Rozkład prawdopodobieństwa to po prostu tabela pokazująca, jakie wyniki mogą się zdarzyć i z jakim prawdopodobieństwem.
Najważniejsza zasada:
Jeżeli możliwe wyniki mają prawdopodobieństwa p₁, p₂, …, pₙ, to:
Bo któryś z możliwych wyników musi się wydarzyć.
Jak wygląda rozkład prawdopodobieństwa?
Przykładowa niesymetryczna kostka może mieć taki rozkład:
| liczba oczek | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| prawdopodobieństwo | 1/8 | 1/8 | 1/8 | 1/4 | 1/8 | 1/4 |
Sprawdzamy sumę:
Jak policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia?
Jeżeli zdarzenie składa się z kilku wyników, dodajemy ich prawdopodobieństwa.
Załóżmy, że interesuje nas wyrzucenie liczby parzystej.
Wyniki sprzyjające to 2, 4 i 6, więc:
Kiedy mamy schemat klasyczny?
Wtedy każdy wynik ma:
Wtedy nie można używać „liczba sprzyjających / liczba wszystkich”. Trzeba dodawać prawdopodobieństwa z tabeli.
Pułapka: w rozkładzie prawdopodobieństwa nie patrzymy tylko na liczbę wyników. Patrzymy na ich prawdopodobieństwa.
Jeśli 5 wypada dwa razy częściej niż 1, to nie są to jednakowo prawdopodobne wyniki.
Przykład 1 – uzupełniamy brakujące prawdopodobieństwo
| wynik | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| p | 1/6 | 1/3 | x | 1/4 |
Suma musi być równa 1:
Liczymy znane części:
Przykład 2 – niesymetryczna moneta
Orzeł wypada dwa razy częściej niż reszka. Wyznacz rozkład prawdopodobieństwa.
Niech:
Wtedy:
Suma prawdopodobieństw:
| wynik | orzeł | reszka |
|---|---|---|
| p | 2/3 | 1/3 |
Zadania
Zadanie 1 – z tabeli
Dany jest rozkład:
| wynik | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| p | 1/5 | 1/6 | 1/15 | 1/3 | 1/6 | 1/15 |
Oblicz prawdopodobieństwo:
a) wyrzucenia liczby nieparzystej,
b) wyrzucenia co najmniej 3 oczek.
Pokaż rozwiązanie
a) Nieparzyste to 1, 3, 5:
b) Co najmniej 3 oznacza: 3, 4, 5, 6:
Zadanie 2 – dwa brakujące pola
| wynik | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| p | 1/6 | 1/30 | 1/4 | 1/4 | x | 2x |
Uzupełnij tabelę i oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej.
Pokaż rozwiązanie
Suma prawdopodobieństw to 1:
Znane składniki:
Zatem:
Parzyste wyniki to 2, 4, 6:
Zadanie 3 – liczba orłów w dwóch rzutach
Rzucamy dwiema symetrycznymi monetami. Niech X oznacza liczbę otrzymanych orłów. Podaj rozkład prawdopodobieństwa X.
Pokaż rozwiązanie
Możliwe wyniki dwóch rzutów:
Liczba orłów:
• 0 orłów: RR – 1 wynik,
• 1 orzeł: RO, OR – 2 wyniki,
• 2 orły: OO – 1 wynik.
| X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(X) | 1/4 | 1/2 | 1/4 |
Zadanie 4 – liczba orłów w trzech rzutach
Rzucamy trzema symetrycznymi monetami. Niech X oznacza liczbę orłów. Podaj rozkład prawdopodobieństwa X.
Pokaż rozwiązanie
Wszystkich wyników:
0 orłów – 1 wynik.
1 orzeł – wybieramy jego miejsce: 3 wyniki.
2 orły – wybieramy miejsce reszki: 3 wyniki.
3 orły – 1 wynik.
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P(X) | 1/8 | 3/8 | 3/8 | 1/8 |
Zadanie 5 – kostka z dwiema piątkami
Na ścianach symetrycznej kostki zapisano liczby 1, 2, 3, 4, 5, 5. Podaj rozkład prawdopodobieństwa wartości otrzymanej w jednym rzucie.
Pokaż rozwiązanie
Każda ściana ma prawdopodobieństwo 1/6.
Liczby 1, 2, 3, 4 występują na jednej ścianie, a 5 na dwóch ścianach.
| wynik | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| p | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 2/6=1/3 |
Kontrola:
Mini ściąga:
• wszystkie prawdopodobieństwa są ≥0,
• suma wszystkich prawdopodobieństw = 1,
• prawdopodobieństwo zdarzenia = suma prawdopodobieństw wyników, które do niego należą,
• jeżeli wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, wracamy do schematu klasycznego: p=1/n.