Wariacja z powtórzeniami działa bardzo podobnie jak wariacja bez powtórzeń.
Nadal tworzymy pewien uporządkowany ciąg, czyli kolejność ma znaczenie.
Różnica jest jedna: tego samego elementu możemy użyć kilka razy.
Co to znaczy?
Jeżeli mamy cyfry:
i tworzymy czterocyfrowy kod, to mogą wystąpić np.:
Wszystkie są dozwolone, ponieważ cyfry mogą się powtarzać.
Bez powtórzeń a z powtórzeniami
Mamy 6 różnych cyfr i tworzymy kod z 4 cyfr.
Bez powtórzeń:
Po każdym wyborze możliwości jest mniej.
Z powtórzeniami:
Na każdym miejscu nadal mamy 6 możliwości, bo wykorzystaną cyfrę możemy wybrać ponownie.
Najważniejsza różnica:
Bez powtórzeń → liczba możliwości maleje:
Z powtórzeniami → liczba możliwości jest cały czas taka sama:
Wzór
Jeżeli mamy n różnych elementów i tworzymy z nich ciąg długości k, a elementy mogą się powtarzać, to na każdym z k miejsc mamy n możliwości.
Takich czynników jest k, więc:
Wariacje z powtórzeniami:
gdzie:
n – liczba elementów, z których możemy wybierać,
k – liczba miejsc, które zapełniamy.
Przykład: osoby wysiadające z windy
Winda zatrzymuje się na 8 piętrach. Jedzie nią 5 różnych osób.
Każda osoba może wysiąść na dowolnym piętrze. Kilka osób może wysiąść na tym samym piętrze.
Na ile sposobów osoby mogą opuścić windę?
Pierwsza osoba ma 8 możliwości.
Druga również 8 — nawet jeśli wybierze to samo piętro.
Tak samo każda kolejna osoba.
Przykład: liczby z cyfr 0, 1 i 2
Ile jest pięciocyfrowych liczb, które zapisujemy wyłącznie za pomocą cyfr:
Cyfry mogą się powtarzać.
Tutaj trzeba uważać: pierwszą cyfrą liczby pięciocyfrowej nie może być 0.
Na pierwszym miejscu mamy więc tylko:
czyli 2 możliwości.
Na każdym z pozostałych czterech miejsc możemy użyć:
czyli po 3 możliwości.
Przykład: cztery rzuty kostką
Czterokrotnie rzucamy kostką. Wyrzucone liczby oczek zapisujemy jako kolejne cyfry liczby czterocyfrowej.
Ile otrzymanych liczb jest podzielnych przez 25?
Na kostce mogą wypaść tylko cyfry:
Liczba jest podzielna przez 25, jeśli jej dwie ostatnie cyfry tworzą m.in.:
Z tych zakończeń za pomocą cyfr z kostki możemy utworzyć tylko:
Dwie ostatnie cyfry są więc ustalone.
Pierwszą cyfrę możemy wybrać na 6 sposobów i drugą również na 6 sposobów.
Przykład: nieparzysty iloczyn cyfr
Ile jest pięciocyfrowych liczb, których iloczyn cyfr jest nieparzysty?
Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy każda cyfra jest nieparzysta.
Cyfry nieparzyste to:
Na każdym z pięciu miejsc mamy więc 5 możliwości.
Przykład: porównanie liczby numerów
Porównujemy:
• dziewięciocyfrowe numery zaczynające się od 428,
• siedmiocyfrowe numery zaczynające się od 963.
W pierwszym przypadku trzy cyfry są już ustalone, więc pozostaje 6 dowolnych cyfr:
W drugim przypadku pozostają 4 dowolne cyfry:
Porównujemy:
Jak rozpoznać wariację z powtórzeniami?
Zadaj sobie pytania:
1. Czy tworzymy ciąg / kod / numer / ustawienie?
2. Czy kolejność ma znaczenie?
3. Czy ten sam element może pojawić się ponownie?
Jeżeli tak, na każdym miejscu zwykle mamy tyle samo możliwości.
Zadania
Zadanie 1
Kod składa się z 7 znaków. Na każdym miejscu może wystąpić jedna z liter:
Litery mogą się powtarzać. Ile różnych kodów można utworzyć?
Pokaż rozwiązanie
Na każdym z 7 miejsc mamy 5 możliwości.
Zadanie 2
Karolina nie pamięta dwóch ostatnich cyfr numeru telefonu. Wie tylko, że obie cyfry były nieparzyste.
Ile maksymalnie numerów musi sprawdzić?
Pokaż rozwiązanie
Cyfry nieparzyste to:
Na pierwsze brakujące miejsce mamy 5 możliwości.
Na drugie również 5, ponieważ cyfry mogą się powtarzać.
Zadanie 3
Do 3 różnych szuflad wkładamy 7 różnych kul. Każda kula trafia do dokładnie jednej szuflady, ale w jednej szufladzie może znaleźć się wiele kul.
Na ile sposobów można rozmieścić kule?
Pokaż rozwiązanie
Każda z 7 kul ma do wyboru jedną z 3 szuflad.
Wybór szuflady dla jednej kuli nie ogranicza wyboru dla kolejnej.
Zadanie 4
Pięciokrotnie rzucamy kostką. Wyniki tworzą pięciocyfrową liczbę.
Ile takich liczb jest większych od 40 000?
Pokaż rozwiązanie
Na kostce mogą wypaść cyfry:
Aby liczba była większa od 40 000, pierwsza cyfra może być:
czyli 3 możliwości.
Na każde z pozostałych czterech miejsc mamy po 6 możliwości.
Zadanie 5
Ile jest pięciocyfrowych liczb, których iloczyn cyfr jest parzysty?
Pokaż rozwiązanie
Łatwiej policzyć wszystkie liczby pięciocyfrowe, a potem odjąć te, których iloczyn cyfr jest nieparzysty.
Wszystkich liczb pięciocyfrowych jest:
Iloczyn cyfr jest nieparzysty tylko wtedy, gdy wszystkie cyfry są nieparzyste.
Na każdym miejscu mamy wtedy 5 możliwości:
Zatem:
Zadanie 6
Winda zatrzymuje się na 7 piętrach. Jedzie nią 6 różnych osób.
Każda osoba może wysiąść na dowolnym piętrze, a kilka osób może wysiąść razem.
Na ile sposobów pasażerowie mogą opuścić windę?
Pokaż rozwiązanie
Każda z 6 osób ma 7 możliwości.
Zadanie 7
Która liczba jest większa:
liczba 4-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru 3-elementowego czy liczba 3-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru 4-elementowego?
Pokaż rozwiązanie
Pierwsza liczba:
Druga liczba:
Porównujemy:
Zadanie 8
Ile jest sześciocyfrowych liczb zapisanych wyłącznie cyframi:
jeżeli cyfry mogą się powtarzać?
Pokaż rozwiązanie
Na pierwszym miejscu nie może wystąpić 0.
Mamy więc:
Na każdym z pozostałych pięciu miejsc możemy użyć wszystkich pięciu cyfr.