Symetria środkowa. Symetria środkowa względem punktu (0,0)

Symetria środkowa to przekształcenie, w którym punkt i jego obraz znajdują się po przeciwnych stronach środka symetrii.

W tym temacie środkiem symetrii będzie początek układu współrzędnych O(0,0).

Zapamiętaj:

Punkt O(0,0) znajduje się dokładnie w połowie drogi między punktem a jego obrazem.

Symetria środkowa zachowuje kształt i wielkość figury.

Symetria punktu względem O(0,0)

Jeżeli mamy punkt:

A(x, y),

to po wykonaniu symetrii środkowej względem początku układu otrzymujemy:

A₁(−x, −y)

Najważniejsza zasada:

(x, y) → (−x, −y)

Czyli zmieniamy znak obu współrzędnych.

x y A(x, y) A₁(−x, −y) O(0,0)
Punkt O(0,0) jest środkiem odcinka łączącego punkt A z jego obrazem A₁.
Przykład

Mamy:

A(−5, 1)

Zmieniamy znak obu współrzędnych:

A₁(5, −1)

Analogicznie:

B(−3, −2) → B₁(3, 2)

Symetria środkowa wykresu funkcji

Dla wykresu funkcji musimy zmienić znak zarówno współrzędnej x, jak i współrzędnej y.

Dlatego wykonujemy dwie rzeczy:

• zamiast x bierzemy −x,

• zmieniamy znak całej wartości funkcji.

Najważniejszy wzór:

g(x) = −f(−x)

Skąd ten wzór?

Możemy potraktować symetrię środkową jako wykonanie dwóch znanych już symetrii.

Najpierw odbijamy wykres względem osi OY:

f(x) → f(−x)

a następnie względem osi OX:

f(−x) → −f(−x)

Ostatecznie:

g(x) = −f(−x)

Przykład z funkcją pierwiastkową

Przykład

Mamy funkcję:

f(x) = √x

Jej dziedzina to:

Df = [0, +∞)

Wykonujemy symetrię środkową:

g(x) = −f(−x)

Zatem:

g(x) = −√(−x)

Dziedzina funkcji po odbiciu wynosi:

Dg = (−∞, 0]
x y f(x)=√x g(x)=−√(−x)
Punkty (1,1), (4,2) i (9,3) leżą dokładnie na wykresie f(x)=√x. Po symetrii środkowej przechodzą odpowiednio w (−1,−1), (−4,−2) i (−9,−3).

Przykład z funkcją liniową

Przykład

Dana jest:

f(x) = 0,5x − 1.

Korzystamy ze wzoru:

g(x) = −f(−x)

Najpierw wpisujemy −x zamiast x:

f(−x) = 0,5(−x) − 1
f(−x) = −0,5x − 1

Teraz zmieniamy znak całego wyniku:

g(x) = −(−0,5x − 1)
g(x) = 0,5x + 1

Przykład z funkcją kwadratową

Przykład

Dana jest:

f(x) = x² − 3x + 4.

Liczymy:

g(x) = −f(−x)

Najpierw w miejsce x wpisujemy −x:

f(−x) = (−x)² − 3(−x) + 4
f(−x) = x² + 3x + 4

Teraz zmieniamy znak całego wyrażenia:

g(x) = −(x² + 3x + 4)
g(x) = −x² − 3x − 4

Możemy sprawdzić kilka punktów funkcji f:

x −1 0 1 2 3 4
f(x) 8 4 2 2 4 8

Na przykład:

(1,2) → (−1,−2)
(3,4) → (−3,−4)
x y f(x)=x²−3x+4 g(x)=−x²−3x−4
Punkty obu wykresów zostały wyznaczone ze wzorów funkcji. Na przykład punkt (1,2) przechodzi dokładnie w (−1,−2), a punkt (3,4) w (−3,−4).

Co dzieje się z miejscami zerowymi?

Jeśli liczba x₀ jest miejscem zerowym funkcji f, to po symetrii środkowej miejscem zerowym będzie −x₀.

Przykład

Miejsca zerowe funkcji f to:

−2,   7,   108.

Po odbiciu względem O(0,0) zmieniamy znaki:

2,   −7,   −108

Co dzieje się z dziedziną?

Dziedzina również odbija się względem zera.

Przykład

Jeżeli:

Df = (−4, 8),

to po symetrii środkowej:

−4 → 4
8 → −8

Po uporządkowaniu końców przedziału:

Dg = (−8, 4)

Co dzieje się ze zbiorem wartości?

Wartości funkcji także zmieniają znak.

Przykład

Jeżeli:

Wf = (0, 5),

to po symetrii środkowej:

Wg = (−5, 0)

Podsumowanie:

punkt:   (x,y) → (−x,−y)
funkcja:   g(x) = −f(−x)
miejsce zerowe:   x₀ → −x₀

Dziedzina odbija się względem zera, a zbiór wartości również zmienia znaki.

Zadania

Zadanie 1

Dane są punkty:

A(−4, 3),   B(2, −5).

Wyznacz ich obrazy w symetrii środkowej względem O(0,0).

Pokaż rozwiązanie

Zmieniamy znak obu współrzędnych.

A(−4,3) → A₁(4,−3)
B(2,−5) → B₁(−2,5)
A₁(4,−3),   B₁(−2,5)

Zadanie 2

Dana jest funkcja:

f(x) = 2x − 3.

Wyznacz wzór funkcji otrzymanej po symetrii środkowej względem O(0,0).

Pokaż rozwiązanie
g(x) = −f(−x)

Najpierw:

f(−x) = 2(−x) − 3
f(−x) = −2x − 3

Zmieniamy znak całej funkcji:

g(x) = −(−2x − 3)
g(x) = 2x + 3

Zadanie 3

Dana jest:

f(x) = 2x² − 7x − 5.

Wyznacz wzór funkcji po symetrii środkowej względem O(0,0).

Pokaż rozwiązanie
g(x) = −f(−x)

Podstawiamy −x:

f(−x) = 2(−x)² − 7(−x) − 5
f(−x) = 2x² + 7x − 5

Zmieniamy znak całego wyrażenia:

g(x) = −2x² − 7x + 5
g(x) = −2x² − 7x + 5

Zadanie 4

Dana jest funkcja:

f(x) = 1 x + 3 − 1

Wyznacz wzór funkcji po symetrii środkowej względem O(0,0).

Pokaż rozwiązanie
g(x) = −f(−x)

Najpierw:

f(−x) = 1 −x + 3 − 1

Teraz zmieniamy znak całego wyrażenia:

g(x) = − 1 −x + 3 + 1

Ponieważ:

−x + 3 = −(x − 3),

otrzymujemy:

g(x) = 1 x − 3 + 1

Zadanie 5

Miejscami zerowymi funkcji f są:

−3,   6,   12.

Podaj miejsca zerowe funkcji g, jeżeli:

g(x) = −f(−x).
Pokaż rozwiązanie

W symetrii środkowej zmieniamy znak miejsc zerowych.

−3 → 3
6 → −6
12 → −12
Miejsca zerowe funkcji g: 3, −6, −12.

Zadanie 6

Dana jest dziedzina:

Df = (−2, 7)

oraz zbiór wartości:

Wf = (1, 6).

Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji:

g(x) = −f(−x).
Pokaż rozwiązanie

Dziedzina:

−2 → 2
7 → −7

Po uporządkowaniu:

Dg = (−7, 2)

Zbiór wartości:

1 → −1
6 → −6

Po uporządkowaniu:

Wg = (−6, −1)
Dg = (−7,2)
Wg = (−6,−1)

Zadanie 7

Dana jest funkcja:

f(x) = √x.

Narysuj jej obraz w symetrii środkowej względem O(0,0) i podaj wzór otrzymanej funkcji.

Pokaż rozwiązanie

Najpierw wyznaczamy kilka prostych punktów funkcji f.

x 0 1 4 9
f(x) 0 1 2 3

Otrzymujemy punkty:

(0,0),   (1,1),   (4,2),   (9,3).

W symetrii środkowej zmieniamy znaki obu współrzędnych:

(0,0) → (0,0)
(1,1) → (−1,−1)
(4,2) → (−4,−2)
(9,3) → (−9,−3)
x y f(x)=√x g(x)=−√(−x)
Punkty zaznaczone na wykresie są dokładnie punktami wyznaczonymi z tabeli. Po symetrii środkowej każdy punkt przechodzi w punkt o obu przeciwnych współrzędnych.

Otrzymany wykres opisuje funkcja:

g(x) = −√(−x)

Jej dziedzina:

x ≤ 0
g(x) = −√(−x),    x ≤ 0

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?

Umów bezpłatną lekcję próbną — wytłumaczę Ci wszystko krok po kroku.

Umów lekcję próbną