Krok 1. Zapisz obie funkcje w postaci kanonicznej.

\[f(x)=\frac{2(x-3)+5}{x-3}=2+\frac5{x-3}\] \[h(x)=\frac{2(x+1)+5}{x+1}=2+\frac5{x+1}.\]

Krok 2. Porównaj asymptoty.

Funkcja \(f\) ma asymptoty \(x=3\) i \(y=2\), natomiast \(h\) ma asymptoty \(x=-1\) i \(y=2\).

Zmiana w poziomie: \(p=-1-3=-4\). Zmiana w pionie: \(q=2-2=0\).

Krok 1. Przekształć obie funkcje.

\[f(x)=\frac{2(x+2)-9}{x+2}=2-\frac9{x+2}\] \[g(x)=\frac{3(x-1)+5}{x-1}=3+\frac5{x-1}.\]

Krok 2. Porównaj współczynniki przed ułamkami.

Przesunięcie wykresu \(y=\frac a{x-p}+q\) może zmienić \(p\) i \(q\), ale nie zmienia parametru \(a\).

Dla \(f\) mamy \(a=-9\), a dla \(g\) mamy \(a=5\). Są różne.

Krok 1. Skorzystaj z asymptoty pionowej \(x=-1\).

Mianownik musi zerować się dla \(x=-1\):

\[c\cdot(-1)+2=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{c=2}.\]

Krok 2. Skorzystaj z asymptoty poziomej \(y=4\).

Asymptota pozioma to iloraz współczynników przy najwyższej potędze \(x\):

\[\frac{2a}{c}=4\quad\Longrightarrow\quad\frac{2a}{2}=4\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a=4}.\]

Krok 3. Podstaw punkt \(A=(3,5)\).

\[5=\frac{2\cdot4\cdot3+b}{2\cdot3+2}=\frac{24+b}{8}\] \[40=24+b\quad\Longrightarrow\quad\boxed{b=16}.\]

Krok 4. Zapisz wzór i przygotuj wykres.

\[f(x)=\frac{8x+16}{2x+2}=\frac{4x+8}{x+1}=4+\frac4{x+1}.\]

Asymptoty: \(x=-1\), \(y=4\). Punkty pomocnicze: \((-2,0)\), \((0,8)\), \(A=(3,5)\).

Krok 1. Podstaw współrzędne punktu \(P\).

\[4=\frac{3\cdot3+k}{2\cdot3-4}=\frac{9+k}{2}\] \[8=9+k\quad\Longrightarrow\quad\boxed{k=-1}.\]

Krok 2. Zapisz funkcję w postaci kanonicznej.

\[f(x)=\frac{3x-1}{2x-4}=\frac{3(x-2)+5}{2(x-2)}=\frac{5}{2(x-2)}+\frac32.\]

Krok 3. Odczytaj asymptoty.

\[\boxed{x=2},\qquad\boxed{y=\frac32}.\]

Krok 4. Zaznacz dodatkowe punkty.

Miejsce zerowe: \(3x-1=0\), stąd \(x=\frac13\). Dla \(x=0\) mamy \(f(0)=\frac14\). Wykres przechodzi także przez \(P=(3,4)\).

Co to znaczy, że funkcja jest parzysta lub nieparzysta?

Funkcja parzysta daje taki sam wynik dla liczby i liczby przeciwnej, np. gdy \(f(2)=5\), to również \(f(-2)=5\). Zapisujemy: \(\boxed{f(-x)=f(x)}\). Jej wykres jest symetryczny względem osi \(OY\) — lewa część jest lustrzanym odbiciem prawej.

Funkcja nieparzysta daje przeciwne wyniki dla liczb przeciwnych, np. gdy \(f(2)=5\), to \(f(-2)=-5\). Zapisujemy: \(\boxed{f(-x)=-f(x)}\). Jej wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych: obrót o \(180^\circ\) nie zmienia wyglądu wykresu.

Krok 1. Wyznacz dziedzinę i sprawdź jej symetrię.

W funkcji \(f(x)=\frac1{x-3}+\frac1{x+3}\) żaden mianownik nie może być zerem:

\[x-3\neq0\Rightarrow x\neq3,\qquad x+3\neq0\Rightarrow x\neq-3.\] \[\boxed{D_f=\mathbb R\setminus\{-3,3\}}.\]

Usuwamy z dziedziny obie liczby przeciwne: \(-3\) i \(3\). Dla każdego pozostałego argumentu \(x\) także \(-x\) należy do dziedziny, więc dziedzina jest symetryczna względem zera.

Krok 2. Podstaw \(-x\) za każdy \(x\).

\[f(-x)=\frac1{-x-3}+\frac1{-x+3}.\]

Krok 3. Uporządkuj znaki.

W pierwszym mianowniku \(-x-3=-(x+3)\), a w drugim \(-x+3=-(x-3)\). Minus z mianownika możemy zapisać przed ułamkiem:

\[f(-x)=-\frac1{x+3}-\frac1{x-3}.\]

Zmieniamy kolejność składników i wyłączamy wspólny minus:

\[f(-x)=-\left(\frac1{x-3}+\frac1{x+3}\right).\]

Nawias jest dokładnie taki sam jak w wyjściowym wzorze na \(f(x)\). Oznacza to, że \(f(-x)=-f(x)\).

Krok 4. Sprawdź na konkretnych liczbach (pomocniczo).

\[f(1)=\frac1{-2}+\frac14=-\frac14,\qquad f(-1)=\frac1{-4}+\frac12=\frac14.\]

Widzimy, że wartości są przeciwne. Ten przykład pomaga zrozumieć wynik, ale pełnym dowodem jest przekształcenie w kroku 3, które działa dla każdego argumentu z dziedziny.

Przypomnienie: funkcja jest parzysta, jeżeli dla dowolnego dopuszczalnego \(x\) zachodzi \(\boxed{f(-x)=f(x)}\). Oznacza to, że argumenty przeciwne mają tę samą wartość funkcji, a wykres jest symetryczny względem osi \(OY\).

Krok 1. Wyznacz dziedzinę i sprawdź jej symetrię.

Mianowniki nie mogą się zerować, więc \(x\neq4\) oraz \(x\neq-4\).

\[\boxed{D_f=\mathbb R\setminus\{-4,4\}}.\]

Z dziedziny usunięto liczby przeciwne \(-4\) i \(4\), dlatego jest ona symetryczna względem zera.

Krok 2. W miejsce \(x\) wstaw \(-x\).

\[f(-x)=\frac2{-x-4}-\frac2{-x+4}.\]

Krok 3. Uprość znaki i porównaj z początkową funkcją.

\[f(-x)=-\frac2{x+4}+\frac2{x-4}\] \[=\frac2{x-4}-\frac2{x+4}=f(x).\]

Otrzymaliśmy dokładnie ten sam wzór, który był na początku — a nie jego przeciwieństwo.

Krok 4. Przykład liczbowy.

\[f(1)=\frac2{-3}-\frac25=-\frac{16}{15},\qquad f(-1)=-\frac25-\frac23=-\frac{16}{15}.\]

W obu przypadkach wynik jest taki sam, co ilustruje parzystość. Sam przykład z dwiema liczbami nie zastępuje dowodu algebraicznego z kroku 3.

a) Dziedzina i zbiór wartości

Ze wzoru \(x-3\neq0\) wynika \(x\neq3\). Zbiór wartości odczytamy z postaci kanonicznej:

\[\boxed{D_f=\mathbb R\setminus\{3\}}.\]

b) Postać kanoniczna

\[f(x)=\frac{2(x-3)+7}{x-3}=\frac7{x-3}+2.\]

Wartość \(2\) nie jest przyjmowana, bo \(\frac7{x-3}\neq0\).

\[\boxed{W_f=\mathbb R\setminus\{2\}}.\]

c) Asymptoty i wykres

\[\boxed{x=3},\qquad\boxed{y=2}.\]

Wykres \(y=\frac7x\) przesunięto o 3 w prawo i 2 w górę.

d) Monotoniczność

Współczynnik \(a=7>0\), więc funkcja maleje osobno na obu przedziałach dziedziny:

\[\boxed{(-\infty,3)\quad\text{i}\quad(3,\infty)}.\]

e) Miejsce zerowe

\[2x+1=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x=-\frac12}.\]

f) Rozwiąż nierówność \(f(x)>0\) metodą mnożenia przez kwadrat mianownika.

\[\frac{2x+1}{x-3}>0.\]

Krok 1. Pamiętamy o dziedzinie: \(x\neq3\).

Krok 2. Mnożymy obie strony przez \((x-3)^2\):

\[\frac{2x+1}{x-3}\cdot(x-3)^2>0\cdot(x-3)^2.\]

Dlaczego przez kwadrat, a nie przez samo \(x-3\)? Ponieważ dla \(x\neq3\) wyrażenie \((x-3)^2\) jest zawsze dodatnie. Dlatego znak nierówności nie zmienia się.

Po skróceniu jednego czynnika \(x-3\):

\[\boxed{(2x+1)(x-3)>0}.\]

Krok 3. Wyznaczamy miejsca zerowe obu czynników:

\[2x+1=0\Longrightarrow x=-\frac12,\qquad x-3=0\Longrightarrow x=3.\]

Krok 4. Rozwiązujemy nierówność iloczynową. Iloczyn jest dodatni, gdy oba czynniki mają ten sam znak. Sprawdzamy przedziały:

Odpowiadają nam pierwszy i trzeci przedział. Końców nie dołączamy: nierówność jest ostra, a \(x=3\) nie należy do dziedziny.

a) Wzór funkcji

Przesuwamy wykres o 2 w lewo, więc zastępujemy \(x\) przez \(x+2\). Przesuwamy też o 3 w górę, więc dodajemy 3:

\[\boxed{g(x)=\frac4{x+2}+3}.\]

b) Wykres

c) Dziedzina i zbiór wartości

\[x+2\neq0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{D_g=\mathbb R\setminus\{-2\}}.\] \[\boxed{W_g=\mathbb R\setminus\{3\}}.\]

d) Asymptoty

\[\boxed{x=-2},\qquad\boxed{y=3}.\]

e) Monotoniczność

Współczynnik \(a=4>0\), więc funkcja maleje na:

\[\boxed{(-\infty,-2)\quad\text{i}\quad(-2,\infty)}.\]

f) Miejsce zerowe

\[\frac4{x+2}+3=0\quad\Longrightarrow\quad\frac4{x+2}=-3\] \[4=-3(x+2)=-3x-6\] \[10=-3x\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x=-\frac{10}{3}}.\]

a) Wyznacz \(a\)

\[3=\frac a{-2}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a=-6}.\]

Otrzymujemy \(f(x)=-\frac6x\).

b) Wykres funkcji \(f\)

Ponieważ \(a=-6<0\), gałęzie leżą w II i IV ćwiartce. Asymptoty: \(x=0\), \(y=0\).

c) Wykres funkcji \(g\)

Przesuwamy wykres \(f\) o 2 w lewo i 1 w górę.

d) Wzór funkcji \(g\)

\[g(x)=f(x+2)+1=\boxed{-\frac6{x+2}+1}.\]

e) Dziedzina i zbiór wartości

\[\boxed{D_g=\mathbb R\setminus\{-2\}},\qquad\boxed{W_g=\mathbb R\setminus\{1\}}.\]

Asymptoty: \(x=-2\), \(y=1\).

f) Monotoniczność

Współczynnik \(a=-6<0\), więc funkcja jest rosnąca na:

\[\boxed{(-\infty,-2)\quad\text{i}\quad(-2,\infty)}.\]

g) Miejsce zerowe

\[-\frac6{x+2}+1=0\quad\Longrightarrow\quad-6=-(x+2)\] \[-6=-x-2\quad\Longrightarrow\quad-4=-x\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x=4}.\]

a) Wyznacz \(a\)

\[2=\frac a4\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a=8}.\]

Zatem \(f(x)=\frac8x\).

b) Wzór funkcji \(g\)

\[\boxed{g(x)=f(x-3)-1=\frac8{x-3}-1}.\]

c) Wykres funkcji \(g\)

Wykres \(f\) przesuwamy o 3 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół.

d) Asymptoty

\[\boxed{x=3},\qquad\boxed{y=-1}.\]

e) Dziedzina i zbiór wartości

\[\boxed{D_g=\mathbb R\setminus\{3\}},\qquad\boxed{W_g=\mathbb R\setminus\{-1\}}.\]

f) Monotoniczność

Współczynnik \(a=8>0\), więc funkcja jest malejąca na:

\[\boxed{(-\infty,3)\quad\text{i}\quad(3,\infty)}.\]

g) Miejsce zerowe

\[\frac8{x-3}-1=0\quad\Longrightarrow\quad\frac8{x-3}=1\] \[8=x-3\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x=11}.\]

h) Rozwiąż \(g(x)>0\)

Krok 1. Sprowadź wyrażenie do jednego ułamka:

\[\frac8{x-3}-1>0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{8-(x-3)}{x-3}>0\] \[\frac{11-x}{x-3}>0,\qquad x\neq3.\]

Krok 2. Pomnóż obie strony przez dodatni kwadrat mianownika \((x-3)^2\). Znak nierówności pozostaje bez zmian:

\[\frac{11-x}{x-3}\cdot(x-3)^2>0\cdot(x-3)^2\] \[\boxed{(11-x)(x-3)>0}.\]

Krok 3. Wyznacz miejsca zerowe czynników: \(x=11\) i \(x=3\).

Krok 4. Sprawdź znaki iloczynu:

Iloczyn jest dodatni tylko pomiędzy \(3\) i \(11\). Końce przedziału wykluczamy.