Jak podchodzić do tych zadań?
1. Policz wszystkie możliwe wyniki: |Ω|.
2. Policz wyniki spełniające warunek: |A|.
3. Zastosuj:
W trudniejszych zadaniach największa część pracy to dobre policzenie |Ω| i |A|.
Zadania – prawdopodobieństwo klasyczne
Zadanie 1 – procenty w klasie
W klasie jest 16 dziewcząt i 10 chłopców. Wspinaczką interesuje się 25% dziewcząt i 10% chłopców. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba interesuje się wspinaczką.
Pokaż rozwiązanie
Wszystkich uczniów: 16+10=26.
Zainteresowane dziewczęta: 25%·16=4.
Zainteresowani chłopcy: 10%·10=1.
Razem: 5 osób.
Zadanie 2 – trzy klasy i różne procenty
W klasach IVa, IVb i IVc jest odpowiednio 24, 26 i 30 uczniów. Maturę z języka francuskiego planuje zdawać odpowiednio 12,5%, 50% i 20% uczniów tych klas. Losujemy jednego ucznia spośród wszystkich trzech klas. Oblicz prawdopodobieństwo, że planuje zdawać francuski.
Pokaż rozwiązanie
Wszystkich uczniów: 24+26+30=80.
IVa: 12,5%·24=3.
IVb: 50%·26=13.
IVc: 20%·30=6.
Razem: 22.
Zadanie 3 – wyznacz liczbę losów wygrywających
Na pierwszej loterii jest 120 losów, w tym 24 wygrywające. Na drugiej jest 80 losów, w tym n wygrywających. Prawdopodobieństwo wygranej na drugiej loterii jest dwa razy większe niż na pierwszej. Wyznacz n.
Pokaż rozwiązanie
Na drugiej loterii ma być dwa razy więcej:
5n=160, więc n=32.
Zadanie 4 – urny i równanie
W urnie były 2 kule białe i 8 czarnych. Dołożono taką samą liczbę kul białych i czarnych. Po dołożeniu prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest dwa razy większe niż na początku. Ile kul dołożono?
Pokaż rozwiązanie
Na początku P(B)=2/10=1/5. Po zmianie ma być 2/5.
Niech dołożono po x kul każdego koloru.
5(2+x)=2(10+2x), więc x=10.
Dołożono po 10 kul każdego koloru, czyli łącznie 20.
Zadanie 5 – 9 kul z 10
W urnie znajduje się 8 kul białych i 2 czarne. Losujemy 9 kul bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że po losowaniu w urnie zostanie kula biała.
Pokaż rozwiązanie
Po wyjęciu 9 kul zostaje jedna kula. Każda z 10 kul ma takie samo prawdopodobieństwo, że zostanie.
Zadanie 6 – ustawienie osób w rzędzie
Na 11 miejscach w rzędzie siada losowo 6 kobiet i 5 mężczyzn. Oblicz prawdopodobieństwo, że wszyscy mężczyźni usiądą obok siebie.
Pokaż rozwiązanie
Wszystkich ustawień 11 różnych osób: 11!.
Pięciu mężczyzn traktujemy jako jeden blok. Mamy wtedy 6 kobiet + 1 blok, czyli 7 obiektów.
Te 7 obiektów ustawiamy na 7! sposobów, a mężczyzn wewnątrz bloku na 5! sposobów.
Zadanie 7 – żadna para kobiet obok siebie
Na 11 miejscach w rzędzie siada 6 kobiet i 5 mężczyzn. Oblicz prawdopodobieństwo, że żadne dwie kobiety nie siedzą obok siebie.
Pokaż rozwiązanie
Najpierw ustawiamy 5 mężczyzn: 5! sposobów.
Powstaje 6 luk:
Mamy 6 kobiet, więc w każdej luce musi znaleźć się dokładnie jedna kobieta. Można je ustawić na 6! sposobów.
Zadanie 8 – test tak/nie
Test ma 10 pytań typu „tak/nie”. Uczeń zaznacza każdą odpowiedź losowo. Oblicz prawdopodobieństwo, że odpowie poprawnie na co najmniej 9 pytań.
Pokaż rozwiązanie
Wszystkich ciągów odpowiedzi: 2¹⁰=1024.
Co najmniej 9 poprawnych oznacza:
• 10 poprawnych – 1 sposób,
• 9 poprawnych – wybieramy jedno pytanie błędne: 10 sposobów.
Zadanie 9 – dwie kostki, trzy różne zdarzenia
Rzucamy dwa razy symetryczną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo:
a) co najmniej raz wypadnie 6,
b) dokładnie w jednym rzucie wypadnie co najmniej 5,
c) iloczyn oczek będzie nieparzysty.
Pokaż rozwiązanie
Wszystkich wyników: 36.
a) Łatwiej zdarzeniem przeciwnym: ani razu nie wypada 6.
b) Co najmniej 5 to 5 lub 6, czyli 2 możliwości. Mniej niż 5 to 4 możliwości.
c) Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste.
Zadanie 10 – kostka z dwiema piątkami
Na sześciu ścianach kostki zapisano liczby: 1, 2, 3, 4, 5, 5. Kostka jest symetryczna fizycznie, więc każda ściana wypada z takim samym prawdopodobieństwem. Rzucamy nią dwa razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma zapisanych liczb będzie równa 6.
Pokaż rozwiązanie
Wartość 5 występuje na dwóch różnych ścianach. Nie możemy traktować liczb 1,2,3,4,5 jako pięciu jednakowo prawdopodobnych wyników.
Wszystkich par ścian: 6·6=36.
Suma 6 może powstać jako: 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1.
1+5 daje 2 możliwości, 5+1 też 2, a pozostałe po 1.
Po tych zadaniach warto umieć:
• zadania z procentami i grupami,
• układanie równania z prawdopodobieństwa,
• urny,
• ustawienia osób metodą bloku i luk,
• zdarzenie przeciwne,
• zadania z kostkami i monetami,
• rozróżnianie wartości od jednakowo prawdopodobnych ścian.