Wariacja to po prostu wybranie kilku elementów z większego zbioru i ustawienie ich w określonej kolejności. Wariacja bez powtórzeń pojawia się wtedy, gdy wybieramy tylko część dostępnych elementów, ale ważne jest, w jakiej kolejności je ustawimy.
Dodatkowo raz użytego elementu nie możemy użyć ponownie.
Najprościej:
Wariacja bez powtórzeń oznacza:
• wybieramy tylko część elementów,
• kolejność ma znaczenie,
• elementy się nie powtarzają.
Permutacja czy wariacja bez powtórzeń?
Mamy 10 osób.
Jeżeli ustawiamy wszystkie 10 osób w kolejce → mamy permutację.
Jeżeli wybieramy tylko 3 osoby i obsadzamy nimi trzy różne stanowiska: przewodniczącego, zastępcę i sekretarza → mamy wariację bez powtórzeń.
Dlaczego?
Bo wybieramy tylko 3 osoby spośród 10, ale stanowiska są różne, więc kolejność ma znaczenie.
Jak liczymy wariacje bez powtórzeń?
Załóżmy, że mamy 8 osób i wybieramy spośród nich 3 osoby na trzy różne stanowiska.
Na pierwsze stanowisko mamy 8 możliwości.
Na drugie zostało 7 osób.
Na trzecie zostało 6 osób.
To właśnie liczba wariacji 3-elementowych bez powtórzeń ze zbioru 8-elementowego.
Wzór
Jeśli z n różnych elementów wybieramy k elementów, kolejność ma znaczenie i nie ma powtórzeń, to:
Możemy też użyć zapisu z silnią:
Przykład: wybór osób na stanowiska
W 12-osobowym samorządzie trzeba wybrać:
• przewodniczącego,
• zastępcę,
• skarbnika,
• sekretarza.
Jedna osoba może pełnić tylko jedno stanowisko. Na ile sposobów można obsadzić stanowiska?
Na pierwsze stanowisko mamy 12 osób. Potem zostaje 11, następnie 10 i 9.
Przykład: numer telefonu z ustalonym początkiem
Tworzymy siedmiocyfrowe numery rozpoczynające się od:
Żadna cyfra w numerze nie może się powtórzyć. Ile takich numerów można utworzyć?
Cyfry 5, 8 i 2 są już wykorzystane.
Do dyspozycji pozostaje więc:
Musimy zapełnić jeszcze 4 miejsca bez powtórzeń.
Przykład: liczby bez powtarzających się cyfr
Ile jest liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach, jeżeli w zapisie nie może występować 0?
Mamy więc do dyspozycji cyfry:
Na pierwsze miejsce mamy 9 możliwości.
Potem zostaje 8, następnie 7 i 6.
Przykład: ograniczenie na piętra
Winda zatrzymuje się na 12 piętrach. Jedzie nią 5 różnych osób.
Każda osoba ma wysiąść na innym piętrze, ale nikt nie może wysiąść na dwóch najwyższych piętrach.
Dostępnych jest więc:
Pierwsza osoba wybiera jedno z 10 pięter. Druga jedno z pozostałych 9 itd.
Przykład z dodatkowym warunkiem
Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 tworzymy liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach.
Ile z nich jest parzystych?
Najpierw patrzymy na ostatnią cyfrę, bo ona decyduje o parzystości.
Ostatnią cyfrą może być:
czyli mamy 3 możliwości.
Po wybraniu ostatniej cyfry zostało 6 cyfr na pierwsze miejsce i 5 cyfr na drugie.
Najczęstszy błąd
Jeśli elementy nie mogą się powtarzać, to liczba możliwości maleje po każdym wyborze.
Nie liczymy:
tylko:
bo po wykorzystaniu jednego elementu nie możemy użyć go ponownie.
Jak rozpoznać wariację bez powtórzeń?
Zadaj sobie trzy pytania:
1. Czy wybieram tylko część dostępnych elementów?
2. Czy kolejność ma znaczenie?
3. Czy elementy nie mogą się powtarzać?
Jeżeli trzy razy odpowiadasz „tak” — mamy wariację bez powtórzeń.
Zadania
Zadanie 1
Ile jest liczb pięciocyfrowych zapisanych za pomocą różnych cyfr, jeżeli w zapisie nie może występować cyfra 0?
Pokaż rozwiązanie
Do dyspozycji mamy 9 cyfr:
Wybieramy kolejno 5 różnych cyfr.
Zadanie 2
Ile można utworzyć czterocyfrowych liczb o różnych cyfrach, jeżeli wykorzystujemy tylko cyfry:
Pokaż rozwiązanie
Mamy 5 dostępnych cyfr i wybieramy z nich 4.
Zadanie 3
Tworzymy ośmiocyfrowe numery rozpoczynające się od:
Żadna cyfra nie może się powtarzać. Ile takich numerów można utworzyć?
Pokaż rozwiązanie
Cyfry 4, 0 i 7 są już wykorzystane.
Z 10 cyfr zostało:
Musimy obsadzić jeszcze 5 miejsc.
Zadanie 4
Spośród 15 uczniów wybieramy:
• przewodniczącego,
• zastępcę,
• sekretarza.
Ania nie może zostać przewodniczącą. Na ile sposobów można obsadzić stanowiska?
Pokaż rozwiązanie
Na stanowisko przewodniczącego mamy tylko:
bo Ania odpada.
Po wybraniu przewodniczącego zostaje 14 osób na stanowisko zastępcy.
Potem zostaje 13 osób na sekretarza.
Dlaczego na drugim miejscu nadal mamy 14 możliwości? Bo po wyborze przewodniczącego zostało 14 osób, wśród których może być również Ania.
Zadanie 5
Winda zatrzymuje się na 9 piętrach. Jedzie nią 4 różnych pasażerów.
Każdy wysiada na innym piętrze, a nikt nie wysiada na pierwszym ani drugim piętrze.
Na ile sposobów pasażerowie mogą opuścić windę?
Pokaż rozwiązanie
Z 9 pięter wykluczamy dwa.
Dostępnych jest 7 pięter.
Cztery różne osoby mają wysiąść na czterech różnych piętrach:
Zadanie 6
Z cyfr:
tworzymy trzycyfrowe liczby o różnych cyfrach.
Ile takich liczb można utworzyć?
Pokaż rozwiązanie
Tutaj trzeba uważać na cyfrę 0.
Pierwszą cyfrą nie może być 0, bo wtedy nie mielibyśmy liczby trzycyfrowej.
Na pierwsze miejsce mamy więc:
Po wybraniu pierwszej cyfry zostaje 6 cyfr, w tym 0, które teraz może już wystąpić.
Na drugie miejsce mamy 6 możliwości, a na trzecie 5.
Zadanie 7
Z cyfr:
tworzymy czterocyfrowe liczby o różnych cyfrach.
Ile z nich jest podzielnych przez 5?
Pokaż rozwiązanie
Liczba podzielna przez 5 musi kończyć się cyfrą:
Musimy rozpatrzyć dwa przypadki.
Przypadek 1: ostatnia cyfra to 0.
Na pierwsze miejsce mamy 6 możliwości, bo wybieramy spośród pozostałych cyfr różnych od 0.
Na dwa środkowe miejsca zostaje kolejno 5 i 4 możliwości.
Przypadek 2: ostatnia cyfra to 5.
Na pierwszym miejscu nie może być 0 ani 5.
Mamy więc 5 możliwości.
Potem zostaje 5 cyfr na drugie miejsce i 4 na trzecie.
Dodajemy oba przypadki:
Zadanie 8
W konkursie bierze udział 18 osób. Przyznawane są trzy różne nagrody:
• I miejsce,
• II miejsce,
• III miejsce.
Na ile sposobów można przyznać nagrody, jeżeli jedna osoba może otrzymać tylko jedną nagrodę?
Pokaż rozwiązanie
Na I miejsce mamy 18 możliwości.
Na II miejsce zostaje 17 osób.
Na III miejsce zostaje 16 osób.