W prawdopodobieństwie klasycznym najważniejsze jest jedno: policzyć wszystkie możliwe wyniki i sprawdzić, ile z nich nam pasuje.
Najprościej:
Ten wzór stosujemy wtedy, gdy wszystkie wyniki elementarne są jednakowo prawdopodobne.
Co oznaczają Ω i A?
Przykład dla kostki:
Na przykład „wypadła liczba parzysta”:
Schemat rozwiązywania
1. Policz wszystkie możliwe wyniki: |Ω|.
2. Policz wyniki spełniające warunek: |A|.
3. Podstaw:
4. Skróć ułamek.
Najważniejsza pułapka: wyniki muszą być jednakowo prawdopodobne.
Przy dwóch kostkach nie liczymy 11 możliwych sum od 2 do 12. Te sumy nie są jednakowo prawdopodobne. Mamy 36 jednakowo prawdopodobnych uporządkowanych par.
Jak szybko liczyć |Ω|?
Zdarzenie przeciwne
Przy słowach „co najmniej raz” często łatwiej policzyć zdarzenie przeciwne: „ani razu”.
Przykład 1 – cztery osoby i sześć pięter
Windą jadą 4 różne osoby. Każda wysiada losowo na jednym z 6 pięter. Oblicz prawdopodobieństwo, że każda osoba wysiądzie na innym piętrze.
Wszystkie możliwości:
Wyniki sprzyjające:
Przykład 2 – trzy piłki i siedem pojemników
Trzy różne piłki wrzucamy losowo do 7 różnych pojemników. Oblicz prawdopodobieństwo, że każda piłka trafi do innego pojemnika.
Przykład 3 – „co najmniej raz”
Rzucamy pięć razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej raz wypadnie reszka?
Łatwiej policzyć zdarzenie przeciwne: pięć razy wypadł orzeł.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadanie 1 – dwie kostki
Rzucamy dwa razy symetryczną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek jest parzysta.
Pokaż rozwiązanie
Suma jest parzysta, gdy obie liczby są parzyste albo obie nieparzyste.
Zadanie 2 – cztery rzuty monetą
Rzucamy cztery razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadnie mniej orłów niż reszek.
Pokaż rozwiązanie
Może wypaść 0 orłów albo 1 orzeł.
Zadanie 3 – trzy rzuty kostką
Rzucamy trzy razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn otrzymanych liczb jest parzysty.
Pokaż rozwiązanie
Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy wszystkie trzy liczby są nieparzyste.
Zadanie 4 – liczba z rzutów kostką
Rzucamy cztery razy kostką. Wyniki są kolejnymi cyframi liczby czterocyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczba jest podzielna przez 4.
Pokaż rozwiązanie
O podzielności przez 4 decydują dwie ostatnie cyfry. Z cyfr 1–6 mamy 36 możliwych końcówek.
Podzielne przez 4 są: 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64 – razem 9.
Zadanie 5 – loteria
Na loterii jest 60 losów, w tym 12 wygrywających. Przed nami kupiono 4 losy i wszystkie były wygrywające. Kupujemy jeden z pozostałych. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej?
Pokaż rozwiązanie
Zostało 56 losów, z czego 8 wygrywających.
Zadanie 6 – liczba dwucyfrowa
Losujemy jedną liczbę spośród wszystkich liczb dwucyfrowych. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma jej cyfr jest równa 11.
Pokaż rozwiązanie
Pasują: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92 – razem 8.
Zadanie 7 – kostka czworościenna
Rzucamy dwa razy symetryczną kostką czworościenną z liczbami 1,2,3,4. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wyników jest większa od 5.
Pokaż rozwiązanie
Sprzyjające: (2,4), (3,3), (3,4), (4,2), (4,3), (4,4) – razem 6.
Zadanie 8 – 10 kul i 10 szuflad
Dziesięć różnych kul rozmieszczamy losowo w dziesięciu różnych szufladach. Oblicz prawdopodobieństwo, że każda szuflada będzie zajęta.
Pokaż rozwiązanie
Jeżeli każda szuflada ma być zajęta, w każdej musi być dokładnie jedna kula. Takich rozmieszczeń jest 10!.
Mini ściąga
|Ω| – wszystkie jednakowo prawdopodobne wyniki.
|A| – wyniki spełniające warunek.
Moneta n razy: 2n.
Kostka n razy: 6n.
„Co najmniej raz”: często użyj zdarzenia przeciwnego.
Najpierw licz Ω, potem A. Dopiero na końcu dziel.