Przesunięcie równoległe oznacza, że każdy punkt przesuwamy dokładnie o ten sam wektor. Figura ani wykres nie zmienia swojego kształtu – zmienia tylko położenie.
Przesunięcie punktu o wektor
Jeżeli punkt:
przesuwamy o wektor:
to otrzymujemy punkt:
Punkt:
przesuwamy o wektor:
Dodajemy współrzędne wektora do współrzędnych punktu:
Przesunięcie wykresu wzdłuż osi OX
Teraz interesuje nas tylko przesuwanie wykresu w prawo albo w lewo.
Nie przesuwamy go w górę ani w dół, więc druga współrzędna wektora jest równa 0.
Jeżeli wykres funkcji:
przesuniemy o wektor:
otrzymujemy funkcję:
Uwaga na znak!
Przy przesunięciu wykresu wzdłuż osi OX znak we wzorze może wydawać się „odwrotny”.
Czyli we wzorze pojawia się minus.
Czyli we wzorze pojawia się plus.
Zapamiętaj:
To jedna z najważniejszych zasad w całym temacie.
Przesunięcie w prawo
Mamy funkcję:
Jej wykres przesuwamy o 3 jednostki w prawo.
Wektor przesunięcia:
Przy przesunięciu w prawo zastępujemy x przez:
Zatem:
Zmienia się również dziedzina.
Dla funkcji początkowej:
Po przesunięciu o 3 w prawo:
Przesunięcie w lewo
Ponownie mamy:
Tym razem przesuwamy wykres o 4 jednostki w lewo.
Wektor:
W przesunięciu w lewo we wzorze pojawia się plus:
Początek wykresu przesuwa się z 0 do −4, dlatego:
Co dzieje się z dziedziną?
Jeżeli cały wykres przesuwamy w prawo, to również jego dziedzina przesuwa się w prawo.
Jeżeli cały wykres przesuwamy w lewo, dziedzina przesuwa się w lewo.
Jak zmienia się wzór funkcji liniowej?
Dana jest funkcja:
Przesuwamy jej wykres o 5 jednostek w prawo.
Wektor:
W miejsce x wpisujemy x − 5:
Ważne:
Nie odejmujemy 5 od całej funkcji.
Przy przesunięciu wzdłuż osi OX zmieniamy argument funkcji:
A jeśli znamy oba wzory i szukamy przesunięcia?
Mamy:
oraz:
Szukamy liczby p takiej, że:
Podstawiamy x − p do wzoru funkcji f:
Ma to być równe:
Zatem:
czyli o wektor [6, 0].
Przesunięcie paraboli
Mamy:
Przesuwamy wykres o 3 jednostki w prawo.
Zatem:
Co jeszcze przesuwa się razem z wykresem?
Przy przesunięciu wzdłuż osi OX cały wykres przesuwa się jako całość.
O tę samą liczbę przesuwają się więc między innymi:
• miejsca zerowe,
• końce dziedziny,
• wierzchołki,
• punkty charakterystyczne wykresu.
Funkcja f ma miejsca zerowe:
Przesuwamy wykres o 4 jednostki w prawo.
Każde miejsce zerowe przesuwa się również o 4:
Nowe miejsca zerowe to:
Zapamiętaj
Przesunięcie o wektor [p,0]:
W prawo o p:
W lewo o p:
Najważniejsze: znak przy liczbie wewnątrz argumentu funkcji jest przeciwny do kierunku przesunięcia wykresu.
Zadania
Zadanie 1
Dana jest funkcja:
Podaj wzór oraz dziedzinę funkcji otrzymanej po przesunięciu wykresu:
a) o 2 jednostki w prawo,
b) o 5 jednostek w lewo.
Pokaż rozwiązanie
a) 2 jednostki w prawo
W prawo oznacza:
Zatem:
Wykres zaczynał się dla x = 0, a teraz zaczyna się dla x = 2.
b) 5 jednostek w lewo
W lewo oznacza:
Zatem:
b) h(x) = √(x + 5), Dh = [−5,+∞)
Zadanie 2
Dana jest funkcja:
Podaj wzór funkcji otrzymanej po przesunięciu wykresu:
a) o wektor [4,0],
b) o wektor [−3,0].
Pokaż rozwiązanie
a) [4,0]
Przesuwamy o 4 w prawo.
b) [−3,0]
Przesuwamy o 3 w lewo.
b) h(x) = (x + 3)² + 1
Zadanie 3
Dana jest funkcja:
Jej wykres przesunięto o wektor:
Podaj wzór otrzymanej funkcji.
Pokaż rozwiązanie
Wektor [7,0] oznacza przesunięcie o 7 w prawo.
W miejsce x wpisujemy x − 7:
Zadanie 4
Dana jest funkcja:
Przesuń jej wykres o wektor:
i podaj wzór otrzymanej funkcji.
Pokaż rozwiązanie
Wektor [−1,0] oznacza przesunięcie o 1 w lewo.
Dlatego:
Podstawiamy:
Zadanie 5
Dane są funkcje:
oraz:
Wykres funkcji g otrzymano przez przesunięcie wykresu funkcji f wzdłuż osi OX. Wyznacz wektor przesunięcia.
Pokaż rozwiązanie
Przyjmujemy:
Podstawiamy:
Ma być:
Porównujemy:
czyli o wektor [7,0].
Zadanie 6
Funkcja f ma miejsca zerowe:
Wykres funkcji przesunięto o wektor:
Podaj miejsca zerowe otrzymanej funkcji.
Pokaż rozwiązanie
Wektor [4,0] oznacza przesunięcie o 4 jednostki w prawo.
Każde miejsce zerowe przesuwa się więc o 4:
Zadanie 7
Dana jest funkcja:
Podaj wzór funkcji otrzymanej po przesunięciu wykresu:
a) o 3 jednostki w prawo,
b) o 2 jednostki w lewo.
Pokaż rozwiązanie
a) 3 w prawo
Wierzchołek wykresu przesuwa się:
b) 2 w lewo
Wierzchołek przesuwa się:
b) h(x) = |x + 2|