Grupa A · 8 zadań · 20 punktów
W pudełku znajduje się 11 kul zielonych oznaczonych liczbami: 5, 6, 7, …, 15 oraz 7 kul czerwonych oznaczonych liczbami: 21, 22, 23, …, 27. Losujemy z pudełka jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana kula będzie:
- czerwona,
- oznaczona liczbą niepodzielną przez 3.
Zwiń rozwiązanie
Jest 11 zielonych i 7 czerwonych kul, czyli łącznie:
Każda z 18 kul ma taką samą szansę wylosowania, więc w mianowniku zapisujemy 18.
Kul czerwonych jest 7. Są to wszystkie wyniki sprzyjające.
Najpierw wypisujemy liczby podzielne przez 3, ponieważ łatwo je wykluczyć:
- na kulach zielonych: 6, 9, 12, 15 – 4 kule,
- na kulach czerwonych: 21, 24, 27 – 3 kule.
Razem jest 4 + 3 = 7 kul z liczbą podzielną przez 3. Zatem niepodzielnych przez 3 jest:
To właśnie 11 wyników sprzyjających.
W pierwszym pudełku są 4 kule czerwone ponumerowane liczbami 1, 3, 5, 7, a w drugim są 3 kule zielone ponumerowane liczbami 2, 4, 6. Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
A – na zielonej kuli otrzymamy liczbę większą niż na czerwonej.
Zwiń rozwiązanie
Na pierwszą kulę mamy 4 możliwości, a na drugą 3. Każda czerwona może utworzyć parę z każdą zieloną:
| Liczba czerwona | Większe liczby zielone | Ile par? |
|---|---|---|
| 1 | 2, 4, 6 | 3 |
| 3 | 4, 6 | 2 |
| 5 | 6 | 1 |
| 7 | brak | 0 |
Liczba korzystnych par:
Skracamy ułamek przez 6.
Ze zbioru A = {2, 5, 8, 12, 15, 18} losujemy ze zwracaniem dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że iloraz wylosowanych liczb jest mniejszy niż 12.
Zwiń rozwiązanie
W zbiorze jest 6 liczb. Losujemy ze zwracaniem, czyli po pierwszym losowaniu liczba wraca do zbioru. W drugim losowaniu znów mamy 6 możliwości.
Oznaczmy przez a pierwszą wylosowaną liczbę, a przez b – drugą. Interesuje nas iloraz pierwszej przez drugą.
Można pomnożyć obie strony nierówności przez 2b, bo każda liczba w zbiorze jest dodatnia. Warunek oznacza, że druga liczba musi być większa niż dwukrotność pierwszej.
| Pierwsza liczba a | Możliwe drugie liczby b, gdy b > 2a | Ile? |
|---|---|---|
| 2 | 5, 8, 12, 15, 18 | 5 |
| 5 | 12, 15, 18 | 3 |
| 8 | 18 | 1 |
| 12, 15, 18 | brak | 0 |
Razem korzystnych par jest:
Skracamy licznik i mianownik przez 9.
W pojemniku jest 13 kul czarnych ponumerowanych liczbami 7, 8, 9, …, 19 oraz 17 kul niebieskich ponumerowanych liczbami 22, 23, 24, …, 38. Losujemy z tego pojemnika jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana kula będzie czarna z numerem parzystym albo niebieska z numerem nieparzystym.
Zwiń rozwiązanie
Wśród liczb od 7 do 19 parzyste to: 8, 10, 12, 14, 16, 18.
Takich kul jest 6.
Wśród liczb od 22 do 38 nieparzyste to: 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37.
Takich kul jest 8.
Losujemy tylko jedną kulę. Nie może ona być jednocześnie czarna i niebieska, dlatego zbiory wyników sprzyjających są rozłączne i możemy dodać ich liczności.
Skracamy ułamek przez 2.
Rzucono jednocześnie monetą i kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł i mniej niż 4 oczka.
Zwiń rozwiązanie
Moneta ma 2 możliwe wyniki (orzeł, reszka), a kostka ma 6 (od 1 do 6).
Musi wypaść jednocześnie orzeł oraz liczba oczek mniejsza niż 4, czyli 1, 2 lub 3.
Sprzyjające pary: (orzeł, 1), (orzeł, 2), (orzeł, 3) – są 3.
To samo otrzymamy, mnożąc prawdopodobieństwa niezależnych wyników:
Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A – co najmniej raz wypadnie orzeł,
B – w trzecim rzucie wypadnie coś innego niż w rzucie pierwszym.
Zwiń rozwiązanie
W każdym z 3 rzutów są 2 wyniki: O – orzeł, R – reszka.
Wszystkie wyniki: OOO, OOR, ORO, ORR, ROO, ROR, RRO, RRR.
Wyrażenie co najmniej raz oznacza: raz, dwa razy albo trzy razy. Łatwiej policzyć sytuację przeciwną: ani jednego orła.
Tylko jeden wynik nie zawiera orła: RRR. Pozostałych jest 8 − 1 = 7.
Jeśli w pierwszym rzucie wypadnie orzeł, to w trzecim musi wypaść reszka. Jeśli najpierw wypadnie reszka, to w trzecim musi być orzeł. Drugi rzut może dać dowolny wynik.
Sprzyjające ciągi: OOR, ORR, ROO, RRO – są 4.
Rzucamy 4 razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że za każdym razem otrzymamy nieparzystą liczbę oczek.
Zwiń rozwiązanie
Nieparzyste wyniki na kostce to 1, 3, 5. Mamy 3 takie wyniki spośród 6 możliwych.
Rzuty są niezależne, więc mnożymy ich prawdopodobieństwa. Nie dodajemy ich, bo chcemy otrzymać nieparzystą liczbę za pierwszym, drugim, trzecim i czwartym razem jednocześnie.
Wszystkich wyników czterech rzutów jest 6⁴ = 1296, a sprzyjających – 3⁴ = 81.
Mama upiekła 20 babeczek. Do sześciu z nich włożyła po jednym rodzynku, do ośmiu – po jednym migdale, do trzech – po rodzynku i migdale. Jurek pierwszy sięgnął po ciastko. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że w jego babeczce:
- będzie rodzynek,
- będzie migdał,
- nie będzie ani rodzynka, ani migdała.
Zwiń rozwiązanie
Babeczki dzielą się na cztery grupy:
| Rodzaj babeczki | Liczba |
|---|---|
| tylko z rodzynkiem | 6 |
| tylko z migdałem | 8 |
| z rodzynkiem i migdałem | 3 |
| bez rodzynka i migdała | 20 − 6 − 8 − 3 = 3 |
W każdym podpunkcie mamy łącznie 20 babeczek do wyboru.
Rodzynek jest nie tylko w 6 babeczkach z samym rodzynkiem, lecz także w 3 babeczkach zawierających rodzynka i migdał.
Liczymy 8 babeczek tylko z migdałem i 3 zawierające oba dodatki.
Najpierw liczymy babeczki zawierające przynajmniej jeden z dodatków:
Bez dodatków pozostaje 20 − 17 = 3 babeczki.