Reguła mnożenia służy do liczenia, ile jest wszystkich możliwych wyników, gdy wybór składa się z kilku kolejnych etapów.
Mamy 3 bluzki i 2 pary spodni.
Do każdej z 3 bluzek możemy dobrać jedną z 2 par spodni.
Czyli możemy stworzyć 6 różnych zestawów.
Reguła mnożenia
Jeżeli wybór składa się z kilku kolejnych decyzji i:
• pierwszą możemy podjąć na k₁ sposobów,
• drugą na k₂ sposobów,
• trzecią na k₃ sposobów itd.,
to wszystkich możliwości jest:
Jak rozpoznać, że trzeba mnożyć?
Pomyśl: „Ile możliwości mam na pierwszym etapie, ile na drugim, ile na trzecim?”
Jeżeli jeden wynik powstaje przez wykonanie kilku kolejnych wyborów, to zwykle te liczby mnożymy.
Dwie kostki
Rzucamy niebieską i czerwoną kostką.
Na niebieskiej kostce może wypaść:
czyli mamy 6 możliwości.
Na czerwonej kostce również mamy 6 możliwości.
Możliwych wyników jest więc 36.
Ważne: rozróżniamy kostki.
Wynik:
jest innym wynikiem niż:
Kody z liter i cyfr
Kod składa się z jednej litery i jednej cyfry.
Mamy:
• 26 liter,
• 10 cyfr: od 0 do 9.
26
10
Możemy utworzyć 260 kodów.
Dłuższe kody
Jeżeli kod ma kilka znaków, każdy znak traktujemy jako osobny etap wyboru.
Kod składa się z:
• 2 liter, przy czym używamy tylko liter A i B,
• 3 cyfr, przy czym używamy cyfr 1, 3, 8, 9.
Znaki mogą się powtarzać.
„Znaki mogą się powtarzać”
Oznacza to, że po użyciu np. litery A nadal możemy użyć A ponownie.
Dlatego liczba możliwości na kolejnych miejscach się nie zmniejsza.
Punkty w układzie współrzędnych
Pierwsza współrzędna punktu należy do zbioru:
czyli x możemy wybrać na 5 sposobów.
Druga współrzędna należy do zbioru:
czyli y możemy wybrać na 3 sposoby.
Takich punktów jest 15.
Gdy na każdym etapie mamy inne ograniczenie
Rzucamy zieloną i żółtą kostką.
Na zielonej kostce ma wypaść liczba parzysta:
czyli 3 możliwości.
Na żółtej kostce ma wypaść liczba mniejsza od 4:
czyli również 3 możliwości.
Takich wyników jest 9.
Drzewko możliwości
Czasem zamiast od razu mnożyć, można narysować drzewko. Pomaga ono zobaczyć wszystkie możliwe wyniki.
Rzucamy kostką i monetą.
Kostka ma 6 wyników, a moneta 2:
Każda z 6 gałęzi po rzucie kostką rozdziela się jeszcze na 2 możliwości po rzucie monetą.
Najważniejsze na ten temat:
1. Rozbij wybór na kolejne etapy.
2. Policz, ile możliwości jest na każdym etapie.
3. Pomnóż te liczby.
Zadania
Zadanie 1
Ile jest wszystkich par (x,y), jeśli:
oraz:
Pokaż rozwiązanie
Pierwszą współrzędną x wybieramy na 5 sposobów.
Drugą współrzędną y wybieramy na 7 sposobów.
Zadanie 2
Kod składa się z dwóch liter, a następnie dwóch cyfr.
Do dyspozycji mamy:
• litery A, B, C, D, E, F, G, H,
• cyfry 1, 2, 3, 4, 5.
Litery i cyfry mogą się powtarzać. Ile różnych kodów można utworzyć?
Pokaż rozwiązanie
Na pierwszą literę mamy 8 możliwości.
Na drugą literę również 8.
Na każdą cyfrę mamy po 5 możliwości.
Zadanie 3
Kod ma trzy litery, a następnie cztery cyfry.
Używamy tylko liter A, B, C oraz cyfr 1, 2, 3, 4. Znaki mogą się powtarzać.
Ile takich kodów można utworzyć?
Pokaż rozwiązanie
Każde z trzech miejsc na literę ma po 3 możliwości.
Każde z czterech miejsc na cyfrę ma po 4 możliwości.
Zadanie 4
Ile jest liczb ośmiocyfrowych takich, że:
• pierwszą cyfrą jest 5,
• dokładnie jedna z pozostałych cyfr to 2,
• dokładnie jedna z pozostałych cyfr to 4,
• wszystkie pozostałe cyfry są zerami?
Pokaż rozwiązanie
Pierwsza cyfra jest już ustalona:
Zostaje 7 miejsc.
Cyfrę 2 możemy wstawić na jedno z 7 miejsc.
Po wybraniu miejsca dla 2 zostaje 6 wolnych miejsc, więc cyfrę 4 możemy wstawić na 6 sposobów.
Zadanie 5
W restauracji można wybrać:
• 5 różnych zup,
• 8 różnych drugich dań,
• 6 różnych deserów.
Ile różnych zestawów obiadowych można utworzyć, jeżeli zestaw składa się z jednej zupy, jednego drugiego dania i jednego deseru?
Pokaż rozwiązanie
Wybieramy kolejno:
zupę → drugie danie → deser.
Zadanie 6
Pani ma:
• 3 kapelusze,
• 6 sukienek,
• 4 pary butów.
Na ile sposobów może się ubrać, jeżeli wybiera jeden kapelusz, jedną sukienkę i jedną parę butów?
Pokaż rozwiązanie
Zadanie 7
Rzucamy zieloną i żółtą kostką.
Na zielonej kostce ma wypaść liczba parzysta, a na żółtej liczba mniejsza od 4.
Ile jest możliwych wyników?
Pokaż rozwiązanie
Na zielonej kostce liczby parzyste to:
czyli 3 możliwości.
Na żółtej kostce liczby mniejsze od 4 to:
czyli również 3 możliwości.
Zadanie 8
Trzykrotnie rzucamy monetą. Ile różnych wyników całego doświadczenia możemy otrzymać?
Pokaż rozwiązanie
W każdym rzucie mamy 2 możliwości:
Rzuty są trzy:
Możliwe wyniki to: