Równania wymierne – kartkówka OE

Zadanie 1.

1 pkt

Równanie \(x+\frac{1}{x+2}=0\) ma taki sam zbiór rozwiązań jak równanie:

  1. \(\frac{x-1}{x}=0\)
  2. \(|x+1|=0\)
  3. \(x^2+x=0\)
  4. \(\frac{x}{x+1}=0\)
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Wyznaczamy dziedzinę.

Mianownik \(x+2\) nie może być zerem. Dlatego \(x+2\ne0\), czyli:

\[D=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\]

Krok 2. Usuwamy mianownik.

Mnożymy obie strony przez \(x+2\). Robimy to tylko dla liczb z dziedziny, więc ten czynnik na pewno nie jest zerem.

\[x(x+2)+1=0\]
\[x^2+2x+1=0\]

Krok 3. Rozwiązujemy równanie.

Lewą stronę zapisujemy jako kwadrat sumy:

\[(x+1)^2=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1\]

Liczba \(x=-1\) należy do dziedziny.

Krok 4. Porównujemy odpowiedzi.

A: Rozwiązaniem jest \(x=1\).

B: Równanie \(|x+1|=0\) ma tylko rozwiązanie \(x=-1\).

C: Po rozłożeniu \(x(x+1)=0\) otrzymujemy \(x=0\) lub \(x=-1\).

D: Rozwiązaniem jest \(x=0\) (przy \(x\ne-1\)).

Odpowiedź: B. Oba równania mają to samo rozwiązanie: \(x=-1\).

Zadanie 2.

5 pkt

Rozwiąż równanie:

\[\frac{2}{x^2-4}-\frac{1}{x^2+2x}+\frac{1}{x^2-2x}=1\]
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Rozkładamy mianowniki i ustalamy dziedzinę.

\[\begin{aligned}x^2-4&=(x-2)(x+2)\\x^2+2x&=x(x+2)\\x^2-2x&=x(x-2)\end{aligned}\]

Mianowniki nie mogą być zerami, więc:

\[D=\mathbb{R}\setminus\{-2,0,2\}\]

Krok 2. Wybieramy najmniejszy wspólny mianownik.

Każdy z trzech mianowników składa się z czynników \(x\), \(x-2\), \(x+2\). Bierzemy je po jednym razie:

\[x(x-2)(x+2)\]

Pierwszy ułamek rozszerzamy przez \(x\), drugi przez \(x-2\), a trzeci przez \(x+2\).

\[\frac{2x}{x(x-2)(x+2)}-\frac{x-2}{x(x-2)(x+2)}+\frac{x+2}{x(x-2)(x+2)}=1\]

Krok 3. Usuwamy wspólny mianownik.

Mnożymy obie strony przez \(x(x-2)(x+2)\). Po lewej stronie zostają liczniki. Pamiętamy o minusie przed drugim ułamkiem:

\[2x-(x-2)+(x+2)=x(x-2)(x+2)\]
\[2x-x+2+x+2=x(x^2-4)\]
\[2x+4=x^3-4x\]
\[x^3-6x-4=0\]

Krok 4. Rozkładamy wielomian na czynniki.

Sprawdzamy prosty pierwiastek \(x=-2\):

\[(-2)^3-6(-2)-4=-8+12-4=0\]

Stąd \(x+2\) jest czynnikiem wielomianu. Dzielimy wielomian przez \(x+2\) i otrzymujemy:

\[(x+2)(x^2-2x-2)=0\]

Z pierwszego czynnika \(x=-2\), ale odrzucamy tę liczbę, ponieważ nie należy do dziedziny.

Dla drugiego czynnika rozwiązujemy równanie kwadratowe:

\[x^2-2x-2=0,\qquad\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-2)=12\]
\[x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt3}{2}=1\pm\sqrt3\]

Krok 5. Sprawdzamy dziedzinę.

Liczba \(x=1-\sqrt3\) należy do dziedziny.

Liczba \(x=1+\sqrt3\) należy do dziedziny.

Odpowiedź:
\[x=1-\sqrt3\quad\text{lub}\quad x=1+\sqrt3\]

Wskazówka: Nie mnożymy trzech mianowników przez siebie bez potrzeby. Najpierw rozkładamy je na czynniki i wybieramy ich najmniejszą wspólną wielokrotność.

Zadanie 3.

1 pkt

Równanie \(x+\frac{2}{x-1}=4\) ma taki sam zbiór rozwiązań jak równanie:

  1. \(\frac{x-2}{x-3}=0\)
  2. \(x^2-4x+3=0\)
  3. \(x^2-5x+6=0\)
  4. \(\frac{x-3}{x-1}=0\)
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Wyznaczamy dziedzinę.

\[x-1\ne0\quad\Longrightarrow\quad x\ne1\]

Krok 2. Mnożymy przez mianownik.

\[x(x-1)+2=4(x-1)\]

Rozwijamy nawiasy i wszystko przenosimy na lewą stronę:

\[x^2-x+2=4x-4\]
\[x^2-5x+6=0\]

Krok 3. Rozwiązujemy i porównujemy odpowiedzi.

\[(x-2)(x-3)=0\]
\[x=2\quad\text{lub}\quad x=3\]

Liczba \(x=2\) należy do dziedziny.

Liczba \(x=3\) należy do dziedziny.

Porównujemy wyniki z podanymi odpowiedziami:

A: Jedynym rozwiązaniem jest \(x=2\).

B: Rozwiązaniami są \(x=1\) oraz \(x=3\).

C: Rozwiązaniami są \(x=2\) oraz \(x=3\).

D: Jedynym rozwiązaniem jest \(x=3\).

Odpowiedź: C. \(x=2\) lub \(x=3\).

Zadanie 4.

5 pkt

Rozwiąż równanie:

\[\frac{1}{x^2-3x}+\frac{2}{x^2-9}-\frac{1}{x^2+3x}=1\]
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Rozkładamy mianowniki i wyznaczamy dziedzinę.

\[\begin{aligned}x^2-3x&=x(x-3)\\x^2-9&=(x-3)(x+3)\\x^2+3x&=x(x+3)\end{aligned}\]
\[D=\mathbb{R}\setminus\{-3,0,3\}\]

Krok 2. Znajdujemy wspólny mianownik.

\[x(x-3)(x+3)\]

Po sprowadzeniu wszystkich ułamków do tego mianownika mamy:

\[\frac{x+3}{x(x-3)(x+3)}+\frac{2x}{x(x-3)(x+3)}-\frac{x-3}{x(x-3)(x+3)}=1\]

Krok 3. Usuwamy mianowniki i porządkujemy równanie.

\[(x+3)+2x-(x-3)=x(x-3)(x+3)\]
\[x+3+2x-x+3=x(x^2-9)\]
\[2x+6=x^3-9x\]
\[x^3-11x-6=0\]

Krok 4. Rozkładamy wielomian i obliczamy pierwiastki.

Sprawdzamy \(x=-3\): \((-3)^3-11(-3)-6=-27+33-6=0\).

\[(x+3)(x^2-3x-2)=0\]

Pierwszy czynnik daje \(x=-3\), ale jest to liczba wykluczona z dziedziny. Rozwiązujemy pozostałe równanie kwadratowe:

\[x^2-3x-2=0\]
\[\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-2)=9+8=17\]
\[x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}\]

Krok 5. Sprawdzamy, czy wyniki należą do dziedziny.

Liczba \(x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}\) należy do dziedziny.

Liczba \(x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\) należy do dziedziny.

Odpowiedź:
\[x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}\quad\text{lub}\quad x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\]

Zadanie 5.

2 pkt

Dane jest wyrażenie:

\[\frac{x+5}{x^2-5x+6}\]
  1. Wyznacz jego dziedzinę.
  2. Sprawdź, czy dla \(x=2\) można obliczyć wartość tego wyrażenia. Uzasadnij odpowiedź.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Zapisujemy warunek na mianownik.

Nie wolno dzielić przez zero, więc:

\[x^2-5x+6\ne 0\]

Krok 2. Rozkładamy mianownik na czynniki.

Szukamy liczb, których suma wynosi \(-5\), a iloczyn \(6\). Są to \(-2\) oraz \(-3\):

\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]

Iloczyn jest zerem dla \(x=2\) lub \(x=3\), więc obie liczby trzeba wykluczyć.

\[x\ne 2\qquad\text{i}\qquad x\ne 3\]

Krok 3. Sprawdzamy podaną wartość \(x=2\).

\[\frac{2+5}{2^2-5\cdot 2+6}=\frac{7}{4-10+6}=\frac{7}{0}\]

Dzielenie przez zero jest niedozwolone. Dla \(x=2\) wyrażenie nie ma wartości.

Odpowiedź: \(D=\mathbb{R}\setminus\{2,3\}\). Dla \(x=2\) nie można obliczyć wartości wyrażenia.

Zadanie 6.

2 pkt

Rozwiąż równanie. Pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny.

\[\frac{3x-2}{x+4}=2\]
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Wyznaczamy dziedzinę.

\[x+4\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne-4\]

Krok 2. Usuwamy mianownik.

Mnożymy obie strony równania przez \(x+4\), co jest dozwolone dla liczb z dziedziny:

\[3x-2=2(x+4)\]

Krok 3. Rozwiązujemy równanie liniowe.

\[3x-2=2x+8\]
\[3x-2x=8+2\]
\[x=10\]

Krok 4. Sprawdzamy dziedzinę.

Liczba \(x=10\) należy do dziedziny.

Możemy też podstawić wynik do pierwotnego równania:

\[\frac{3\cdot10-2}{10+4}=\frac{28}{14}=2\quad\checkmark\]
Odpowiedź: \(x=10\).

Zadanie 7.

3 pkt

Rozwiąż równanie. Zapisz dziedzinę i wszystkie obliczenia.

\[\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{3}{x^2-1}\]
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Wyznaczamy dziedzinę.

Rozkładamy mianownik prawej strony, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:

\[x^2-1=(x-1)(x+1)\]

Żaden mianownik nie może być zerem, zatem \(x\ne1\) oraz \(x\ne-1\).

\[D=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\]

Krok 2. Znajdujemy wspólny mianownik.

Najmniejszym wspólnym mianownikiem jest \((x-1)(x+1)\). Rozszerzamy pierwszy ułamek przez \(x+1\), a drugi przez \(x-1\):

\[\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{3}{(x-1)(x+1)}\]

Krok 3. Usuwamy wspólny mianownik.

Dla \(x\) z dziedziny możemy pomnożyć obie strony przez \((x-1)(x+1)\):

\[2(x+1)+(x-1)=3\]

Krok 4. Rozwiązujemy równanie.

\[2x+2+x-1=3\]
\[3x+1=3\]
\[3x=2\]
\[x=\frac23\]

Krok 5. Sprawdzamy dziedzinę.

Liczba \(x=\frac{2}{3}\) należy do dziedziny.

Odpowiedź: \(x=\frac{2}{3}\).

Zadanie 8.

3 pkt

Uczeń rozwiązał równanie:

\[\frac{x^2-9}{x-3}=6\]

Wykonał następujące przekształcenia:

\[\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=6\]
\[x+3=6\]
\[x=3\]

Stwierdził, że rozwiązaniem równania jest \(x=3\).

Oceń poprawność rozwiązania. Jeżeli uczeń popełnił błąd, wskaż go i podaj prawidłowy zbiór rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Sprawdzamy dziedzinę pierwotnego równania.

\[x-3\ne0\quad\Longrightarrow\quad x\ne3\]

Wartość \(x=3\) jest zabroniona, ponieważ zeruje mianownik.

Krok 2. Analizujemy skracanie.

\[\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\quad\text{dla }x\ne3\]

Skracanie jest poprawne tylko przy zachowaniu warunku \(x\ne3\).

Krok 3. Rozwiązujemy otrzymane równanie.

\[x+3=6\quad\Longrightarrow\quad x=3\]

Krok 4. Odrzucamy liczbę spoza dziedziny.

Liczba \(x=3\) nie należy do dziedziny. W oryginalnym równaniu otrzymalibyśmy mianownik równy zero. Nie wolno więc jej przyjąć jako rozwiązania.
Odpowiedź: Uczeń nie uwzględnił dziedziny. Równanie nie ma rozwiązań.

Zadanie 9.

5 pkt

Rozwiąż równanie. Wyznacz dziedzinę, sprowadź ułamki do wspólnego mianownika i sprawdź otrzymane rozwiązania.

\[\frac{x+1}{x-2}-\frac{x-1}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\]
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Wyznaczamy dziedzinę.

Mianowniki to \(x-2\), \(x+2\) i \(x^2-4\). Rozkładamy ostatni z nich:

\[x^2-4=(x-2)(x+2)\]

Wszystkie mianowniki są różne od zera, jeśli:

\[D=\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}\]

Krok 2. Sprowadzamy do wspólnego mianownika.

Najmniejszy wspólny mianownik to \((x-2)(x+2)\). Pierwszy ułamek rozszerzamy przez \(x+2\), drugi przez \(x-2\):

\[\frac{(x+1)(x+2)}{(x-2)(x+2)}-\frac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{8}{(x-2)(x+2)}\]

Krok 3. Usuwamy mianowniki.

Mnożymy obie strony przez \((x-2)(x+2)\):

\[(x+1)(x+2)-(x-1)(x-2)=8\]

Krok 4. Rozwijamy nawiasy — uważamy na minus.

\[(x+1)(x+2)=x^2+3x+2\]
\[(x-1)(x-2)=x^2-3x+2\]

Przed drugim nawiasem stoi minus, dlatego po jego opuszczeniu zmieniamy wszystkie znaki wewnątrz:

\[x^2+3x+2-(x^2-3x+2)=8\]
\[x^2+3x+2-x^2+3x-2=8\]
\[6x=8\]
\[x=\frac86=\frac43\]

Krok 5. Sprawdzamy dziedzinę.

Liczba \(x=\frac{4}{3}\) należy do dziedziny.

Odpowiedź: \(x=\frac{4}{3}\).

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?

Umów bezpłatną lekcję próbną — wytłumaczę Ci wszystko krok po kroku.

Umów lekcję próbną