Zadanie 1
Dwukrotnie rzucamy uczciwą kostką. Rozważamy:
- A: oba wyniki są jednakowe,
- B: pierwszy wynik jest nie większy od drugiego,
- C: suma oczek przekracza 7,
- D: przynajmniej raz wypadła jedynka.
Wybierz parę zdarzeń, które nie mogą zajść równocześnie.
A. B i C B. C i D C. B i D D. A i B
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zdarzenia wykluczające się nie mają wspólnego wyniku. Jeśli zachodzi jedno, drugie nie może zajść w tym samym doświadczeniu.
Krok 2. Zdarzenie D oznacza, że jedna z liczb to 1. Druga może wynosić najwyżej 6. Największa możliwa suma jest więc równa 1 + 6 = 7.
Krok 3. Zdarzenie C wymaga sumy większej niż 7. Warunek ten nie może być spełniony przy jedynce.
Pozostałe pary mogą zajść jednocześnie, np. dla wyników (4, 5) zachodzą B i C, a dla (1, 2) zachodzą B i D.
Odpowiedź: B — zdarzenia C i D
Zadanie 2
Losujemy jedną liczbę ze zbioru {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Zdarzenie A oznacza wylosowanie liczby parzystej, a B — liczby co najmniej 12. Jakie liczby opisuje zdarzenie A ∩ B?
A. 8 lub 10 B. tylko 12 C. 12 lub 14 D. tylko 14
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wypisz wyniki sprzyjające zdarzeniu A: 8, 10, 12, 14.
Krok 2. Wypisz wyniki sprzyjające B: 12, 13, 14.
Krok 3. Część wspólna to liczby, które znajdują się na obu listach.
Spójnik „i” w opisie części wspólnej oznacza, że oba warunki muszą być spełnione równocześnie.
Odpowiedź: C — 12 lub 14
Zadanie 3
Wiadomo, że prawdopodobieństwo dopełnienia zdarzenia B wynosi 0,75, prawdopodobieństwo części wspólnej A i B to 0,2, a prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i B jest równe 0,(3). Oblicz P(A′).
A. 14 B. 1760 C. 4360 D. 34
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Korzystamy z tego, że prawdopodobieństwo zdarzenia i jego dopełnienia sumuje się do 1.
Krok 2. Zastosuj wzór na sumę dwóch zdarzeń:
Krok 3. Pytanie dotyczy dopełnienia A, więc odejmujemy znalezioną wartość od 1.
Uwaga: 0,(3) to ułamek okresowy równy jednej trzeciej, a nie dokładnie 0,3.
Odpowiedź: C — 4360
Zadanie 4
Dwie klasy głosują, czy pojechać do Gdańska, czy do Zakopanego. Wyniki głosowania przedstawia tabela.
| Gdańsk | Zakopane | |
|---|---|---|
| Dziewczęta | 7 | 8 |
| Chłopcy | 10 | 5 |
Wyznacz prawdopodobieństwa: a) losowo wybrana dziewczynka wskazała Zakopane; b) losowo wybrany uczeń nie wskazał Gdańska.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Policz dziewczęta oraz wszystkich głosujących.
a) Wybieramy spośród samych dziewcząt. Wyjazd do Zakopanego wybrało 8 spośród 15 dziewcząt.
b) Losujemy spośród wszystkich 30 uczniów. Do Gdańska nie chce jechać 8 dziewcząt i 5 chłopców, czyli 13 osób.
W podpunkcie a) nie dzielimy przez 30, ponieważ losujemy tylko dziewczynkę — ograniczamy zbiór możliwych osób.
Odpowiedź: a) 815 b) 1330
Zadanie 5
W cukierni można kupić ciastko za 5 zł, 6 zł, 7 zł, 8 zł albo 9 zł oraz kawę za 9 zł, 12 zł albo 13 zł. Losowo wybieramy jedno ciastko i jedną kawę. Wszystkie zestawy są jednakowo prawdopodobne.
Oblicz prawdopodobieństwo, że za wybrany zestaw zapłacimy więcej niż 20 zł.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Policz wszystkie zestawy. Mamy 5 rodzajów ciastek różniących się ceną oraz 3 kawy.
Krok 2. Znajdź zestawy droższe niż 20 zł.
| Kawa | Ciastko | Łączny koszt |
|---|---|---|
| 12 zł | 9 zł | 21 zł |
| 13 zł | 8 zł | 21 zł |
| 13 zł | 9 zł | 22 zł |
Przy kawie za 9 zł nie uzyskamy kwoty przekraczającej 20 zł. Łącznie są zatem 3 korzystne zestawy.
Krok 3. Oblicz prawdopodobieństwo.
Kwota dokładnie 20 zł nie jest liczona, ponieważ w zadaniu jest napisane „więcej niż 20 zł”.
Odpowiedź: 15
Zadanie 6
Na sześciu ściankach kostki zapisano liczby 1, 4, 7, 10, 13, 16, a na obu stronach monety liczby 8 i 9. Jednocześnie rzucamy kostką i monetą. Wyniki na każdej z nich są jednakowo prawdopodobne.
Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb nie będzie podzielna przez 3.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Kostka daje 6 możliwych liczb, a moneta 2. Zatem liczba wszystkich jednakowo prawdopodobnych wyników to:
Krok 2. Każda liczba na kostce daje resztę 1 z dzielenia przez 3. Wartość 8 z monety daje resztę 2, a wartość 9 — resztę 0.
Krok 3. Gdy moneta wskaże 8, suma ma resztę 1 + 2 = 3, a więc jest podzielna przez 3. Gdy wskaże 9, suma daje resztę 1 i nie jest podzielna przez 3.
Dla każdego z sześciu wyników na kostce istnieje dokładnie jeden korzystny wynik na monecie.
Odpowiedź: 12
Zadanie 7
Rzucamy dwiema niezależnymi kostkami: zieloną i czerwoną. Kostki są niesymetryczne — poszczególne wyniki nie są jednakowo prawdopodobne. Poniższe tabele przedstawiają prawdopodobieństwa wyrzucenia każdej liczby oczek.
| Liczba oczek | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Prawdopodobieństwo | 120 | 110 | 18 | 14 | 740 | 310 |
| Liczba oczek | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Prawdopodobieństwo | 130 | 115 | 110 | 16 | 15 | 1330 |
Którą kostką mamy większą szansę wyrzucić parzystą liczbę oczek?
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Ustal sprzyjające wyniki. Parzyste liczby na kostkach to 2, 4 i 6. Każde prawdopodobieństwo odczytujemy bezpośrednio z tabeli.
Krok 2. Oblicz prawdopodobieństwo dla zielonej kostki. Dodajemy trzy prawdopodobieństwa:
Krok 3. Oblicz prawdopodobieństwo dla czerwonej kostki.
Krok 4. Porównaj wyniki. Sprowadzamy oba ułamki do wspólnego mianownika 60:
Większe prawdopodobieństwo uzyskania parzystej liczby oczek występuje na czerwonej kostce.
Odpowiedź: Czerwoną kostką, ponieważ 23 > 1320