Ułamek algebraiczny. Skracanie i rozszerzanie ułamków algebraicznych

Ułamki algebraiczne – Kącik edukacyjny

Czego się nauczysz? Wyznaczania dziedziny ułamków algebraicznych, skracania i rozszerzania ich bez utraty ważnych założeń. Najpierw przeczytaj przykłady, a potem samodzielnie rozwiąż zadania.

1. Co to jest ułamek algebraiczny?

Ułamek algebraiczny ma w liczniku i mianowniku wielomiany. Mianownik nigdy nie może być równy zero.

W(x)P(x), P(x) ≠ 0

Zapamiętaj: dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste, dla których mianownik ułamka jest różny od zera.

2. Jak wyznaczać dziedzinę?

Przyrównaj mianownik do zera, znajdź jego miejsca zerowe i wyklucz je z dziedziny.

Przykład 1. Wyznacz dziedzinę 5(x − 4)(x + 2).

(x − 4)(x + 2) ≠ 0, czyli x ≠ 4 i x ≠ −2.

D = ℝ ∖ {−2, 4}

Przykład 2. Wyznacz dziedzinę x − 1x² + 6x + 9.

x² + 6x + 9 = (x + 3)². Stąd x ≠ −3.

D = ℝ ∖ {−3}

Przykład 3. Wyznacz dziedzinę 3xx² + 4.

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc x² + 4 > 0 dla każdego x.

D = ℝ

3. Skracanie ułamków algebraicznych

Rozłóż licznik i mianownik na czynniki, wyznacz dziedzinę oryginalnego ułamka, a następnie skróć wspólne czynniki.

Przykład 4. Skróć 3x³ + 6x²x⁴ − 4x².

Rozkładamy licznik: 3x²(x + 2).

Rozkładamy mianownik: x²(x − 2)(x + 2).

Dziedzina: x ≠ −2, x ≠ 0, x ≠ 2.

3x²(x + 2)x²(x − 2)(x + 2) = 3x − 2

Wynik: 3x − 2, przy D = ℝ ∖ {−2, 0, 2}.

Przykład 5. Skróć x³ + 3xx² + 3.

Wyłączamy x przed nawias: x(x² + 3). Ponieważ x² + 3 > 0, dziedziną jest ℝ.

x(x² + 3)x² + 3 = x

Uwaga! Nie wolno skracać pojedynczych składników dodawania. Na przykład x + 2x + 5 nie można skrócić przez x. Skracamy wyłącznie wspólne czynniki.

4. Rozszerzanie ułamków algebraicznych

Rozszerzanie polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez ten sam niezerowy wielomian. W odróżnieniu od skracania może to wprowadzić dodatkowe wykluczenia z dziedziny.

Przykład 6. Rozszerz x − 3x² przez x(x − 5).

Wyjściowo x ≠ 0. Czynnik rozszerzający wymaga także x ≠ 5.

(x − 3) · x(x − 5)x² · x(x − 5) = x³ − 8x² + 15xx⁴ − 5x³

Dziedzina nowego ułamka: ℝ ∖ {0, 5}.

5. Najważniejsze zasady

Czynność	O czym pamiętać?
Dziedzina	Wyklucz wszystkie miejsca zerowe mianownika.
Skracanie	Skracaj czynniki, a nie składniki sumy.
Po skróceniu	Zachowaj dziedzinę wyjściowego ułamka.
Rozszerzanie	Czynnik rozszerzający nie może być zerem.

6. Zadania do samodzielnego rozwiązania

Najpierw spróbuj samodzielnie. Kliknij „Pokaż rozwiązanie”, aby zobaczyć kolejne kroki.

Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę x²(8 − x)(x + 2).

Pokaż rozwiązanie zadania 1

Mianownik: (8 − x)(x + 2) ≠ 0.

8 − x ≠ 0 ⇒ x ≠ 8; x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ −2.

D = ℝ ∖ {−2, 8}

Zadanie 2. Wyznacz dziedzinę 56x² + 7x − 3.

Pokaż rozwiązanie zadania 2

6x² + 7x − 3 = (3x − 1)(2x + 3).

3x − 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1/3; 2x + 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ −3/2.

D = ℝ ∖ {−3/2, 1/3}

Zadanie 3. Podaj ułamek o dziedzinie ℝ ∖ {−2, −1, 1, 2}.

Pokaż rozwiązanie zadania 3

Wybieramy mianownik o miejscach zerowych −2, −1, 1 i 2: (x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 2).

Przykładowy ułamek: 1(x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 2).

Zadanie 4. Skróć 2x² − 32−3x + 12 i podaj założenia.

Pokaż rozwiązanie zadania 4

−3x + 12 = −3(x − 4), zatem x ≠ 4.

2x² − 32 = 2(x − 4)(x + 4).

2(x − 4)(x + 4)−3(x − 4) = −2(x + 4)3

Założenie: x ≠ 4.

Zadanie 5. Skróć x² + x − 6x² − 9 i podaj założenia.

Pokaż rozwiązanie zadania 5

Licznik: (x + 3)(x − 2). Mianownik: (x − 3)(x + 3).

Dziedzina: x ≠ −3 i x ≠ 3.

(x + 3)(x − 2)(x − 3)(x + 3) = x − 2x − 3

Zadanie 6. Skróć 8 − x³x² + 2x + 4 i podaj założenia.

Pokaż rozwiązanie zadania 6

Stosujemy wzór na różnicę sześcianów: 8 − x³ = (2 − x)(x² + 2x + 4).

Mianownik x² + 2x + 4 = (x + 1)² + 3 > 0, więc D = ℝ.

Po skróceniu otrzymujemy 2 − x.

Zadanie 7. Rozszerz 2x tak, aby mianownik był równy 3x³. Podaj założenia.

Pokaż rozwiązanie zadania 7

Brakujący czynnik to 3x². Mnożymy przez niego licznik i mianownik:

2x = 6x²3x³

x ≠ 0.

Zadanie 8 – dla chętnych. Skróć x⁴ − 13x² + 36x³ + x² − 6x i podaj dziedzinę.

Pokaż rozwiązanie zadania 8

Licznik traktujemy jako trójmian względem x²: (x² − 9)(x² − 4) = (x − 3)(x + 3)(x − 2)(x + 2).

Mianownik: x(x² + x − 6) = x(x + 3)(x − 2).

Dziedzina oryginalnego ułamka: ℝ ∖ {−3, 0, 2}.

(x − 3)(x + 3)(x − 2)(x + 2)x(x + 3)(x − 2) = (x − 3)(x + 2)x

Podsumowanie: zawsze zaczynaj od mianownika i założeń. Następnie rozkładaj na czynniki. Dopiero na końcu skracaj lub rozszerzaj ułamek.