę u, potem v”.
Odejmowanie wektorów
Odejmowanie zamieniamy na dodawanie wektora przeciwnego.
Chcemy narysować:
Najpierw odwracamy v, otrzymując −v. Następnie dodajemy go do u.
Mnożenie wektora przez liczbę
Liczba stojąca przed wektorem zmienia jego długość, a znak minus dodatkowo zmienia zwrot.
Zwrot pozostaje taki sam.
jest dwa razy dłuższy.
Zwrot zmienia się na przeciwny.
jest trzy razy dłuższy.
Ogólnie:
Zapamiętaj
Zadania
Zadanie 1
Dane są niezerowe wektory u i v, przy czym:
Narysuj ich sumę i różnicę, jeżeli:
a) wektory są równoległe i mają zgodne zwroty,
b) wektory są równoległe i mają przeciwne zwroty.
Pokaż rozwiązanie
a) Zgodne zwroty
Przy sumie długości się dodają:
Przy różnicy odwracamy wektor v. Ponieważ v jest dłuższy:
wynik wskazuje przeciwnie do u.
b) Przeciwne zwroty
b) suma ma długość 2, różnica długość 8
Zadanie 2
Dane są nierównoległe wektory u i v:
Narysuj:
a) u + v
b) u − v
Pokaż rozwiązanie
a) u + v
Przesuwamy wektor v tak, aby jego początek znalazł się na końcu u.
Wektor prowadzący od początku u do końca przesuniętego v jest sumą tych wektorów.
b) u − v
Najpierw zmieniamy zwrot wektora v, czyli tworzymy −v.
Następnie dodajemy:
Zadanie 3
Dany jest niezerowy wektor u. Narysuj:
a) −2u
b) ½u
c) −¾u
d) 3u
Pokaż rozwiązanie
−2u: dwa razy dłuższy i przeciwny zwrot.
½u: dwa razy krótszy i ten sam zwrot.
−¾u: długość równa ¾ długości u i przeciwny zwrot.
3u: trzy razy dłuższy i ten sam zwrot.
Pamiętaj:
Jeżeli k jest ujemne, zmienia się również zwrot.
Zadanie 4
Dany jest równoległobok ABCD. Przyjmujemy:
Zapisz za pomocą a i b:
a) DC
b) BC
c) AC
d) BD
e) CA
Pokaż rozwiązanie
a) DC
DC ma taki sam kierunek, długość i zwrot jak AB.
b) BC
BC ma taki sam kierunek, długość i zwrot jak AD.
c) AC
Z A do C możemy przejść najpierw z A do B, a potem z B do C.
d) BD
Z B do D możemy przejść najpierw z B do A, a następnie z A do D.
Ponieważ:
otrzymujemy:
e) CA
CA jest wektorem przeciwnym do AC.
czyli:
b) b
c) a + b
d) b − a
e) −a − b