Reguła mnożenia

Reguła mnożenia służy do liczenia, ile jest wszystkich możliwych wyników, gdy wybór składa się z kilku kolejnych etapów.

Najprostszy przykład

Mamy 3 bluzki i 2 pary spodni.

Do każdej z 3 bluzek możemy dobrać jedną z 2 par spodni.

3 · 2 = 6

Czyli możemy stworzyć 6 różnych zestawów.

Reguła mnożenia

Jeżeli wybór składa się z kilku kolejnych decyzji i:

• pierwszą możemy podjąć na k₁ sposobów,

• drugą na k₂ sposobów,

• trzecią na k₃ sposobów itd.,

to wszystkich możliwości jest:

k₁ · k₂ · k₃ · …

Jak rozpoznać, że trzeba mnożyć?

Pomyśl: „Ile możliwości mam na pierwszym etapie, ile na drugim, ile na trzecim?”

Jeżeli jeden wynik powstaje przez wykonanie kilku kolejnych wyborów, to zwykle te liczby mnożymy.

Dwie kostki

Przykład

Rzucamy niebieską i czerwoną kostką.

Na niebieskiej kostce może wypaść:

1, 2, 3, 4, 5 lub 6

czyli mamy 6 możliwości.

Na czerwonej kostce również mamy 6 możliwości.

6 · 6 = 36

Możliwych wyników jest więc 36.

Ważne: rozróżniamy kostki.

Wynik:

(2,3)

jest innym wynikiem niż:

(3,2).

Kody z liter i cyfr

Przykład

Kod składa się z jednej litery i jednej cyfry.

Mamy:

• 26 liter,

• 10 cyfr: od 0 do 9.

litera
26
→
cyfra
10
26 · 10 = 260

Możemy utworzyć 260 kodów.

Dłuższe kody

Jeżeli kod ma kilka znaków, każdy znak traktujemy jako osobny etap wyboru.

Kod składa się z:

• 2 liter, przy czym używamy tylko liter A i B,

• 3 cyfr, przy czym używamy cyfr 1, 3, 8, 9.

Znaki mogą się powtarzać.

2
2
4
4
4
2 · 2 · 4 · 4 · 4 = 256

„Znaki mogą się powtarzać”

Oznacza to, że po użyciu np. litery A nadal możemy użyć A ponownie.

Dlatego liczba możliwości na kolejnych miejscach się nie zmniejsza.

Punkty w układzie współrzędnych

Przykład

Pierwsza współrzędna punktu należy do zbioru:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

czyli x możemy wybrać na 5 sposobów.

Druga współrzędna należy do zbioru:

B = {1, 2, 3}

czyli y możemy wybrać na 3 sposoby.

5 · 3 = 15

Takich punktów jest 15.

Gdy na każdym etapie mamy inne ograniczenie

Przykład

Rzucamy zieloną i żółtą kostką.

Na zielonej kostce ma wypaść liczba parzysta:

2, 4 lub 6

czyli 3 możliwości.

Na żółtej kostce ma wypaść liczba mniejsza od 4:

1, 2 lub 3

czyli również 3 możliwości.

3 · 3 = 9

Takich wyników jest 9.

Drzewko możliwości

Czasem zamiast od razu mnożyć, można narysować drzewko. Pomaga ono zobaczyć wszystkie możliwe wyniki.

Kostka i moneta

Rzucamy kostką i monetą.

Kostka ma 6 wyników, a moneta 2:

6 · 2 = 12
1 2 3 4 5 6 O R O R O R O R O R O R

Każda z 6 gałęzi po rzucie kostką rozdziela się jeszcze na 2 możliwości po rzucie monetą.

Najważniejsze na ten temat:

1. Rozbij wybór na kolejne etapy.

2. Policz, ile możliwości jest na każdym etapie.

3. Pomnóż te liczby.

liczba możliwości = k₁ · k₂ · … · kₙ

Zadania

Zadanie 1

Ile jest wszystkich par (x,y), jeśli:

x ∈ {2, 4, 8, 16, 32}

oraz:

y ∈ {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}?
Pokaż rozwiązanie

Pierwszą współrzędną x wybieramy na 5 sposobów.

Drugą współrzędną y wybieramy na 7 sposobów.

5 · 7 = 35
Takich par jest 35.

Zadanie 2

Kod składa się z dwóch liter, a następnie dwóch cyfr.

Do dyspozycji mamy:

• litery A, B, C, D, E, F, G, H,

• cyfry 1, 2, 3, 4, 5.

Litery i cyfry mogą się powtarzać. Ile różnych kodów można utworzyć?

Pokaż rozwiązanie

Na pierwszą literę mamy 8 możliwości.

Na drugą literę również 8.

Na każdą cyfrę mamy po 5 możliwości.

8
8
5
5
8 · 8 · 5 · 5 = 1600
Można utworzyć 1600 kodów.

Zadanie 3

Kod ma trzy litery, a następnie cztery cyfry.

Używamy tylko liter A, B, C oraz cyfr 1, 2, 3, 4. Znaki mogą się powtarzać.

Ile takich kodów można utworzyć?

Pokaż rozwiązanie

Każde z trzech miejsc na literę ma po 3 możliwości.

Każde z czterech miejsc na cyfrę ma po 4 możliwości.

3 · 3 · 3 · 4 · 4 · 4 · 4
27 · 256 = 6912
Można utworzyć 6912 kodów.

Zadanie 4

Ile jest liczb ośmiocyfrowych takich, że:

• pierwszą cyfrą jest 5,

• dokładnie jedna z pozostałych cyfr to 2,

• dokładnie jedna z pozostałych cyfr to 4,

• wszystkie pozostałe cyfry są zerami?

Pokaż rozwiązanie

Pierwsza cyfra jest już ustalona:

5 _ _ _ _ _ _ _

Zostaje 7 miejsc.

Cyfrę 2 możemy wstawić na jedno z 7 miejsc.

Po wybraniu miejsca dla 2 zostaje 6 wolnych miejsc, więc cyfrę 4 możemy wstawić na 6 sposobów.

7 · 6 = 42
Takich liczb jest 42.

Zadanie 5

W restauracji można wybrać:

• 5 różnych zup,

• 8 różnych drugich dań,

• 6 różnych deserów.

Ile różnych zestawów obiadowych można utworzyć, jeżeli zestaw składa się z jednej zupy, jednego drugiego dania i jednego deseru?

Pokaż rozwiązanie

Wybieramy kolejno:

zupę → drugie danie → deser.

5 · 8 · 6 = 240
Można utworzyć 240 różnych zestawów.

Zadanie 6

Pani ma:

• 3 kapelusze,

• 6 sukienek,

• 4 pary butów.

Na ile sposobów może się ubrać, jeżeli wybiera jeden kapelusz, jedną sukienkę i jedną parę butów?

Pokaż rozwiązanie
3 · 6 · 4 = 72
Może się ubrać na 72 sposoby.

Zadanie 7

Rzucamy zieloną i żółtą kostką.

Na zielonej kostce ma wypaść liczba parzysta, a na żółtej liczba mniejsza od 4.

Ile jest możliwych wyników?

Pokaż rozwiązanie

Na zielonej kostce liczby parzyste to:

2, 4, 6

czyli 3 możliwości.

Na żółtej kostce liczby mniejsze od 4 to:

1, 2, 3

czyli również 3 możliwości.

3 · 3 = 9
Możliwych wyników jest 9.

Zadanie 8

Trzykrotnie rzucamy monetą. Ile różnych wyników całego doświadczenia możemy otrzymać?

Pokaż rozwiązanie

W każdym rzucie mamy 2 możliwości:

orzeł lub reszka.

Rzuty są trzy:

2 · 2 · 2 = 8

Możliwe wyniki to:

OOO, OOR, ORO, ORR, ROO, ROR, RRO, RRR
Możemy otrzymać 8 różnych wyników.

Dodatkowe zadania – poziom sprawdzianu

Spróbuj najpierw rozwiązać zadanie samodzielnie. Potem kliknij „Pokaż rozwiązanie krok po kroku” i porównaj swój sposób z wyjaśnieniem.

Zadanie 9

Ze zbioru A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {6, 7, 8, 9} losujemy po jednej cyfrze i tworzymy liczby dwucyfrowe. Cyfra ze zbioru A jest cyfrą dziesiątek, a cyfra ze zbioru B cyfrą jedności.
a) Ile jest wszystkich takich liczb?
b) Ile z nich jest parzystych?
c) Ile jest liczb nieparzystych mniejszych od 35?

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

a) Cyfra dziesiątek: 5 możliwości; cyfra jedności: 4 możliwości.

5 · 4 = 20

b) Liczba jest parzysta, gdy kończy się cyfrą parzystą. Ze zbioru B pasują 6 i 8, czyli 2 możliwości. Cyfrę dziesiątek nadal wybieramy na 5 sposobów.

5 · 2 = 10

c) Liczba ma być nieparzysta, więc kończy się na 7 albo 9. Musi też być mniejsza od 35, więc cyfra dziesiątek może wynosić tylko 1 albo 2. Dostajemy: 17, 19, 27, 29.

2 · 2 = 4

Odpowiedź: a) 20; b) 10; c) 4.

Zadanie 10

Voucher do SPA obejmuje zabieg na twarz, peeling całego ciała i masaż. W ofercie SPA do wyboru są 3 różne zabiegi na twarz, 4 peelingi oraz 6 masaży. Oblicz, ile voucherów można przygotować.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Najpierw wybieramy jeden z 3 zabiegów na twarz.

Krok 2. Do każdego z nich możemy dobrać jeden z 4 peelingów.

Krok 3. Do każdej takiej pary dobieramy jeden z 6 masaży.

3 · 4 · 6 = 72

Odpowiedź: Można przygotować 72 różne vouchery.

Zadanie 11

Nauczyciel przygotował 10 zadań zamkniętych, 3 zadania otwarte krótkiej odpowiedzi i 6 zadań otwartych rozszerzonej odpowiedzi. Na kartkówkę wybiera po jednym zadaniu każdego typu. Ile możliwych kartkówek może przygotować?

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Zadanie zamknięte wybieramy na 10 sposobów.

Krok 2. Zadanie otwarte krótkiej odpowiedzi wybieramy na 3 sposoby.

Krok 3. Zadanie rozszerzonej odpowiedzi wybieramy na 6 sposobów.

10 · 3 · 6 = 180

Odpowiedź: Można przygotować 180 różnych zestawów zadań.

Zadanie 12

Oblicz, ile jest liczb czterocyfrowych, których cyfra tysięcy jest parzysta, a cyfra jedności jest o 2 większa od cyfry setek.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Zapisujemy liczbę jako abcd, gdzie a oznacza cyfrę tysięcy, b setek, c dziesiątek, a d jedności.

Krok 1. Cyfra tysięcy musi być parzysta i różna od zera. Możemy wybrać: 2, 4, 6 lub 8 — 4 możliwości.

Krok 2. Cyfrę setek wybieramy spośród 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 — 8 możliwości. Dlaczego tylko do 7? Bo cyfra jedności ma być o 2 większa i nie może przekroczyć 9.

Krok 3. Cyfra dziesiątek może być dowolna od 0 do 9 — 10 możliwości.

Krok 4. Cyfra jedności jest już wyznaczona przez cyfrę setek: d = b + 2. Mamy 1 możliwość.

4 · 8 · 10 · 1 = 320

Odpowiedź: Istnieje 320 takich liczb.

Zadanie 13

Oblicz, ile jest liczb parzystych pięciocyfrowych, których cyfra tysięcy jest 2 razy większa od cyfry setek.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Zapisujemy liczbę jako abcde. Pamiętamy, że pierwsza cyfra nie może być zerem, a ostatnia musi być parzysta.

Krok 1. Pierwszą cyfrę (a) możemy wybrać spośród 1–9 — 9 możliwości.

Krok 2. Cyfra setek (c) może wynosić 0, 1, 2, 3 albo 4 — 5 możliwości. Wtedy cyfra tysięcy (b = 2c) wynosi odpowiednio 0, 2, 4, 6 albo 8.

Krok 3. Cyfra dziesiątek (d) może być dowolna od 0 do 9 — 10 możliwości.

Krok 4. Cyfra jedności (e) musi być parzysta: 0, 2, 4, 6 lub 8 — 5 możliwości.

9 · 5 · 10 · 5 = 2250

Odpowiedź: Istnieje 2250 takich liczb.

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?

Umów bezpłatną lekcję próbną — wytłumaczę Ci wszystko krok po kroku.

Umów lekcję próbną