Trygonometria - sprawdzian

1. Teoria – od podstaw do zadań

Najpierw poznaj własności figur, następnie wzory i przykłady. Każdą zasadę wyjaśniamy w jednym miejscu, żeby nie trzeba było szukać jej w kilku sekcjach.

1. Rodzaje trójkątów – podział według boków

Trójkąt różnoboczny ma trzy boki różnej długości. Trójkąt równoramienny ma co najmniej dwa boki równe. Trójkąt równoboczny ma trzy równe boki i jest szczególnym przypadkiem trójkąta równoramiennego.

Trójkąt równoramienny

Równe boki to ramiona b, trzeci bok to podstawa a. Kąty przy podstawie są równe. Wysokość opuszczona z wierzchołka między ramionami jest prostopadła do podstawy, dzieli podstawę oraz kąt wierzchołkowy na połowy.

O = a + 2 b

P = \frac{a h}{2}

b^{2} = h^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}

Jak obliczyć ramiona? Wysokość tworzy dwa trójkąty prostokątne: połowa podstawy, wysokość i ramię spełniają twierdzenie Pitagorasa.

Trójkąt równoboczny

Każdy bok ma długość a, każdy kąt to 60°. Wysokość dzieli podstawę na połowy i trójkąt na dwa trójkąty prostokątne.

O = 3 a

h = \frac{a \sqrt{3}}{2}

P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

a = \frac{2 h}{\sqrt{3}}

Skąd wzór na wysokość? Z Pitagorasa: $h^{2} = a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}$ . Po uproszczeniu otrzymujemy wzór zapisany powyżej.

2. Rodzaje trójkątów – podział według kątów

W każdym trójkącie suma kątów wewnętrznych wynosi 180°. Podział według kątów nie wyklucza podziału według boków: trójkąt może być jednocześnie równoramienny i prostokątny.

Ostrokątny

Wszystkie trzy kąty są mniejsze niż 90°. Wysokości leżą wewnątrz trójkąta.

Prostokątny

Jeden kąt ma 90°. Przyprostokątne tworzą kąt prosty, przeciwprostokątna leży naprzeciwko niego i jest najdłuższa.

Rozwartokątny

Jeden kąt jest większy niż 90°, ale mniejszy niż 180°. Pozostałe są ostre. Niektóre wysokości padają na przedłużenia boków.

Zależność boków i kątów: naprzeciwko największego kąta leży najdłuższy bok, a naprzeciwko najmniejszego – najkrótszy. Naprzeciw równych kątów leżą równe boki.

3. Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Nie stosujemy tego twierdzenia w dowolnym trójkącie.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Przykład: przyprostokątne mają długości 3 i 4. Wtedy:

c^{2} = 9 + 16 = 25

c = 5

4. Sinus, cosinus i tangens

Zawsze zaznacz, dla którego kąta obliczasz funkcję. Przyprostokątna „naprzeciw” i „przy kącie” zmieniają się, gdy wybierzesz inny kąt ostry.

\sin α = \frac{b}{c}

\cos α = \frac{a}{c}

tg α = \frac{b}{a}

Na tym rysunku kąt α jest przy prawym końcu podstawy: bok a to przyprostokątna przyległa, a bok b to przeciwległa.

Jedynka trygonometryczna

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

Pozwala obliczyć cosinus z sinusa (lub odwrotnie). Po spierwiastkowaniu trzeba dobrać znak odpowiedni do rodzaju kąta.

5. Wartości i znaki funkcji oraz wzory redukcyjne

Najczęściej wykorzystujemy kąty 30°, 45° i 60°. Ich wartości są dostępne w tablicach matematycznych.

Kąt	sin	cos	tg
30°	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
45°	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	√3

Znaki funkcji

Funkcja	Kąt ostry (0°–90°)	Kąt rozwarty (90°–180°)
sinus	+	+
cosinus	+	−
tangens	+	−

Wzory redukcyjne – znajdziesz je w karcie wzorów maturalnych CKE

Dla kąta rozwartego zapisz go jako 180° minus kąt ostry. Następnie odczytaj właściwy wzór redukcyjny. Dla kąta ostrego α:

\sin (180 °- α) = \sin α

\cos (180 °- α) =- \cos α

tg (180 °- α) =- tg α

Przykład – oblicz wartości dla 120°

Krok 1. Zapisz: 120° = 180° − 60°. Krok 2. Wybierz wzór dla odpowiedniej funkcji. Krok 3. Odczytaj wartość funkcji 60° i uwzględnij znak:

\sin 120° = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}

\cos 120° =- \cos 60° =- \frac{1}{2}

tg 120° =- tg 60° =- \sqrt{3}

Uwaga: przy kącie rozwartym cosinus jest ujemny. To szczególnie ważne przy korzystaniu z jedynki trygonometrycznej.

6. Pola i obwody – potrzebne wzory

Trójkąt

Podstawa i odpowiadająca jej wysokość muszą być prostopadłe.

P = \frac{a h}{2}

Dwa boki i kąt między nimi

Jeżeli znasz boki a i b oraz kąt γ zawarty pomiędzy nimi, stosujesz:

P = \frac{a b \sin γ}{2}

Przykład: a = 4, b = 6, γ = 120°. Wtedy sin 120° = √3/2, więc:

P = \frac{4 \cdot 6 \sqrt{3}}{4} = 6 \sqrt{3}

Równoległobok

P = a h

Trapez

P = \frac{(a + b) h}{2}

We wzorze na pole trapezu a i b to długości podstaw, h to wysokość.

7. Jak czytać treść zadania?

„O 4 krótsza” oznacza odejmowanie: $a = c - 4$ . „4 razy krótsza” oznacza dzielenie: $a = \frac{c}{4}$ . „Podstawa 6 razy dłuższa niż wysokość” to $a = 6 h$ .

Zanim liczysz, podpisz boki, wskaż kąt i zapisz równanie z treści. Przybliżenia kątów zapisuj do pełnych stopni, ale w obliczeniach pośrednich nie zaokrąglaj.

2. Kartkówka – wersja A

Zadanie 1

Tangens mniejszego kąta

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma długość 7, a przeciwprostokątna 8. Oblicz tangens mniejszego kąta ostrego.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Znajdź brakującą przyprostokątną.

a^2+7^2=8^2

a^2=64-49=15

a=\sqrt{15}

Krok 2. Ustal, który kąt jest mniejszy.

Ponieważ $\sqrt{15}<7$ , mniejszy kąt leży naprzeciw boku $\sqrt{15}$ .

Krok 3. Oblicz tangens.

\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{15}}7

Odpowiedź:

\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{15}}7

Zadanie 2

Rozwiązywanie trójkąta równoramiennego

Rozwiąż trójkąt równoramienny, którego ramię ma długość 21 cm, a obwód wynosi 54 cm. Wyznacz wszystkie boki i kąty.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Oblicz długość podstawy.

W trójkącie równoramiennym dwa ramiona mają jednakową długość.

a + 2 \cdot 21 = 54

a = 54 - 42 = 12 cm

Krok 2. Oblicz kąt przy podstawie.

Odcinek poprowadzony z wierzchołka na środek podstawy dzieli ją na dwie równe części i tworzy dwa trójkąty prostokątne. Do obliczenia kąta korzystamy z cosinusa.

Połowa podstawy ma długość 6 cm, a przeciwprostokątna (ramię) ma 21 cm.

\cos α = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}

Z tablic lub kalkulatora: α ≈ 73,40°, więc po zaokrągleniu α ≈ 73°. Drugi kąt przy podstawie jest taki sam.

Krok 3. Oblicz kąt między ramionami.

Suma kątów w trójkącie wynosi 180°. Odejmujemy dwa zaokrąglone kąty przy podstawie:

β = 180 ° - 2 \cdot 73 ° = 34 °

Sprawdzenie sumy kątów:

73 ° + 73 ° + 34 ° = 180 °

Odpowiedź. Boki:

a = 12 cm, b = c = 21 cm

; Kąty:

α \approx 73 °, γ \approx 73 °, β \approx 34 °

Zadanie 3

Pole z dwóch boków i kąta

Dwa boki trójkąta mają długości $3\sqrt2$ i $6\sqrt2$ , a kąt między nimi ma 120°. Oblicz pole.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Wybierz wzór.

P=\frac12 ab\sin\gamma

Krok 2. Odczytaj wartość sinusa.

\sin120^\circ=\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}

Krok 3. Podstaw liczby.

P=\frac12\cdot3\sqrt2\cdot6\sqrt2\cdot\frac{\sqrt3}{2}

Krok 4. Uprość.

3\sqrt2\cdot6\sqrt2=18\cdot2=36

P=\frac12\cdot36\cdot\frac{\sqrt3}{2}=9\sqrt3

Odpowiedź:

P=9\sqrt3

Zadanie 4

Obwód z pola i wysokości

Pole trójkąta równoramiennego wynosi 36 cm². Podstawa jest 6 razy dłuższa od wysokości na nią opuszczonej. Oblicz obwód.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Zapisz zależność między podstawą a wysokością.

a=6h

Krok 2. Skorzystaj z pola.

36=\frac{6h\cdot h}2=3h^2

h^2=12,\qquad h=2\sqrt3

Krok 3. Oblicz podstawę.

a=6\cdot2\sqrt3=12\sqrt3

Krok 4. Oblicz ramię.

b^2=h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2

b^2=12+(6\sqrt3)^2=12+108=120

b=2\sqrt{30}

Krok 5. Oblicz obwód.

O=a+2b=12\sqrt3+4\sqrt{30}

Odpowiedź:

O=12\sqrt3+4\sqrt{30}\ \mathrm{cm}

Zadanie 5

Pole równoległoboku

Krótsza przekątna równoległoboku ma długość 6 i jest prostopadła do krótszego boku długości $3\sqrt6$ . Oblicz pole.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Podziel figurę przekątną.

Otrzymujesz dwa trójkąty o jednakowych polach. Każdy ma dwa prostopadłe boki długości 6 i $3\sqrt6$ .

Krok 2. Oblicz pole jednego trójkąta.

P_1=\frac{6\cdot3\sqrt6}{2}=9\sqrt6

Krok 3. Pomnóż przez dwa.

P=2\cdot9\sqrt6=18\sqrt6

Odpowiedź:

P=18\sqrt6

Zadanie 6

Trapez i trójkąt równoboczny

Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli go na dwa trójkąty, z których jeden jest równoboczny. Wysokość trapezu wynosi $2\sqrt6$ . Oblicz pole trapezu.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Zidentyfikuj trójkąt równoboczny.

Na rysunku trójkąt równoboczny ma bok równy dłuższej podstawie b trapezu, a jego wysokość jest taka sama jak wysokość trapezu.

Krok 2. Wyznacz dłuższą podstawę.

h=\frac{b\sqrt3}2

2\sqrt6=\frac{b\sqrt3}2

b=\frac{4\sqrt6}{\sqrt3}=4\sqrt2

Krok 3. Wyznacz krótszą podstawę.

Wysokość trójkąta równobocznego dzieli jego podstawę na pół, dlatego górna podstawa trapezu ma połowę długości dolnej.

a=\frac b2=2\sqrt2

Krok 4. Oblicz pole trapezu.

P=\frac{(a+b)h}2

P=\frac{(2\sqrt2+4\sqrt2)\cdot2\sqrt6}{2}

P=6\sqrt{12}=12\sqrt3

Odpowiedź:

P=12\sqrt3

Zadanie 7

Pole trójkąta z sinusa

Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest o 4 krótsza od przeciwprostokątnej. Sinus kąta ostrego leżącego naprzeciw tej przyprostokątnej wynosi $\frac13$ . Oblicz pole trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Oznacz długości boków.

Niech $c$ oznacza przeciwprostokątną, a $a$ opisaną przyprostokątną. Ponieważ jest o 4 krótsza:

a=c-4

Krok 2. Zapisz definicję sinusa.

\sin\alpha=\frac ac=\frac13

\frac{c-4}c=\frac13

Krok 3. Oblicz długości a i c.

3(c-4)=c

3c-12=c

2c=12\quad\Rightarrow\quad c=6

a=6-4=2

Krok 4. Oblicz drugą przyprostokątną.

b^2=c^2-a^2=36-4=32

b=4\sqrt2

Krok 5. Oblicz pole.

P=\frac{ab}2=\frac{2\cdot4\sqrt2}{2}=4\sqrt2

Odpowiedź:

P=4\sqrt2

3. Kartkówka – wersja B

Zadanie 1

Cosinus z podanego sinusa

Kąt $\alpha$ jest rozwarty, a $\sin\alpha=\frac{12}{13}$ . Oblicz cosinus tego kąta.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Zapisz jedynkę trygonometryczną.

sin² α + cos² α = 1

Krok 2. Podstaw sinus.

\left(\frac{12}{13}\right)^2+\cos^2\alpha=1

\frac{144}{169}+\cos^2\alpha=1

Krok 3. Przenieś ułamek.

\cos^2\alpha=\frac{169-144}{169}=\frac{25}{169}

Krok 4. Spierwiastkuj.

Ponieważ kąt jest rozwarty, jego cosinus jest ujemny. Wybieramy ujemny pierwiastek.

\cos α =- \frac{5}{13}

Odpowiedź:

\cos α =- \frac{5}{13}

Zadanie 2

Rozwiązywanie trójkąta równoramiennego

Rozwiąż trójkąt równoramienny o podstawie 8 cm i obwodzie 44 cm. Wyznacz wszystkie boki i kąty.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Oblicz długość ramion.

W trójkącie równoramiennym dwa ramiona mają jednakową długość.

8 + 2 b = 44

2 b = 36 \Rightarrow b = 18 cm

Krok 2. Oblicz kąt przy podstawie.

Odcinek poprowadzony z wierzchołka na środek podstawy dzieli ją na dwie równe części i tworzy dwa trójkąty prostokątne. Do obliczenia kąta korzystamy z cosinusa.

Połowa podstawy ma długość 4 cm, a przeciwprostokątna (ramię) ma 18 cm.

\cos α = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}

Z tablic lub kalkulatora: α ≈ 77,16°, więc po zaokrągleniu α ≈ 77°. Drugi kąt przy podstawie jest taki sam.

Krok 3. Oblicz kąt między ramionami.

Suma kątów w trójkącie wynosi 180°. Odejmujemy dwa zaokrąglone kąty przy podstawie:

β = 180 ° - 2 \cdot 77 ° = 26 °

Sprawdzenie sumy kątów:

77 ° + 77 ° + 26 ° = 180 °

Odpowiedź. Boki:

a = 8 cm, b = c = 18 cm

; Kąty:

α \approx 77 °, γ \approx 77 °, β \approx 26 °

Zadanie 3

Pole z kątem 150°

Dwa boki trójkąta mają długości 3 i $5 \sqrt{2}$ , a kąt zawarty między nimi ma 150°. Oblicz pole.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Zapisz wzór.

P=\frac12 ab\sin\gamma

Krok 2. Oblicz sinus.

\sin150^\circ=\sin30^\circ=\frac12

Krok 3. Podstaw i uprość.

P = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}

P = \frac{15 \sqrt{2}}{4}

Odpowiedź:

P = \frac{15 \sqrt{2}}{4}

Zadanie 4

Obwód z pola i stosunku a do h

Pole trójkąta równoramiennego wynosi 32 cm², a podstawa jest 4 razy dłuższa od wysokości opuszczonej na podstawę. Oblicz obwód.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Zapisz $a=4h$ .

a=4h

Krok 2. Oblicz wysokość z pola.

32=\frac{4h\cdot h}2=2h^2

h^2=16,\qquad h=4

Krok 3. Oblicz podstawę.

a=4\cdot4=16

Krok 4. Oblicz ramię.

b^2=4^2+8^2=80

b=4\sqrt5

Krok 5. Oblicz obwód.

O=16+2\cdot4\sqrt5=16+8\sqrt5

Odpowiedź:

O=16+8\sqrt5\ \mathrm{cm}

Zadanie 5

Równoległobok z kątem 60°

Krótsza przekątna równoległoboku ma długość 6 i jest nachylona do boku długości $4\sqrt3$ pod kątem 60°. Oblicz pole.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty.

Każdy trójkąt ma znane dwa boki i kąt między nimi.

Krok 2. Oblicz pole jednego trójkąta.

P_1=\frac12\cdot6\cdot4\sqrt3\cdot\sin60^\circ

P_1=\frac12\cdot6\cdot4\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}2=18

Krok 3. Podwój pole.

P=2P_1=36

Odpowiedź:

P=36

Zadanie 6

Trapez z trójkątem równobocznym

Krótsza przekątna trapezu prostokątnego dzieli go na dwa trójkąty, z których jeden jest równoboczny. Wysokość trapezu wynosi $4\sqrt6$ . Oblicz pole.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Skorzystaj z wysokości trójkąta równobocznego.

h=\frac{b\sqrt3}2

Krok 2. Oblicz dłuższą podstawę.

4\sqrt6=\frac{b\sqrt3}2

b=\frac{8\sqrt6}{\sqrt3}=8\sqrt2

Krok 3. Oblicz krótszą podstawę.

a=\frac b2=4\sqrt2

Krok 4. Oblicz pole.

P=\frac{(a+b)h}2

P=\frac{(4\sqrt2+8\sqrt2)\cdot4\sqrt6}2

P=24\sqrt{12}=48\sqrt3

Odpowiedź:

P=48\sqrt3

Zadanie 7

Pole trójkąta z cosinusa

Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest o 5 krótsza od przeciwprostokątnej. Cosinus kąta ostrego leżącego przy tej przyprostokątnej wynosi $\frac{2}{3}$ . Oblicz pole.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Oznacz długości boków.

Przyjmujemy, że c jest przeciwprostokątną, a – przyprostokątną przy kącie α, a b – drugą przyprostokątną. Skoro przyprostokątna jest o 5 krótsza od przeciwprostokątnej, to:

a=c-5

Krok 2. Skorzystaj z definicji cosinusa.

Cosinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej przyległej do tego kąta do przeciwprostokątnej.

\cos\alpha=\frac ac=\frac23

Podstawiamy a = c − 5:

\frac{c-5}{c}=\frac23

Krok 3. Oblicz przeciwprostokątną i pierwszą przyprostokątną.

Mnożymy równanie na krzyż:

3(c-5)=2c

3c-15=2c

c=15

Teraz obliczamy a:

a=15-5=10

Krok 4. Oblicz drugą przyprostokątną z twierdzenia Pitagorasa.

a^2+b^2=c^2

b^2=15^2-10^2

b^2=225-100=125

b=\sqrt{125}=5\sqrt5

Krok 5. Oblicz pole trójkąta prostokątnego.

Pole to połowa iloczynu przyprostokątnych:

P=\frac{ab}{2}

P=\frac{10\cdot5\sqrt5}{2}=25\sqrt5

Odpowiedź:

P=25\sqrt5

4. Nowe zadania do samodzielnego rozwiązania

To te same rodzaje zadań co na kartkówkach, ale z innymi liczbami. Najpierw spróbuj samodzielnie, następnie rozwiń rozwiązanie.

Ćwiczenie 1

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma 9, a przeciwprostokątna 15. Oblicz tangens mniejszego kąta ostrego.

Sprawdź rozwiązanie

Krok 1. Pitagoras.

b^2=15^2-9^2=225-81=144

b=12

Krok 2. Mniejszy kąt jest naprzeciw krótszej przyprostokątnej 9.

\operatorname{tg}\alpha=\frac9{12}=\frac34

Odpowiedź:

\frac34

Ćwiczenie 2

Rozwiąż trójkąt równoramienny o ramieniu 13 cm i obwodzie 36 cm (podaj boki oraz kąty z dokładnością do 1°).

Sprawdź rozwiązanie

Krok 1. Podstawa.

a=36-2\cdot13=10

Krok 2. Wysokość.

h^2=13^2-5^2=169-25=144

h=12

Krok 3. Kąty.

\cos\alpha=\frac5{13}

α \approx 67 °

α \approx 67 °, β \approx 45 °

Odpowiedź:

a = 10 cm, b = 13 cm, α \approx 67 °, β \approx 45 °

Ćwiczenie 3

Dwa boki trójkąta mają długości 4 i $5\sqrt3$ , a kąt między nimi ma 120°. Oblicz pole.

Sprawdź rozwiązanie

Krok 1. Wzór i sinus.

P=\frac12 ab\sin120^\circ

\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}2

Krok 2. Podstaw.

P=\frac12\cdot4\cdot5\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}2=15

Odpowiedź:

P=15

Ćwiczenie 4

Trójkąt równoramienny ma pole 48 cm². Jego podstawa jest 6 razy dłuższa od wysokości. Oblicz obwód.

Sprawdź rozwiązanie

Krok 1. Zapisz zależność.

a=6h

Krok 2. Wyznacz wysokość.

48=\frac{6h^2}2=3h^2

h^2=16\quad\Rightarrow\quad h=4

Krok 3. Podstawa i ramię.

a=24

b^2=4^2+12^2=160

b=4\sqrt{10}

Krok 4. Obwód.

O=24+8\sqrt{10}

Odpowiedź:

O=24+8\sqrt{10}\ \mathrm{cm}

Ćwiczenie 5

Przekątna równoległoboku ma długość 10 i jest prostopadła do boku długości $2\sqrt5$ . Oblicz pole.

Sprawdź rozwiązanie

Krok 1. Pole trójkąta.

P_1=\frac{10\cdot2\sqrt5}{2}=10\sqrt5

Krok 2. Pole całej figury.

P=2P_1=20\sqrt5

Odpowiedź:

P=20\sqrt5

Ćwiczenie 6

Krótsza przekątna trapezu prostokątnego wydziela trójkąt równoboczny. Wysokość trapezu to $3\sqrt3$ . Oblicz pole.

Sprawdź rozwiązanie

Krok 1. Dłuższa podstawa z wysokości trójkąta równobocznego.

b=\frac{2h}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{\sqrt3}=6

Krok 2. Krótsza podstawa.

a=\frac b2=3

Krok 3. Pole.

P=\frac{(3+6)\cdot3\sqrt3}{2}=\frac{27\sqrt3}2

Odpowiedź:

P=\frac{27\sqrt3}2

Ćwiczenie 7

Jedna przyprostokątna jest o 6 krótsza od przeciwprostokątnej. Sinus kąta naprzeciw tej przyprostokątnej wynosi $\frac35$ . Oblicz pole trójkąta.

Sprawdź rozwiązanie

Krok 1. Oznacz $a=c-6$ .

\frac{c-6}c=\frac35

Krok 2. Rozwiąż.

5c-30=3c

c=15,\qquad a=9

Krok 3. Druga przyprostokątna.

b=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12

Krok 4. Pole.

P=\frac{9\cdot12}2=54

Odpowiedź:

P=54

Ćwiczenie 8

Dla kąta ostrego $\sin\alpha=\frac5{13}$ . Oblicz cosinus.

Sprawdź rozwiązanie

Krok 1. Jedynka trygonometryczna.

\cos^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}

Krok 2. Wybierz dodatni pierwiastek.

\cos\alpha=\frac{12}{13}

Odpowiedź:

\frac{12}{13}

Ćwiczenie 9

Rozwiąż trójkąt równoramienny o podstawie 10 cm i obwodzie 36 cm (oblicz boki i kąty z dokładnością do 1°).

Sprawdź rozwiązanie

Krok 1. Ramiona.

b=\frac{36-10}{2}=13

Krok 2. Wysokość.

h=\sqrt{13^2-5^2}=12

Krok 3. Kąty.

\cos\alpha=\frac5{13}

α \approx 67 °, β \approx 45 °

Odpowiedź:

a = 10 cm, b = 13 cm, α \approx 67 °, β \approx 45 °

Ćwiczenie 10

Dwa boki trójkąta mają długości 8 i $3\sqrt2$ , a kąt zawarty ma 150°. Oblicz pole.

Sprawdź rozwiązanie

Krok 1. Zastosuj wzór.

P=\frac12\cdot8\cdot3\sqrt2\cdot\sin150^\circ

Krok 2. Podstaw sinus 1/2.

P=\frac12\cdot8\cdot3\sqrt2\cdot\frac12=6\sqrt2

Odpowiedź:

P=6\sqrt2

Ćwiczenie 11

Trójkąt równoramienny ma pole 50 cm², a podstawa jest 4 razy dłuższa od wysokości. Oblicz obwód.

Sprawdź rozwiązanie

Krok 1. Wstaw $a=4h$ do wzoru na pole.

50=\frac{4h^2}2=2h^2

h^2=25\Rightarrow h=5

Krok 2. Wyznacz podstawę i ramię.

a=20

b^2=5^2+10^2=125

b=5\sqrt5

Krok 3. Obwód.

O=20+10\sqrt5

Odpowiedź:

O=20+10\sqrt5\ \mathrm{cm}

Ćwiczenie 12

Przekątna równoległoboku ma 8 i jest nachylona do jego boku długości 5 pod kątem 30°. Oblicz pole.

Sprawdź rozwiązanie

Krok 1. Pole jednego trójkąta.

P_1=\frac12\cdot8\cdot5\cdot\sin30^\circ

P_1=\frac12\cdot8\cdot5\cdot\frac12=10

Krok 2. Pole równoległoboku.

P=2P_1=20

Odpowiedź:

P=20

Ćwiczenie 13

Krótsza przekątna trapezu prostokątnego wydziela trójkąt równoboczny. Wysokość trapezu wynosi $5\sqrt3$ . Oblicz jego pole.

Sprawdź rozwiązanie

Krok 1. Dłuższa podstawa.

b=\frac{2h}{\sqrt3}=10

Krok 2. Krótsza podstawa.

a=\frac b2=5

Krok 3. Pole.

P=\frac{(5+10)\cdot5\sqrt3}{2}=\frac{75\sqrt3}2

Odpowiedź:

P=\frac{75\sqrt3}2

Ćwiczenie 14

Jedna przyprostokątna jest o 3 krótsza od przeciwprostokątnej. Cosinus kąta przy tej przyprostokątnej wynosi $\frac45$ . Oblicz pole.

Sprawdź rozwiązanie

Krok 1. Zapisz zależność.

a=c-3

\frac{c-3}c=\frac45

Krok 2. Oblicz c i a.

5c-15=4c\Rightarrow c=15

a=12

Krok 3. Oblicz drugą przyprostokątną.

b=\sqrt{15^2-12^2}=9

Krok 4. Oblicz pole.

P=\frac{12\cdot9}2=54

Odpowiedź:

P=54

Zapamiętaj: najpierw narysuj figurę, oznacz dane, ułóż zależności z treści zadania i dopiero wtedy licz. Najczęstsze pomyłki dotyczą słów „o … krótsza” i „… razy krótsza”, wyboru sinusa lub cosinusa oraz odpowiedniej podstawy i wysokości.

Trygonometria – sprawdzian

1. Teoria – od podstaw do zadań

1. Rodzaje trójkątów – podział według boków

Trójkąt równoramienny

Trójkąt równoboczny

2. Rodzaje trójkątów – podział według kątów

Ostrokątny

Prostokątny

Rozwartokątny

3. Twierdzenie Pitagorasa

4. Sinus, cosinus i tangens

Jedynka trygonometryczna

5. Wartości i znaki funkcji oraz wzory redukcyjne

Znaki funkcji

Wzory redukcyjne – znajdziesz je w karcie wzorów maturalnych CKE

Przykład – oblicz wartości dla 120°

6. Pola i obwody – potrzebne wzory

Trójkąt

Dwa boki i kąt między nimi

Równoległobok

Trapez

7. Jak czytać treść zadania?

2. Kartkówka – wersja A

Tangens mniejszego kąta

Rozwiązywanie trójkąta równoramiennego

Pole z dwóch boków i kąta

Obwód z pola i wysokości

Pole równoległoboku

Trapez i trójkąt równoboczny

Pole trójkąta z sinusa

3. Kartkówka – wersja B

Cosinus z podanego sinusa

Rozwiązywanie trójkąta równoramiennego

Pole z kątem 150°

Obwód z pola i stosunku a do h

Równoległobok z kątem 60°

Trapez z trójkątem równobocznym

Pole trójkąta z cosinusa

4. Nowe zadania do samodzielnego rozwiązania

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?