Przesunięcie równoległe wzdłuż osi OY

W poprzednim temacie przesuwaliśmy wykresy w prawo i w lewo. Teraz będziemy przesuwać je w górę i w dół, czyli wzdłuż osi OY.

Przesunięcie wzdłuż osi OY

Jeżeli przesuwamy wykres tylko w górę lub w dół, wektor przesunięcia ma postać:

u = [0, q]

Pierwsza współrzędna jest równa 0, ponieważ wykres nie przesuwa się ani w prawo, ani w lewo.

Jeżeli wykres:

y = f(x)

przesuwamy o wektor:

[0,q],

to otrzymujemy:

g(x) = f(x) + q
W górę o q
[0,q]
f(x) + q

Do wartości funkcji dodajemy q.

W dół o q
[0,−q]
f(x) − q

Od wartości funkcji odejmujemy q.

Zapamiętaj:

W GÓRĘ → PLUS
W DÓŁ → MINUS

Co się zmienia?

Przy przesunięciu wzdłuż osi OY x pozostaje taki sam.

Zmienia się tylko współrzędna y.

(x, f(x))   →   (x, f(x)+q)

Porównaj z osią OX:

Wzdłuż osi OX zmienialiśmy argument funkcji:

f(x−p).

Wzdłuż osi OY dodajemy liczbę do całej wartości funkcji:

f(x)+q.

Przesunięcie w górę

Przykład

Mamy:

f(x)=x².

Przesuwamy wykres o 3 jednostki w górę:

[0,3].

Zatem:

g(x)=x²+3
x y f(x)=x² g(x)=x²+3 3 w górę
Wierzchołek przesuwa się z (0,0) do (0,3).

Przesunięcie w dół

Przykład

Mamy:

f(x)=|x|.

Przesuwamy wykres o 2 jednostki w dół:

[0,−2].

Zatem:

g(x)=|x|−2
x y f(x)=|x| g(x)=|x|−2 2 w dół
Wierzchołek przesuwa się z (0,0) do (0,−2). Cały wykres przesuwa się dokładnie o tyle samo.

Czy zmienia się dziedzina?

Nie.

Przy przesunięciu wzdłuż osi OY nie przesuwamy punktów ani w prawo, ani w lewo.

Wartości x pozostają więc takie same, a tym samym dziedzina się nie zmienia.

Przykład

Mamy:

f(x)=√x

oraz:

Df=[0,+∞).

Przesuwamy wykres o 4 jednostki w górę:

g(x)=√x+4.
x y f(x)=√x g(x)=√x+4
Oba wykresy zaczynają się dla x=0. Zmieniła się ich wysokość, ale dziedzina pozostała taka sama.
Dg=[0,+∞)

Zapamiętaj:

Przesunięcie wzdłuż osi OY nie zmienia dziedziny funkcji.

Co dzieje się ze zbiorem wartości?

Zbiór wartości przesuwa się w górę albo w dół razem z wykresem.

Przykład

Mamy:

f(x)=x².

Najmniejszą wartością funkcji jest 0, więc:

Wf=[0,+∞).

Przesuwamy wykres o 3 jednostki w górę:

g(x)=x²+3.
x y 0 3 Wf=[0,+∞) Wg=[3,+∞)
Najmniejsza wartość zwiększyła się z 0 do 3, więc cały zbiór wartości przesunął się o 3 w górę.
Wg=[3,+∞)

Funkcja liniowa

Przykład

Dana jest funkcja:

f(x)=2x−1.

Przesuwamy wykres o wektor:

[0,5].

Dodajemy 5 do całej funkcji:

g(x)=f(x)+5
g(x)=2x−1+5
g(x)=2x+4

A jeśli znamy oba wzory i szukamy przesunięcia?

Przykład

Mamy:

f(x)=3x+2

oraz:

g(x)=3x−5.

Szukamy q:

g(x)=f(x)+q.
3x−5=3x+2+q
−5=2+q
q=−7.
Wykres przesunięto o 7 jednostek w dół,
czyli o wektor [0,−7].

Co dzieje się z miejscami zerowymi?

Przy przesunięciu pionowym miejsc zerowych nie przesuwamy po prostu o q.

Po zmianie wzoru musimy je wyznaczyć ponownie.

x y −2 2 f(x)=x² g(x)=x²−4
Po przesunięciu paraboli o 4 jednostki w dół wykres funkcji g przecina oś OX w punktach (−2,0) oraz (2,0).
Po przesunięciu paraboli w dół wykres przecina oś OX w punktach o współrzędnych x=−2 oraz x=2.

Liczymy:

x²−4=0
x²=4
x=−2    lub    x=2

Przesunięcie jednocześnie wzdłuż osi OX i OY

Możemy teraz połączyć oba poznane rodzaje przesunięć.

Jeżeli wykres:

y=f(x)

przesuwamy o wektor:

u=[p,q],

to otrzymujemy:

g(x)=f(x−p)+q

Najważniejszy wzór:

g(x)=f(x−p)+q

p odpowiada za przesunięcie wzdłuż osi OX.

q odpowiada za przesunięcie wzdłuż osi OY.

Uważaj na znaki:

Wartość p pojawia się wewnątrz argumentu z przeciwnym znakiem:

p → f(x−p).

Wartość q dopisujemy na zewnątrz ze swoim znakiem:

+q.
Przykład – jak narysować przesunięty wykres?

Mamy funkcję:

f(x)=−2x².

Jej wykres chcemy przesunąć o wektor:

u=[3,−2].

Oznacza to:

• 3 jednostki w prawo,

• 2 jednostki w dół.

Najpierw rysujemy funkcję podstawową

Zanim zaczniemy przesuwać wykres, najpierw rysujemy funkcję bez przesunięcia:

f(x)=−2x².

Wybieramy kilka prostych wartości x i tworzymy tabelę.

x −2 −1 0 1 2
f(x)=−2x² −8 −2 0 −2 −8

Z tabeli otrzymujemy punkty:

(−2,−8),   (−1,−2),   (0,0),   (1,−2),   (2,−8).

Zaznaczamy je w układzie współrzędnych i łączymy płynną linią. W ten sposób otrzymujemy wykres funkcji f(x)=−2x².

Teraz przesuwamy wykres

Mamy już zaznaczone punkty funkcji podstawowej. Każdy z nich przesuwamy:

3 kratki w prawo i 2 kratki w dół.

Nie musimy ponownie wykonywać obliczeń dla każdego punktu. Po prostu wykonujemy to samo przesunięcie dla wszystkich punktów wykresu.

x y −2 −1 0 1 2 3 4 5 [3,−2] f(x)=−2x² g(x)=−2(x−3)²−2
Niebieska parabola przechodzi dokładnie przez punkty wyznaczone z tabeli. Każdy z tych punktów przesuwamy o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w dół. Czerwona parabola przechodzi przez otrzymane w ten sposób punkty.
Najpierw zaznaczamy niebieskie punkty otrzymane z tabeli i rysujemy wykres funkcji podstawowej. Następnie każdy z tych punktów przesuwamy o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w dół. Czerwone punkty wyznaczają wykres po przesunięciu.

Na końcu zapisujemy wzór przesuniętej funkcji

Korzystamy z:

g(x)=f(x−p)+q.

W naszym przykładzie:

p=3,    q=−2.

Dlatego:

g(x)=f(x−3)−2.

Funkcja podstawowa ma wzór:

f(x)=−2x².

Zamiast x wpisujemy więc x−3:

g(x)=−2(x−3)²−2

Jak narysować funkcję po przesunięciu?

1. Najpierw rysujemy funkcję podstawową bez przesunięcia.

2. Tworzymy tabelę i wyznaczamy kilka charakterystycznych punktów.

3. Zaznaczamy je w układzie współrzędnych i rysujemy wykres.

4. Każdy zaznaczony punkt przesuwamy o podany wektor.

5. Przez przesunięte punkty prowadzimy taki sam kształt wykresu.

Zapamiętaj

Tylko OX:

[p,0]   →   f(x−p)

Tylko OY:

[0,q]   →   f(x)+q

OX i OY jednocześnie:

[p,q]   →   f(x−p)+q

Zadania

Zadanie 1

Dana jest funkcja:

f(x)=x².

Podaj wzór funkcji otrzymanej po przesunięciu:

a) o 4 jednostki w górę,

b) o 3 jednostki w dół.

Pokaż rozwiązanie

a)

g(x)=x²+4

b)

h(x)=x²−3
a) g(x)=x²+4
b) h(x)=x²−3

Zadanie 2

Dana jest:

f(x)=√x.

Przesuń jej wykres:

a) o [0,3],

b) o [0,−5].

Podaj wzory i dziedziny.

Pokaż rozwiązanie

a)

g(x)=√x+3
Dg=[0,+∞)

b)

h(x)=√x−5
Dh=[0,+∞)
Dziedzina nie zmieniła się w żadnym przypadku.

Zadanie 3

Dana jest funkcja:

f(x)=−2x+7.

Jej wykres przesunięto o:

[0,−4].

Podaj nowy wzór.

Pokaż rozwiązanie
g(x)=f(x)−4
g(x)=−2x+7−4
g(x)=−2x+3

Zadanie 4

Dane są:

f(x)=4x−3

oraz:

g(x)=4x+8.

Wyznacz wektor przesunięcia wzdłuż osi OY.

Pokaż rozwiązanie
g(x)=f(x)+q
4x+8=4x−3+q
q=11
Wektor: [0,11]

Zadanie 5

Dana jest:

f(x)=x².

Przesunięto ją o 9 jednostek w dół. Podaj nowy wzór i miejsca zerowe.

Pokaż rozwiązanie
g(x)=x²−9
x²−9=0
x²=9
x=−3   lub   x=3
g(x)=x²−9
Miejsca zerowe: −3 i 3

Zadanie 6

Funkcja f ma zbiór wartości:

Wf=[−2,5].

Wykres przesuwamy o:

[0,4].

Podaj nowy zbiór wartości.

Pokaż rozwiązanie

Każda wartość zwiększa się o 4:

−2+4=2
5+4=9
Wg=[2,9]

Zadanie 7

Dana jest funkcja:

f(x)=|x|.

Jej wykres przesunięto o wektor:

[2,−3].

Podaj wzór otrzymanej funkcji i narysuj jej wykres.

Pokaż rozwiązanie

Wektor [2,−3] oznacza:

• 2 w prawo,

• 3 w dół.

Przesunięcie w prawo:

|x| → |x−2|

Następnie 3 w dół:

g(x)=|x−2|−3

Najpierw rysujemy wykres funkcji podstawowej f(x)=|x|, a następnie przesuwamy jego charakterystyczne punkty o 2 w prawo i 3 w dół.

Wierzchołek przesuwa się:

(0,0) → (2,−3).
x y f(x)=|x| g(x)=|x−2|−3 (2,−3)
Najpierw rysujemy wykres funkcji podstawowej, a następnie przesuwamy go o podany wektor.
g(x)=|x−2|−3

Zadanie 8

Dana jest funkcja:

f(x)=x².

Przesuń jej wykres o wektor:

[−3,2].

Podaj wzór otrzymanej funkcji oraz współrzędne jej wierzchołka.

Pokaż rozwiązanie

−3 oznacza przesunięcie o 3 w lewo, więc wewnątrz wzoru pojawi się:

x+3.

2 oznacza przesunięcie o 2 w górę.

g(x)=(x+3)²+2

Wierzchołek przesuwa się:

(0,0) → (−3,2).
g(x)=(x+3)²+2
Wierzchołek: (−3,2)

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?

Umów bezpłatną lekcję próbną — wytłumaczę Ci wszystko krok po kroku.

Umów lekcję próbną