Kolejność przekształceń wykresów funkcji wykładniczych – przykład nr 1

Przekształcenia wykresu funkcji – wszystkie możliwe sposoby

Rozważamy funkcję:

y = −1 − ( 1 3 )x+2

Chcemy otrzymać jej wykres, zaczynając od funkcji podstawowej:

f(x) = ( 1 3 )x

1. Jakie przekształcenia trzeba wykonać?

1. Wyrażenie x + 2 w wykładniku oznacza przesunięcie wykresu o 2 jednostki w lewo.

2. Minus przed funkcją oznacza odbicie wykresu względem osi OX.

3. Liczba −1 poza potęgą oznacza przesunięcie wykresu o 1 jednostkę w dół.

Ważne:

Nie wszystkie przekształcenia można dowolnie zamieniać miejscami. Najpierw zobaczymy najprostsze poprawne sposoby.

2. Funkcja podstawowa

y = ( 1 3 )x

Ponieważ 0 < 1/3 < 1, funkcja jest malejąca.

Funkcja podstawowa
y = (1/3)x
x y −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 (−1, 3) (0, 1) (1, 1/3)
Zwróć uwagę: wykres cały czas znajduje się nad osią OX. Zbliża się do niej coraz bardziej, ale nigdy jej nie dotyka ani nie przecina.

Oś OX, czyli prosta y = 0, jest asymptotą poziomą funkcji.

3. Sposób I – najpierw przesunięcie o 2 w lewo

Krok 1. Przesuwamy wykres o 2 jednostki w lewo

Przesunięcie o 2 jednostki w lewo oznacza, że zamiast x wpisujemy x + 2.

y = ( 1 3 )x+2
Przesunięcie o 2 jednostki w lewo
funkcja podstawowa po przesunięciu
x y −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 1 2 3 (0, 1) (−2, 1) 2 w lewo

Punkt (0, 1) przesuwa się do (−2, 1). Współrzędna y pozostaje bez zmian.

Krok 2. Odbijamy wykres względem osi OX

Odbicie względem osi OX oznacza, że każda wartość y zmienia znak.

y = − ( 1 3 )x+2
Odbicie względem osi OX
przed odbiciem po odbiciu
x y −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 1 −1 −2 −3 (−2, 1) (−2, −1)
Po odbiciu wykres znajduje się pod osią OX. Nadal jej nie dotyka.

Punkt (−2, 1) przechodzi w (−2, −1).

Krok 3. Przesuwamy wykres o 1 jednostkę w dół

Od wszystkich wartości funkcji odejmujemy 1.

y = −1 − ( 1 3 )x+2
Wykres końcowy
y = −1 − (1/3)x+2
x y −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 −1 −2 −3 −4 y = −1 (−2, −2)
Najważniejsze: wykres znajduje się cały czas poniżej prostej y = −1. Zbliża się do niej, ale nigdy jej nie osiąga.

Nową asymptotą poziomą jest y = −1.

Poprawna kolejność:
2 w lewo → odbicie względem OX → 1 w dół

4. Sposób II – najpierw odbicie względem osi OX

Możemy również najpierw odbić funkcję podstawową.

Krok 1. Odbijamy względem osi OX

y = − ( 1 3 )x
Odbicie funkcji podstawowej względem osi OX
przed odbiciem po odbiciu
x y −2 −1 0 1 2 1 −1 −2 −3 (0, 1) (0, −1)

Punkt (0, 1) przechodzi w (0, −1).

Krok 2. Przesuwamy o 2 jednostki w lewo

y = − ( 1 3 )x+2

Punkt (0, −1) przesuwa się do (−2, −1).

Krok 3. Przesuwamy o 1 jednostkę w dół

y = −1 − ( 1 3 )x+2
Ta kolejność również jest poprawna:
odbicie względem OX → 2 w lewo → 1 w dół

5. Dlaczego te dwa przekształcenia można zamienić miejscami?

Przesunięcie o 2 w lewo zmienia położenie punktów w poziomie, czyli współrzędną x.

Odbicie względem osi OX zmienia położenie punktów w pionie, czyli współrzędną y.

Dlatego te dwa przekształcenia nie przeszkadzają sobie nawzajem.

2 w lewo → odbicie względem OX

daje to samo co

odbicie względem OX → 2 w lewo
DLA DOCIEKLIWYCH

A co, jeśli najpierw przesunę wykres o 1 w dół?

Można, ale wtedy dalsze przekształcenia się komplikują. Dlatego nie jest to najlepsza kolejność.

Po przesunięciu funkcji podstawowej o 1 w dół:

y = ( 1 3 )x − 1

Jeśli teraz odbijemy cały wykres względem osi OX, musimy zmienić znak całego wyrażenia:

−[f(x) − 1] = −f(x) + 1

Tymczasem potrzebujemy:

−f(x) − 1
Dlaczego wyszło inaczej?
Odbicie względem osi OX dotyczy całego istniejącego wykresu. Dlatego wcześniejsze przesunięcie o 1 w dół również zostaje odbite i z −1 robi się +1.

Nadal można dojść do właściwego wyniku. Trzeba jednak wykonać dodatkowe przesunięcie o 2 jednostki w dół.

1 w dół → odbicie OX → 2 w dół → 2 w lewo

Wniosek: matematycznie można tak zacząć, ale droga staje się niepotrzebnie dłuższa. Najłatwiej przesunięcie o 1 w dół zostawić na koniec.

6. Najbezpieczniejszy sposób na sprawdzianie

Funkcja podstawowa:

y = ( 1 3 )x

1. Odbicie względem osi OX:

y = − ( 1 3 )x

2. Przesunięcie o 2 jednostki w lewo:

y = − ( 1 3 )x+2

3. Przesunięcie o 1 jednostkę w dół:

y = −1 − ( 1 3 )x+2
odbicie OX → 2 w lewo → 1 w dół

7. Własności otrzymanej funkcji

Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste.

Zbiór wartości: y < −1

Monotoniczność: funkcja jest rosnąca.

Miejsce zerowe: brak.

Asymptota pozioma: y = −1

Przecięcie z osią OY:

y = −1 − ( 1 3 )2 = −1 − 1 9 = − 10 9

8. Zasada do zapamiętania

f(x + a) → a jednostek w lewo
f(x − a) → a jednostek w prawo
f(x) + a → a jednostek w górę
f(x) − a → a jednostek w dół
−f(x) → odbicie względem osi OX

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?

Umów bezpłatną lekcję próbną — wytłumaczę Ci wszystko krok po kroku.

Umów lekcję próbną