Wariacja z powtórzeniami działa bardzo podobnie jak wariacja bez powtórzeń.
Nadal tworzymy pewien uporządkowany ciąg, czyli kolejność ma znaczenie.
Różnica jest jedna: tego samego elementu możemy użyć kilka razy.
Co to znaczy?
Jeżeli mamy cyfry:
i tworzymy czterocyfrowy kod, to mogą wystąpić np.:
Wszystkie są dozwolone, ponieważ cyfry mogą się powtarzać.
Bez powtórzeń a z powtórzeniami
Mamy 6 różnych cyfr i tworzymy kod z 4 cyfr.
Bez powtórzeń:
Po każdym wyborze możliwości jest mniej.
Z powtórzeniami:
Na każdym miejscu nadal mamy 6 możliwości, bo wykorzystaną cyfrę możemy wybrać ponownie.
Najważniejsza różnica:
Bez powtórzeń → liczba możliwości maleje:
Z powtórzeniami → liczba możliwości jest cały czas taka sama:
Wzór
Jeżeli mamy n różnych elementów i tworzymy z nich ciąg długości k, a elementy mogą się powtarzać, to na każdym z k miejsc mamy n możliwości.
Takich czynników jest k, więc:
Wariacje z powtórzeniami:
gdzie:
n – liczba elementów, z których możemy wybierać,
k – liczba miejsc, które zapełniamy.
Przykład: osoby wysiadające z windy
Winda zatrzymuje się na 8 piętrach. Jedzie nią 5 różnych osób.
Każda osoba może wysiąść na dowolnym piętrze. Kilka osób może wysiąść na tym samym piętrze.
Na ile sposobów osoby mogą opuścić windę?
Pierwsza osoba ma 8 możliwości.
Druga również 8 — nawet jeśli wybierze to samo piętro.
Tak samo każda kolejna osoba.
Przykład: liczby z cyfr 0, 1 i 2
Ile jest pięciocyfrowych liczb, które zapisujemy wyłącznie za pomocą cyfr:
Cyfry mogą się powtarzać.
Tutaj trzeba uważać: pierwszą cyfrą liczby pięciocyfrowej nie może być 0.
Na pierwszym miejscu mamy więc tylko:
czyli 2 możliwości.
Na każdym z pozostałych czterech miejsc możemy użyć:
czyli po 3 możliwości.
Przykład: cztery rzuty kostką
Czterokrotnie rzucamy kostką. Wyrzucone liczby oczek zapisujemy jako kolejne cyfry liczby czterocyfrowej.
Ile otrzymanych liczb jest podzielnych przez 25?
Na kostce mogą wypaść tylko cyfry:
Liczba jest podzielna przez 25, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą m.in.:
Z tych zakończeń za pomocą cyfr z kostki możemy utworzyć tylko:
Dwie ostatnie cyfry są więc ustalone.
Pierwszą cyfrę możemy wybrać na 6 sposobów i drugą również na 6 sposobów.
Przykład: nieparzysty iloczyn cyfr
Ile jest pięciocyfrowych liczb, których iloczyn cyfr jest nieparzysty?
Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy każda cyfra jest nieparzysta.
Cyfry nieparzyste to:
Na każdym z pięciu miejsc mamy więc 5 możliwości.
Przykład: porównanie liczby numerów
Porównujemy:
• dziewięciocyfrowe numery zaczynające się od 428,
• siedmiocyfrowe numery zaczynające się od 963.
W pierwszym przypadku trzy cyfry są już ustalone, więc pozostaje 6 dowolnych cyfr:
W drugim przypadku pozostają 4 dowolne cyfry:
Porównujemy:
Jak rozpoznać wariację z powtórzeniami?
Zadaj sobie pytania:
1. Czy tworzymy ciąg / kod / numer / ustawienie?
2. Czy kolejność ma znaczenie?
3. Czy ten sam element może pojawić się ponownie?
Jeżeli tak, na każdym miejscu zwykle mamy tyle samo możliwości.
Zadania
Zadanie 1
Kod składa się z 7 znaków. Na każdym miejscu może wystąpić jedna z liter:
Litery mogą się powtarzać. Ile różnych kodów można utworzyć?
Pokaż rozwiązanie
Na każdym z 7 miejsc mamy 5 możliwości.
Zadanie 2
Karolina nie pamięta dwóch ostatnich cyfr numeru telefonu. Wie tylko, że obie cyfry były nieparzyste.
Ile maksymalnie numerów musi sprawdzić?
Pokaż rozwiązanie
Cyfry nieparzyste to:
Na pierwsze brakujące miejsce mamy 5 możliwości.
Na drugie również 5, ponieważ cyfry mogą się powtarzać.
Zadanie 3
Do 3 różnych szuflad wkładamy 7 różnych kul. Każda kula trafia do dokładnie jednej szuflady, ale w jednej szufladzie może znaleźć się wiele kul.
Na ile sposobów można rozmieścić kule?
Pokaż rozwiązanie
Każda z 7 kul ma do wyboru jedną z 3 szuflad.
Wybór szuflady dla jednej kuli nie ogranicza wyboru dla kolejnej.
Zadanie 4
Pięciokrotnie rzucamy kostką. Wyniki tworzą pięciocyfrową liczbę.
Ile takich liczb jest większych od 40 000?
Pokaż rozwiązanie
Na kostce mogą wypaść cyfry:
Aby liczba była większa od 40 000, pierwsza cyfra może być:
czyli 3 możliwości.
Na każde z pozostałych czterech miejsc mamy po 6 możliwości.
Zadanie 5
Ile jest pięciocyfrowych liczb, których iloczyn cyfr jest parzysty?
Pokaż rozwiązanie
Łatwiej policzyć wszystkie liczby pięciocyfrowe, a potem odjąć te, których iloczyn cyfr jest nieparzysty.
Wszystkich liczb pięciocyfrowych jest:
Iloczyn cyfr jest nieparzysty tylko wtedy, gdy wszystkie cyfry są nieparzyste.
Na każdym miejscu mamy wtedy 5 możliwości:
Zatem:
Zadanie 6
Winda zatrzymuje się na 7 piętrach. Jedzie nią 6 różnych osób.
Każda osoba może wysiąść na dowolnym piętrze, a kilka osób może wysiąść razem.
Na ile sposobów pasażerowie mogą opuścić windę?
Pokaż rozwiązanie
Każda z 6 osób ma 7 możliwości.
Zadanie 7
Która liczba jest większa:
liczba 4-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru 3-elementowego czy liczba 3-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru 4-elementowego?
Pokaż rozwiązanie
Pierwsza liczba:
Druga liczba:
Porównujemy:
Zadanie 8
Ile jest sześciocyfrowych liczb zapisanych wyłącznie cyframi:
jeżeli cyfry mogą się powtarzać?
Pokaż rozwiązanie
Na pierwszym miejscu nie może wystąpić 0.
Mamy więc:
Na każdym z pozostałych pięciu miejsc możemy użyć wszystkich pięciu cyfr.
Dodatkowe zadania – poziom sprawdzianu
Zadanie 9
Tworzymy liczby, których cyfry wybieramy ze zbioru {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}. Ile możemy utworzyć liczb czterocyfrowych parzystych zaczynających się cyfrą 1?
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Pierwsza cyfra musi być 1 — 1 możliwość.
Krok 2. Druga i trzecia cyfra mogą być dowolne ze zbioru, po 7 możliwości, ponieważ powtórzenia są dozwolone.
Krok 3. Ostatnia cyfra musi być parzysta. W zbiorze są tylko 2 i 6 — 2 możliwości.
Odpowiedź: 98 liczb.
Zadanie 10
Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych nieparzystych?
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Pierwsza cyfra nie może być zerem, więc mamy 9 możliwości (1–9).
Krok 2. Trzy środkowe cyfry mogą być dowolne: po 10 możliwości.
Krok 3. Ostatnia cyfra musi być nieparzysta: 1, 3, 5, 7, 9 — 5 możliwości.
Odpowiedź: 45 000 liczb.
Zadanie 11
Kod domofonu składa się z czterech dowolnych cyfr. Ile możliwych kodów można utworzyć?
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Kod, w przeciwieństwie do liczby czterocyfrowej, może zaczynać się od 0.
Krok 2. Na każde z czterech miejsc wybieramy dowolną cyfrę od 0 do 9 — po 10 możliwości. Powtórzenia są dozwolone.
Odpowiedź: 10 000 kodów (od 0000 do 9999).
Zadanie 12
Oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero, jest dokładnie jedna cyfra 4 i dokładnie jedna cyfra nieparzysta.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Cyfry nieparzyste: 1, 3, 5, 7, 9 (5 możliwości). Pozostałe dozwolone cyfry parzyste, które nie są czwórką: 2, 6, 8 (3 możliwości).
Krok 1. Wybieramy miejsce jedynej cyfry 4 — 5 możliwości.
Krok 2. Wybieramy miejsce jedynej cyfry nieparzystej spośród 4 wolnych miejsc — 4 możliwości.
Krok 3. Wybieramy, jaka to cyfra nieparzysta — 5 możliwości.
Krok 4. Pozostałe 3 miejsca wypełniamy cyframi 2, 6 lub 8. Każde miejsce ma 3 możliwości, czyli 3 · 3 · 3 = 27.
Odpowiedź: 2700 liczb.
Zadanie 13
Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych rozpoczynających się cyfrą nieparzystą, w których zapisie nie występuje zero, jest dokładnie jedna cyfra 6 i dokładnie dwie cyfry nieparzyste.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Do dyspozycji mamy 5 cyfr nieparzystych (1, 3, 5, 7, 9) oraz cyfry parzyste (2, 4, 6, 8). Warunek „dokładnie jedna cyfra 6” oznacza, że na pozostałych miejscach szóstka nie może już wystąpić.
Krok 1. Pierwsza cyfra musi być nieparzysta — 5 możliwości.
Krok 2. Druga cyfra nieparzysta zajmie jedno z 5 pozostałych miejsc — 5 możliwości.
Krok 3. Wybieramy wartość drugiej cyfry nieparzystej — 5 możliwości; może być taka sama jak pierwsza.
Krok 4. Wybieramy miejsce dla jedynej cyfry 6 spośród 4 wolnych miejsc — 4 możliwości.
Krok 5. Pozostałe 3 miejsca muszą być parzyste, ale nie mogą zawierać zera ani szóstki. Każde z nich: 2, 4 lub 8 — po 3 możliwości.
Odpowiedź: 13 500 liczb.
Zadanie 14
(*) Liczba rozmieszczeń 3 kul, każdej w innym kolorze, w n ponumerowanych szufladkach jest o 331 mniejsza od liczby rozmieszczeń tych kul w n + 1 ponumerowanych szufladkach. Oblicz n.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Zakładamy, że do jednej szufladki można włożyć więcej niż jedną kulę. Kule są różne, bo każda ma inny kolor.
Krok 1. Każda z trzech kul może trafić do jednej z n szufladek. Liczba rozmieszczeń: n³.
Krok 2. Dla n + 1 szufladek każda kula ma n + 1 możliwości, więc otrzymujemy (n + 1)³.
Krok 3. W drugim przypadku rozmieszczeń jest o 331 więcej, więc układamy równanie.
Krok 4. Rozwijamy sześcian i upraszczamy:
3n² + 3n − 330 = 0
n² + n − 110 = 0
Krok 5. Rozkładamy na czynniki:
n = −11 lub n = 10
Ujemna liczba szufladek nie ma sensu, więc n = 10. Sprawdzamy: 11³ − 10³ = 1331 − 1000 = 331.
Odpowiedź: n = 10.