Matematyka • zestaw treningowy

Ułamki algebraiczne
i funkcje wymierne

6 nowych zadań na wzór kartkówki. Rozwiąż je samodzielnie, a następnie rozwiń rozwiązanie, aby sprawdzić każdy krok.

Kliknij „Pokaż rozwiązanie krok po kroku” przy wybranym zadaniu. Plik działa także bez internetu.

01Dziedzina ułamka algebraicznego

2 pkt

Wyznacz dziedzinę ułamka algebraicznego:

2x − 5x² − 7x + 12

+Pokaż rozwiązanie krok po kroku⌄

Krok 1. Mianownik nie może być zerem

x² − 7x + 12 ≠ 0

Krok 2. Rozkładamy trójmian na czynniki

(x − 3)(x − 4) ≠ 0

Krok 3. Wykluczamy miejsca zerowe mianownika

x ≠ 3, x ≠ 4

Odpowiedź

D = ℝ ∖ {3, 4}

02Rozszerzanie ułamków

3 pkt

Rozszerz podane ułamki algebraiczne tak, aby otrzymać wyrażenia o wskazanych mianownikach. Podaj konieczne założenia.

a) 2x − 3 do mianownika $x² - 9$ .

b) x + 1x − 4 do mianownika $x² - 16$ .

+Pokaż rozwiązanie krok po kroku⌄

Podpunkt a)

Rozkładamy docelowy mianownik:

x² − 9 = (x − 3)(x + 3)

Mnożymy licznik i mianownik przez x + 3:

2x − 3 = 2(x + 3)(x − 3)(x + 3)

2x + 6x² − 9

Założenia dla otrzymanej postaci: x ≠ 3, x ≠ −3.

Podpunkt b)

x² − 16 = (x − 4)(x + 4)

Mnożymy licznik i mianownik przez x + 4:

x + 1x − 4 = (x + 1)(x + 4)(x − 4)(x + 4)

Rozwijamy licznik:

(x + 1)(x + 4) = x² + 5x + 4

x² + 5x + 4x² − 16

Założenia dla otrzymanej postaci: x ≠ 4, x ≠ −4.

03Dodawanie i odejmowanie ułamków

3 pkt

Wykonaj działania i podaj konieczne założenia.

a) 3x − 1 + 2x + 2

b) x + 3x² − 9 − 2x − 3

+Pokaż rozwiązanie krok po kroku⌄

Podpunkt a)

Założenia: x ≠ 1, x ≠ −2.

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:

3(x + 2) + 2(x − 1)(x − 1)(x + 2)

Upraszczamy licznik:

3x + 6 + 2x − 2 = 5x + 4

5x + 4(x − 1)(x + 2)

Podpunkt b)

Założenia: x ≠ 3, x ≠ −3.

Rozkładamy mianownik:

x² − 9 = (x − 3)(x + 3)

Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

x + 3 − 2(x + 3)(x − 3)(x + 3) = −x − 3(x − 3)(x + 3)

Wyłączamy minus i skracamy:

−(x + 3)(x − 3)(x + 3) = −1x − 3

Uwaga: po skróceniu nadal obowiązuje x ≠ −3.

04Dzielenie ułamków algebraicznych

3 pkt

Wykonaj działanie i podaj konieczne założenia.

x² − 25x² − 4x + 4 : x + 5x − 2

+Pokaż rozwiązanie krok po kroku⌄

Krok 1. Rozkładamy na czynniki

x² − 25 = (x − 5)(x + 5)

x² − 4x + 4 = (x − 2)²

Krok 2. Podajemy założenia

x ≠ 2 — mianowniki nie mogą być zerem.

x ≠ −5 — nie można dzielić przez ułamek równy zero.

Krok 3. Zamieniamy dzielenie na mnożenie przez odwrotność

(x − 5)(x + 5)(x − 2)² · x − 2x + 5

Krok 4. Skracamy wspólne czynniki

x − 5x − 2

Odpowiedź

x − 5x − 2 dla x ≠ 2, x ≠ −5

05Równanie wymierne

3 pkt

Rozwiąż równanie:

x + 1x − 3 − 2x + 2 = 1

+Pokaż rozwiązanie krok po kroku⌄

Krok 1. Ustalamy założenia

x ≠ 3, x ≠ −2

Krok 2. Usuwamy mianowniki

Mnożymy obie strony równania przez (x − 3)(x + 2):

(x + 1)(x + 2) − 2(x − 3) = (x − 3)(x + 2)

Krok 3. Wymnażamy nawiasy

x² + 3x + 2 − 2x + 6 = x² − x − 6

x² + x + 8 = x² − x − 6

Krok 4. Przenosimy wyrazy

2x = −14

x = −7

Krok 5. Sprawdzamy założenia

−7 ≠ 3 oraz −7 ≠ −2, zatem znalezione rozwiązanie jest dopuszczalne.

Odpowiedź

x = −7

06Przesunięcie wykresu funkcji

5 pkt

Wykres funkcji

f(x) = 1x, x ≠ 0

przesunięto równolegle o wektor v = [3, −2] i otrzymano wykres funkcji h.

a) Napisz wzór funkcji h.

b) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji h.

c) Sprawdź, czy do wykresu funkcji h należy punkt A(1, −5/2).

+Pokaż rozwiązanie krok po kroku⌄

Podpunkt a) Wzór funkcji

Wektor [3, −2] oznacza przesunięcie wykresu o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w dół.

Przesunięcie w prawo: zamieniamy x na x − 3. Przesunięcie w dół: odejmujemy 2 od całej funkcji.

h(x) = 1x − 3 − 2

Podpunkt b) Dziedzina i zbiór wartości

Mianownik nie może być równy zero:

x − 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3

D_h = ℝ ∖ {3}

Wyrażenie 1x − 3 nigdy nie jest zerem, dlatego funkcja h nigdy nie przyjmuje wartości −2.

W_h = ℝ ∖ {−2}

Podpunkt c) Sprawdzenie punktu

Podstawiamy pierwszą współrzędną punktu, czyli x = 1:

h(1) = 11 − 3 − 2 = −12 − 2 = −52

Otrzymana wartość zgadza się z drugą współrzędną punktu.

Odpowiedź: Punkt A(1, −5/2) należy do wykresu funkcji h.

Ułamki algebraiczne – sprawdzian

Ułamki algebraiczne
i funkcje wymierne

01Dziedzina ułamka algebraicznego

Krok 1. Mianownik nie może być zerem

Krok 2. Rozkładamy trójmian na czynniki

Krok 3. Wykluczamy miejsca zerowe mianownika

02Rozszerzanie ułamków

Podpunkt a)

Podpunkt b)

03Dodawanie i odejmowanie ułamków

Podpunkt a)

Podpunkt b)

04Dzielenie ułamków algebraicznych

Krok 1. Rozkładamy na czynniki

Krok 2. Podajemy założenia

Krok 3. Zamieniamy dzielenie na mnożenie przez odwrotność

Krok 4. Skracamy wspólne czynniki

05Równanie wymierne

Krok 1. Ustalamy założenia

Krok 2. Usuwamy mianowniki

Krok 3. Wymnażamy nawiasy

Krok 4. Przenosimy wyrazy

Krok 5. Sprawdzamy założenia

06Przesunięcie wykresu funkcji

Podpunkt a) Wzór funkcji

Podpunkt b) Dziedzina i zbiór wartości

Podpunkt c) Sprawdzenie punktu

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?