Reguła dodawania przydaje się wtedy, gdy zadanie możemy podzielić na kilka różnych przypadków.
Liczymy osobno, ile wyników daje każdy przypadek, a potem je dodajemy.
Najprościej zapamiętać:
Reguła mnożenia pojawia się zwykle przy słowie:
czyli wykonujemy jeden wybór i potem kolejny.
Reguła dodawania pojawia się zwykle przy słowie:
czyli wynik może należeć do jednego przypadku albo do drugiego.
Na czym polega reguła dodawania?
Załóżmy, że pewne wyniki możemy podzielić na dwa przypadki:
• przypadek A daje 12 możliwości,
• przypadek B daje 7 możliwości.
Jeżeli żaden wynik nie należy jednocześnie do A i B, to wszystkich możliwości jest:
Reguła dodawania
Jeżeli przypadki nie nakładają się na siebie, to:
Bardzo ważne
Nie możemy bezmyślnie dodawać dwóch przypadków, jeżeli jakiś wynik został policzony w obu.
Najbezpieczniej podzielić zadanie na takie przypadki, które nie mogą wydarzyć się jednocześnie.
Na przykład liczba nie może kończyć się jednocześnie cyfrą 0 i cyfrą 5. Takie dwa przypadki możemy spokojnie policzyć osobno i dodać.
Przykład: liczby podzielne przez 5
Z cyfr:
tworzymy czterocyfrowe liczby o różnych cyfrach.
Ile z nich jest podzielnych przez 5?
Liczba podzielna przez 5 musi kończyć się:
Dzielimy więc zadanie na dwa rozłączne przypadki.
Ostatnia cyfra jest już ustalona.
Pierwszą cyfrę wybieramy spośród 7 cyfr różnych od 0.
Potem zostaje kolejno 6 i 5 możliwości.
Pierwsza cyfra nie może być ani 0, ani 5.
Mamy więc 6 możliwości.
Na drugą cyfrę zostaje 6 możliwości, a na trzecią 5.
Liczba kończy się albo na 0, albo na 5, więc dodajemy:
Przykład: liczby większe od ustalonej liczby
Tworzymy pięciocyfrowe liczby za pomocą cyfr:
Cyfry mogą się powtarzać.
Ile z tych liczb jest większych od:
Rozpatrujemy przypadki.
Każda taka liczba jest większa od 55 300.
Pozostałe cztery miejsca mają po 6 możliwości.
Taka liczba również zawsze jest większa od 55 300.
Zostają trzy dowolne cyfry:
Musimy otrzymać liczbę większą od 55 300.
Trzecia cyfra może więc być:
czyli mamy 3 możliwości.
Dwie ostatnie cyfry są dowolne:
Przypadki są rozłączne, dlatego:
„Co najmniej raz” – czasem łatwiej odjąć
Tworzymy sześciocyfrowe kody za pomocą cyfr:
Cyfry mogą się powtarzać.
Ile kodów zawiera co najmniej jedną cyfrę 3?
Można próbować liczyć osobno: jedna trójka, dwie trójki, trzy trójki itd.
Ale dużo łatwiej policzyć:
Wszystkich kodów:
Jeżeli nie może wystąpić 3, na każdym miejscu mamy tylko:
czyli:
Zatem:
Przydatny sposób
Jeżeli w zadaniu widzisz:
„co najmniej jeden”,
często najłatwiej policzyć:
Przykład: wybór w jednym z dwóch sklepów
Chcemy kupić stół i 4 krzesła w jednym sklepie.
Sklep A oferuje:
• 4 rodzaje stołów,
• 7 rodzajów krzeseł.
Sklep B oferuje:
• 6 rodzajów stołów,
• 5 rodzajów krzeseł.
W sklepie A mamy:
możliwych zestawów.
W sklepie B:
Kupujemy wszystko albo w sklepie A, albo w sklepie B.
Mnożenie i dodawanie w jednym zadaniu
W trudniejszych zadaniach obie reguły często występują jednocześnie.
Dobra kolejność myślenia:
1. Podziel zadanie na rozłączne przypadki.
2. W każdym przypadku użyj reguły mnożenia, jeżeli masz kilka kolejnych wyborów.
3. Na końcu dodaj wyniki przypadków.
Zadania
Zadanie 1
Z cyfr:
tworzymy czterocyfrowe liczby o różnych cyfrach.
Ile z nich jest parzystych?
Pokaż rozwiązanie
Liczba parzysta kończy się cyfrą:
Wygodnie rozdzielić przypadek z zerem od pozostałych cyfr parzystych.
Przypadek 1: ostatnia cyfra to 0.
Pierwszą cyfrę wybieramy na 7 sposobów.
Następne dwie na 6 i 5 sposobów.
Przypadek 2: ostatnia cyfra to 2, 4, 6 lub 8.
Na ostatnią cyfrę mamy 4 możliwości.
Po jej wyborze pozostaje 7 cyfr, ale na początku nie możemy użyć 0.
Na pierwszą cyfrę mamy więc 6 możliwości.
Potem zostaje 6 i 5 możliwości.
Dodajemy:
Zadanie 2
Rzucamy dwiema różnymi kostkami.
Na pierwszej otrzymujemy x oczek, a na drugiej y oczek.
Ile wyników spełnia warunek:
Pokaż rozwiązanie
Przypadek 1: x = y.
Możliwe wyniki:
Mamy 6 wyników.
Przypadek 2: x ≥ y + 3.
Dla y = 1: x może być 4, 5, 6 → 3 wyniki.
Dla y = 2: x może być 5, 6 → 2 wyniki.
Dla y = 3: x może być 6 → 1 wynik.
Dla większych y nie ma możliwości.
Oba przypadki nie nakładają się.
Zadanie 3
Ile jest liczb naturalnych zapisanych wyłącznie cyframi 0 i 1, które mają co najwyżej 6 cyfr?
Pokaż rozwiązanie
Liczba nie może zaczynać się od 0, więc pierwszą cyfrą zawsze jest 1.
Jednocyfrowe:
Dwucyfrowe:
Trzycyfrowe:
Analogicznie:
Zadanie 4
Z cyfr:
tworzymy pięciocyfrowe liczby bez powtarzania cyfr.
Ile z nich jest większych od 65 000?
Pokaż rozwiązanie
Rozpatrujemy dwa przypadki.
Przypadek 1: pierwszą cyfrą jest 7.
Pozostałe 4 miejsca uzupełniamy cyframi spośród pozostałych sześciu:
Przypadek 2: pierwszą cyfrą jest 6.
Aby liczba była większa od 65 000, druga cyfra musi być:
bo 65… wymagałoby dalszego analizowania, ale przy różnych cyfrach druga cyfra 5 daje liczby 65…, z których część może być większa od 65 000.
Musimy więc rozdzielić ten przypadek jeszcze raz.
2a. Początek 67:
2b. Początek 65:
Każda liczba 65XYZ utworzona z dodatnich cyfr jest większa od 65 000.
Dodajemy:
Zadanie 5
Sklep A oferuje 5 rodzajów biurek i 4 rodzaje krzeseł.
Sklep B oferuje 3 rodzaje biurek i 8 rodzajów krzeseł.
Chcemy kupić biurko i krzesło, ale oba produkty muszą pochodzić z tego samego sklepu.
Ile mamy możliwości?
Pokaż rozwiązanie
W sklepie A:
W sklepie B:
Kupujemy albo w A, albo w B:
Zadanie 6
Tworzymy siedmioznakowe kody z liter:
Litery mogą się powtarzać.
Ile kodów zawiera co najmniej jedną literę A?
Pokaż rozwiązanie
Łatwiej policzyć wszystkie kody, a następnie odjąć te bez litery A.
Wszystkich kodów:
Bez A korzystamy tylko z 4 liter:
Zatem:
Zadanie 7
Z talii 24 kart wybieramy po jednej karcie:
• jednego pika,
• jednego kiera,
• jednego karo.
W każdym kolorze znajdują się karty:
Ile jest wyborów, w których nie otrzymamy trzech królów ani trzech dam?
Pokaż rozwiązanie
Bez ograniczeń każdą z trzech kart możemy wybrać na 6 sposobów:
Niedozwolony jest jeden wybór:
oraz jeden wybór:
Zatem:
Zadanie 8
Korzystamy z talii 24 kart, w której występują po 4 karty każdego rodzaju:
w czterech różnych kolorach.
a) Z talii wybieramy 5 kart. Wśród nich mają znajdować się cztery asy. Ile jest możliwych takich wyborów?
b) Z talii wybieramy 6 kart. Wśród nich mają znajdować się cztery asy, a pozostałe dwie karty mają być:
• królem i damą albo
• damą i waletem.
Ile jest możliwych takich wyborów?
Pokaż rozwiązanie
a) Cztery asy i jeszcze jedna karta
W talii są dokładnie 4 asy.
Skoro w naszym pięciokartowym zestawie mają znaleźć się cztery asy, to nie mamy tutaj żadnego wyboru: musimy wziąć wszystkie cztery.
Mamy więc już 4 karty. Potrzebujemy jeszcze jednej.
Cała talia ma 24 karty, z czego 4 to asy. Kart niebędących asami jest więc:
Piątą kartę możemy wybrać na 20 sposobów.
b) Cztery asy oraz dwie dodatkowe karty
Tak samo jak wcześniej, cztery asy są już ustalone.
Musimy więc policzyć tylko możliwości wyboru dwóch pozostałych kart.
Z treści zadania wynika, że mamy dwa różne przypadki:
W talii są 4 króle.
Jednego króla możemy więc wybrać na:
W talii są również 4 damy. Jedną damę możemy wybrać na:
Wybieramy króla i damę, więc stosujemy regułę mnożenia:
Mamy 16 możliwości.
Jedną z 4 dam możemy wybrać na:
Jednego z 4 waletów możemy wybrać na:
Wybieramy damę i waleta, więc znowu stosujemy regułę mnożenia:
Ten przypadek również daje 16 możliwości.
Teraz najważniejszy moment.
Pozostałe dwie karty mają być:
Są to dwa różne przypadki i żaden wybór nie należy do obu jednocześnie. Dlatego korzystamy z reguły dodawania:
Co tutaj warto zauważyć?
W jednym zadaniu użyliśmy obu poznanych reguł:
król i dama → mnożymy:
król i dama albo dama i walet → dodajemy:
Czyli:
„i” → często mnożenie
„albo” → często dodawanie
Dodatkowe zadania – poziom sprawdzianu
Zadanie 9
Rozpatrujemy wszystkie liczby sześciocyfrowe o niepowtarzających się cyfrach.
a) Ile jest takich liczb?
b) Ile jest takich liczb większych od 650 000?
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
a) Pierwszą cyfrę wybieramy spośród 1–9 (9 możliwości). Drugą spośród dziewięciu pozostałych cyfr, także z zerem (9 możliwości). Kolejne wybieramy na 8, 7, 6 i 5 sposobów.
b) Liczba musi być większa od 650 000. Rozdzielamy na trzy rozłączne przypadki:
Przypadek 1: początek 7, 8 lub 9. Pierwsza cyfra: 3 możliwości. Pozostałe pięć miejsc: 9, 8, 7, 6 i 5 możliwości.
Przypadek 2: pierwsza cyfra 6, druga 7, 8 lub 9. Druga cyfra: 3 możliwości; pozostałe cztery miejsca: 8, 7, 6 i 5.
Przypadek 3: liczba zaczyna się od 65. Dalsze cztery cyfry wybieramy bez powtórzeń spośród pozostałych 8 cyfr: 8, 7, 6 i 5 możliwości. Każda taka liczba jest większa od 650 000, ponieważ różne cyfry na końcu nie mogą tworzyć ciągu 0000.
Dodajemy trzy przypadki:
Odpowiedź: a) 136 080; b) 52 080.
Zadanie 10
Oblicz, ile jest różnych liczb trzycyfrowych, których suma cyfr jest równa 24.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Suma trzech cyfr ma wynosić 24. Każda cyfra może być najwyżej równa 9, dlatego cyfra setek musi wynosić co najmniej 6.
Setki = 6: pozostałe cyfry sumują się do 18: (9,9) — 1 możliwość.
Setki = 7: suma pozostałych 17: (8,9), (9,8) — 2 możliwości.
Setki = 8: suma pozostałych 16: (7,9), (8,8), (9,7) — 3 możliwości.
Setki = 9: suma pozostałych 15: (6,9), (7,8), (8,7), (9,6) — 4 możliwości.
W każdej parze pierwsza cyfra oznacza dziesiątki, druga jedności, więc odwrócone pary tworzą inne liczby.
Odpowiedź: 10 liczb.
Zadanie 11
Oblicz, ile jest różnych liczb trzycyfrowych, których suma cyfr jest równa 23.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Cyfra setek musi wynosić co najmniej 5, bo 4 + 9 + 9 = 22, a potrzebujemy 23.
Setki = 5: pozostałe cyfry: (9,9) — 1 możliwość.
Setki = 6: (8,9), (9,8) — 2 możliwości.
Setki = 7: (7,9), (8,8), (9,7) — 3 możliwości.
Setki = 8: (6,9), (7,8), (8,7), (9,6) — 4 możliwości.
Setki = 9: (5,9), (6,8), (7,7), (8,6), (9,5) — 5 możliwości.
Odpowiedź: 15 liczb.
Zadanie 12
Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz, ile jest możliwości wylosowania dwóch liczb, których iloczyn jest parzysty.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Iloczyn dwóch liczb jest parzysty, jeśli co najmniej jedna jest parzysta. Najłatwiej policzyć wszystkie uporządkowane wyniki i odjąć te, w których obie liczby są nieparzyste.
Krok 1. Pierwszą liczbę losujemy na 12 sposobów, drugą na 11 sposobów (bez zwracania), więc wszystkich wyników jest 12 · 11 = 132.
Krok 2. W zbiorze jest sześć liczb nieparzystych: 1, 3, 5, 7, 9, 11. Dwa losowania liczb nieparzystych można wykonać na 6 · 5 = 30 sposobów.
Krok 3. Odejmujemy niepożądane wyniki.
Dlaczego nie 51? Kolejność losowania jest tu uwzględniana, więc np. (2,3) i (3,2) są różnymi wynikami. Przy nieuporządkowanych parach byłoby 51.
Odpowiedź: 102 wyniki losowań z uwzględnieniem kolejności.
Zadanie 13
Ile jest wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie cyfra 2 występuje co najwyżej raz?
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
„Co najwyżej raz” oznacza zero razy albo dokładnie jeden raz. Rozdzielamy te dwa przypadki.
Przypadek 1: brak cyfry 2. Setki: 8 możliwości (1–9 bez 2). Dziesiątki i jedności: po 9 możliwości (0–9 bez 2).
Przypadek 2: cyfra 2 występuje dokładnie raz. Rozpatrujemy jej pozycję:
• na setkach: pozostałe dwie cyfry różne od 2 — 1 · 9 · 9 = 81;
• na dziesiątkach: setki spośród 1–9 bez 2, jedności spośród 0–9 bez 2 — 8 · 1 · 9 = 72;
• na jednościach: 8 · 9 · 1 = 72.
Dodajemy oba rozłączne przypadki:
Odpowiedź: 873 liczby.