Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna brzmi groźnie, ale najprościej myśleć o niej tak: to odległość liczby od zera na osi liczbowej.

Najważniejsze: odległość nie może być ujemna, dlatego:

\[ |x|\ge 0 \]

Co oznacza wartość bezwzględna?

Definicja wygląda tak:

\[ |a|= \begin{cases} a & \text{dla } a\ge 0,\\ -a & \text{dla } a<0. \end{cases} \]

Po ludzku:

  • jeśli liczba jest dodatnia albo równa 0 – zostawiamy ją bez zmian,
  • jeśli liczba jest ujemna – zmieniamy znak na przeciwny.

Przykład

\(|5|=5\)

Przykład

\(|-7|=7\)

Przykład

\(|0|=0\)

Interpretacja geometryczna – odległość od zera

Wartość bezwzględna liczby \(x\) to jej odległość od zera na osi liczbowej.

−7 0 7 7 7
\[ |-7|=7 \]
\[ |7|=7 \]

Liczby \(-7\) i \(7\) leżą po przeciwnych stronach zera, ale są od niego w tej samej odległości.

\[ |-a|=|a| \]

Liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną.

Najważniejsze własności

\[ |a|\ge 0 \]

Wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna.

\[ |-a|=|a| \]

Liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną.

\[ \sqrt{a^2}=|a| \]

Nie wolno automatycznie pisać \(\sqrt{a^2}=a\), bo \(a\) może być ujemne.

\[ |x|=0 \iff x=0 \]

Tylko zero ma odległość 0 od zera.

Równania z wartością bezwzględną

Najpierw patrzymy na liczbę po prawej stronie.

Przypadek 1

\[ |x|=a \]

Jeśli \(a>0\), to są dwa rozwiązania:

\[ x=-a \quad \text{lub} \quad x=a \]

Przypadek 2

\[ |x|=0 \]

Jest jedno rozwiązanie:

\[ x=0 \]

Przypadek 3

\[ |x|=a \]

Jeśli \(a<0\), czyli \(a\) jest liczbą ujemną, np. \(a=-3\), to:

\[ \varnothing \]

Na przykład:

\[ |x|=-3 \]

nie ma rozwiązań, bo wartość bezwzględna nie może być ujemna.

Przykład – rozwiąż \(|2x-1|=5\)

Krok 1. Robimy dwie możliwości
\[ 2x-1=5 \qquad\text{lub}\qquad 2x-1=-5 \]
Krok 2. Rozwiązujemy pierwsze równanie
\[ 2x-1=5 \]
\[ 2x=6 \]
\[ x=3 \]
Krok 3. Rozwiązujemy drugie równanie
\[ 2x-1=-5 \]
\[ 2x=-4 \]
\[ x=-2 \]
Odpowiedź: \(x=-2\) lub \(x=3\).

Nierówności z wartością bezwzględną

Najpierw zawsze sprawdź liczbę po prawej stronie.

To najważniejszy krok.

Jeśli po prawej stronie jest liczba dodatnia

Robimy podobnie jak przy równaniu, tylko powstają dwa warunki.

Gdy mamy „mniejsze”

\[ |x|<a \]

To znaczy: \(x\) jest blisko zera, więc:

\[ -a<x<a \]

Gdy mamy „większe”

\[ |x|>a \]

To znaczy: \(x\) jest daleko od zera, więc:

\[ x<-a \quad \text{lub} \quad x>a \]

Jak zapamiętać?

  • \(<\) lub \(\le\) → rozwiązanie jest między liczbami \(-a\) i \(a\),
  • \(>\) lub \(\ge\) → rozwiązanie jest po dwóch stronach, czyli dwa osobne kawałki osi.

Przykład 1 – \(|x|<8\)

Odległość liczby \(x\) od zera ma być mniejsza niż 8.

Krok 1. Tworzymy dwa ograniczenia
\[ -8<x<8 \]
Krok 2. Zaznaczamy na osi
−8 0 8

Końce są otwarte, bo mamy znak \(<\), a nie \(\le\).

Odpowiedź: \(x\in(-8,8)\).

Przykład 2 – \(|x|\ge 2\)

Odległość od zera ma być co najmniej 2, więc rozwiązanie leży po dwóch stronach osi.

Krok 1. Tworzymy dwa warunki
\[ x\le -2 \qquad\text{lub}\qquad x\ge 2 \]
Krok 2. Zaznaczamy oba kawałki osobno
−2 0 2

Ponieważ mamy słowo „lub”, bierzemy sumę obu zaznaczonych części.

Odpowiedź: \(x\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty)\).

Co oznacza „lub”, a co „i”?

„lub”

Bierzemy oba kawałki.

Na osi mogą być dwa oddzielne przedziały.

\[ A\cup B \]

„i”

Szukamy tylko tego, co spełnia oba warunki jednocześnie.

Na osi bierzemy część wspólną.

\[ A\cap B \]

Jeśli po prawej stronie jest 0 albo liczba ujemna

Tu nie warto automatycznie używać schematu. Najpierw przypominamy sobie:

\[ |x|\ge 0 \]

Przykład: \(|x|<-3\)

Wartość bezwzględna nie może być mniejsza od liczby ujemnej.

\[ \varnothing \]

Nierówność sprzeczna.

Przykład: \(|x|>-3\)

Każda wartość bezwzględna jest większa od \(-3\).

\[ x\in\mathbb R \]

Nierówność tożsamościowa.

Przykład: \(|x|<0\)

Niemożliwe, bo \(|x|\ge0\).

\[ \varnothing \]

Przykład: \(|x|\ge0\)

Zawsze prawda.

\[ x\in\mathbb R \]

Pierwiastek z kwadratu

\[ \sqrt{a^2}=|a| \]

Nie zawsze możemy napisać po prostu \(a\), bo \(a\) może być ujemne.

Przykład

\[ \sqrt{(2\sqrt3-3)^2} \]
Krok 1. Korzystamy ze wzoru
\[ \sqrt{(2\sqrt3-3)^2}=|2\sqrt3-3| \]
Krok 2. Sprawdzamy znak wyrażenia

\(\sqrt3\approx1{,}73\), więc:

\[ 2\sqrt3\approx3{,}46 \]
\[ 2\sqrt3-3>0 \]
Krok 3. Skoro wyrażenie jest dodatnie, zdejmujemy wartość bezwzględną bez zmiany znaku
\[ |2\sqrt3-3|=2\sqrt3-3 \]
Wynik: \(2\sqrt3-3\).

Mini ściąga

WyrażenieCo otrzymujemy?
\(|x|=a,\ a>0\)\(x=-a\) lub \(x=a\)
\(|x|=0\)\(x=0\)
\(|x|=a,\ a<0\)brak rozwiązań
\(|x|<a,\ a>0\)\(-a<x<a\)
\(|x|\le a,\ a>0\)\(-a\le x\le a\)
\(|x|>a,\ a>0\)\(x<-a\) lub \(x>a\)
\(|x|\ge a,\ a>0\)\(x\le-a\) lub \(x\ge a\)
\(\sqrt{a^2}\)\(|a|\)

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1

Oblicz:

\[ |2\tfrac12|+|-2\tfrac12| \]
Pokaż rozwiązanie
\[ |2\tfrac12|=2\tfrac12 \]
\[ |-2\tfrac12|=2\tfrac12 \]
\[ 2\tfrac12+2\tfrac12=5 \]
Odpowiedź: 5.

Zadanie 2

Oblicz:

\[ \sqrt3-|2-\sqrt3| \]
Pokaż rozwiązanie

\(\sqrt3\approx1{,}73\), więc:

\[ 2-\sqrt3>0 \]
\[ |2-\sqrt3|=2-\sqrt3 \]
\[ \sqrt3-(2-\sqrt3)=2\sqrt3-2 \]
Odpowiedź: \(2\sqrt3-2\).

Zadanie 3

Rozwiąż równanie:

\[ 3|x|+6=7 \]
Pokaż rozwiązanie
\[ 3|x|=1 \]
\[ |x|=\frac13 \]

Robimy dwie możliwości:

\[ x=-\frac13 \qquad\text{lub}\qquad x=\frac13 \]
−1/3 0 1/3
Odpowiedź: \(x=\pm\frac13\).

Zadanie 4

Rozwiąż nierówność:

\[ |x|<4 \]
Pokaż rozwiązanie

Po prawej stronie mamy dodatnią liczbę 4.

\[ -4<x<4 \]
−4 0 4
Odpowiedź: \(x\in(-4,4)\).

Zadanie 5

Rozwiąż nierówność:

\[ |x|\ge3 \]
Pokaż rozwiązanie

Po prawej stronie mamy dodatnią liczbę 3.

\[ x\le-3 \qquad\text{lub}\qquad x\ge3 \]
−3 0 3

Na osi są dwa oddzielne kawałki, więc zapisujemy ich sumę.

Odpowiedź: \(x\in(-\infty,-3]\cup[3,\infty)\).

Zadanie 6

Które z liczb \(-3,\ 3,\ 1-\sqrt2,\ 1+\sqrt2\) spełniają warunek:

\[ |x|<2 \]
Pokaż rozwiązanie

Sprawdzamy kolejno:

\[ |-3|=3 \]

Nie spełnia.

\[ |3|=3 \]

Nie spełnia.

\(\sqrt2\approx1{,}41\), więc:

\[ 1-\sqrt2\approx-0{,}41 \]
\[ |1-\sqrt2|\approx0{,}41<2 \]

Spełnia.

\[ 1+\sqrt2\approx2{,}41 \]
\[ |1+\sqrt2|\approx2{,}41>2 \]

Nie spełnia.

Odpowiedź: \(1-\sqrt2\).

Zadanie 7

Wyznacz zbiór liczb spełniających jednocześnie:

\[ |x|\le3 \qquad\text{i}\qquad |x|\ge1 \]
Pokaż rozwiązanie
Pierwszy warunek
\[ |x|\le3 \]
\[ -3\le x\le3 \]
Drugi warunek
\[ |x|\ge1 \]
\[ x\le-1 \qquad\text{lub}\qquad x\ge1 \]

W zadaniu jest słowo „i”, więc bierzemy część wspólną obu warunków.

−3 −1 0 1 3
\[ x\in[-3,-1]\cup[1,3] \]
Odpowiedź: \([-3,-1]\cup[1,3]\).

Zadanie 8

Zaznacz na osi i zapisz w postaci sumy przedziałów:

\[ 1<|x|<4 \]
Pokaż rozwiązanie

Mamy jednocześnie dwa warunki:

\[ |x|>1 \]
\[ |x|<4 \]

Pierwszy warunek:

\[ x<-1 \quad \text{lub}\quad x>1 \]

Drugi warunek:

\[ -4<x<4 \]

Bierzemy część wspólną.

−4 −1 0 1 4
Odpowiedź: \(x\in(-4,-1)\cup(1,4)\).

Zadanie 9

Rozwiąż nierówność:

\[ |x|<-7 \]
Pokaż rozwiązanie

Najpierw patrzymy na prawą stronę: \(-7\) jest liczbą ujemną.

Wartość bezwzględna zawsze spełnia:

\[ |x|\ge0 \]

Nie może więc być mniejsza od \(-7\).

Brak rozwiązań: \(\varnothing\).

Zadanie 10

Rozwiąż nierówność:

\[ |x|\ge-3 \]
Pokaż rozwiązanie

Po prawej stronie mamy liczbę ujemną.

Każda wartość bezwzględna jest większa lub równa 0, więc tym bardziej jest większa lub równa \(-3\).

\[ |x|\ge0>-3 \]
Nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej: \(x\in\mathbb R\).

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?

Umów bezpłatną lekcję próbną — wytłumaczę Ci wszystko krok po kroku.

Umów lekcję próbną