Symetria osiowa. Symetria osiowa względem osi OX i OY

Symetria osiowa to po prostu odbicie punktu, figury albo wykresu względem wybranej osi.

W tym temacie będziemy odbijać wykresy względem: osi OX oraz osi OY.

Zapamiętaj:

Symetria osiowa zachowuje kształt i wielkość. Zmienia się tylko położenie.

Symetria punktu względem osi OX i OY

Najpierw zobaczmy, co dzieje się ze współrzędnymi punktu.

Względem osi OX

Współrzędna x zostaje taka sama, a zmienia się znak współrzędnej y.

(x, y) → (x, −y)
Względem osi OY

Współrzędna y zostaje taka sama, a zmienia się znak współrzędnej x.

(x, y) → (−x, y)
x y A(x, y) A₁(x, −y) A₂(−x, y)
Ten sam punkt A odbity względem osi OX oraz względem osi OY.

Najważniejsze reguły dla punktu:

A(x, y) → A₁(x, −y)    względem osi OX
A(x, y) → A₂(−x, y)    względem osi OY

Symetria wykresu względem osi OX

Jeżeli odbijamy wykres względem osi OX, to pozostawiamy te same argumenty x, ale zmieniamy znak wartości funkcji.

Względem osi OX:

g(x) = −f(x)

Czyli zmieniamy znak całej funkcji.

Przykład

Mamy:

f(x) = √x

Odbijamy wykres względem osi OX.

Zmieniamy znak całej funkcji:

g(x) = −√x
x y f(x)=√x g(x)=−√x
Każdy punkt wykresu odbijamy na drugą stronę osi OX. Współrzędna x pozostaje taka sama, a wartość y zmienia znak.

Dziedzina się nie zmienia:

Df = Dg = [0, +∞)

Przykład rachunkowy

Dana jest:

f(x) = x² − 3x + 4.

Odbijamy wykres względem osi OX.

Zmieniamy znak całej funkcji:

g(x) = −(x² − 3x + 4)

Usuwamy nawias:

g(x) = −x² + 3x − 4

Uwaga:

Przy symetrii względem osi OX minus stoi przed całym wzorem funkcji.

−f(x)

Dlatego zmieniają się znaki wszystkich składników.

Symetria wykresu względem osi OY

Przy odbiciu względem osi OY wartość funkcji pozostaje taka sama, ale bierzemy ją dla przeciwnego argumentu.

Względem osi OY:

g(x) = f(−x)

Czyli wszędzie, gdzie we wzorze występuje x, wstawiamy −x.

Przykład

Mamy:

f(x) = √x

Odbijamy wykres względem osi OY.

W miejsce x wpisujemy −x:

g(x) = √(−x)
x y f(x)=√x g(x)=√(−x)
Każdy punkt odbijamy na drugą stronę osi OY. Wartość y pozostaje taka sama, a znak współrzędnej x się zmienia.

Funkcja początkowa ma dziedzinę:

Df = [0,+∞)

Po odbiciu względem osi OY:

Dg = (−∞,0]

Przykład rachunkowy

Dana jest:

f(x) = x² − 3x + 4.

Odbijamy ją względem osi OY.

W miejsce każdego x wpisujemy −x:

g(x) = (−x)² − 3(−x) + 4

Upraszczamy:

g(x) = x² + 3x + 4

OX czy OY? Najważniejsza różnica

Symetria względem OX
g(x) = −f(x)

Zmienia się znak wyniku funkcji.

Punkt:

(x,y) → (x,−y)
Symetria względem OY
g(x) = f(−x)

Zmienia się znak argumentu x.

Punkt:

(x,y) → (−x,y)

Zadania

Zadanie 1

Dane są punkty:

A(−3,1),    B(2,4).

Wyznacz obrazy tych punktów:

a) względem osi OX,

b) względem osi OY.

Pokaż rozwiązanie

a) Względem OX

Zmieniamy znak współrzędnej y.

A(−3,1) → A₁(−3,−1)
B(2,4) → B₁(2,−4)

b) Względem OY

Zmieniamy znak współrzędnej x.

A(−3,1) → A₂(3,1)
B(2,4) → B₂(−2,4)
OX: A₁(−3,−1), B₁(2,−4)
OY: A₂(3,1), B₂(−2,4)

Zadanie 2

Dana jest funkcja:

f(x) = 1 2 x + 1.

Podaj wzór funkcji otrzymanej po odbiciu wykresu:

a) względem osi OX,

b) względem osi OY.

Pokaż rozwiązanie

a) OX

g(x) = −f(x)
g(x) = −( 1 2 x + 1)
g(x) = − 1 2 x − 1

b) OY

h(x) = f(−x)
h(x) = 1 2 (−x) + 1
h(x) = − 1 2 x + 1
OX: g(x) = −½x − 1
OY: h(x) = −½x + 1

Zadanie 3

Dana jest:

f(x) = 1 x − 4 .

Podaj wzór funkcji otrzymanej po odbiciu względem:

a) osi OX,

b) osi OY.

Pokaż rozwiązanie

a) OX

g(x) = − 1 x − 4

b) OY

W miejsce x wpisujemy −x:

h(x) = 1 −x − 4

Możemy wyciągnąć minus z mianownika:

h(x) = − 1 x + 4
OX: −1/(x−4)
OY: −1/(x+4)

Zadanie 4

Dana jest funkcja:

f(x) = √x − 1.

Podaj wzór funkcji po odbiciu względem:

a) osi OX,

b) osi OY.

Pokaż rozwiązanie

a) OX

g(x) = −(√x − 1)
g(x) = −√x + 1

b) OY

h(x) = √(−x) − 1
OX: g(x) = 1 − √x
OY: h(x) = √(−x) − 1

Zadanie 5

Dana jest funkcja:

f(x) = x² − 2x.

Narysuj:

a) wykres funkcji g(x) = −f(x),

b) wykres funkcji h(x) = f(−x).

Pokaż rozwiązanie

Najpierw wyznaczamy wzory.

a) Symetria względem OX

g(x) = −(x² − 2x)
g(x) = −x² + 2x

b) Symetria względem OY

h(x) = (−x)² − 2(−x)
h(x) = x² + 2x

Teraz możemy wybrać kilka punktów funkcji podstawowej.

x −1 0 1 2 3
f(x) 3 0 −1 0 3

Dla symetrii względem osi OX zostawiamy x i zmieniamy znak y.

Dla symetrii względem osi OY zostawiamy y i zmieniamy znak x.

x y f(x)=x²−2x g(x)=−x²+2x h(x)=x²+2x
Niebieski – funkcja początkowa. Czerwony – odbicie względem osi OX. Zielony – odbicie względem osi OY.

Na koniec:

OX:   g(x) = −f(x)
OY:   g(x) = f(−x)
OX:   (x,y) → (x,−y)
OY:   (x,y) → (−x,y)

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?

Umów bezpłatną lekcję próbną — wytłumaczę Ci wszystko krok po kroku.

Umów lekcję próbną