Powtórzenie z całego działu: najważniejsze wzory + 10 różnych typów zadań. Jeśli rozumiesz te zadania, masz ogarnięte najczęstsze rzeczy z tego działu.
Najważniejsze wzory – bardzo krótko
W poziomie znak wygląda „odwrotnie”, w pionie normalnie.
Najczęstsza pułapka:
f(x−3) przesuwa wykres o 3 w prawo, a f(x+3) o 3 w lewo.
Natomiast f(x)+3 oznacza 3 w górę, a f(x)−3 – 3 w dół.
Równania i nierówności z wykresu
Szukamy punktów przecięcia i odczytujemy ich współrzędne x.
Szukamy miejsca, gdzie wykres f jest wyżej.
Szukamy miejsca, gdzie wykres f jest niżej.
Punkty przecięcia też należą do rozwiązania.
10 zadań powtórzeniowych
Zadanie 1 – wektor, punkt końcowy, długość i środek
Dany jest punkt A(−4,5) oraz wektor AB=[7,−9]. Wyznacz punkt B, długość wektora AB oraz środek odcinka AB.
Pokaż rozwiązanie
Z definicji wektora:
Długość odcinka AB liczymy ze wzoru:
Środek odcinka:
Rysunek pomocniczy: poniżej zaznaczone są wektory OA, OB oraz AB.
Jak czytać rysunek?
• zielony wektor OA prowadzi od początku układu do punktu A,
• pomarańczowy wektor OB prowadzi od początku układu do punktu B,
• niebieski wektor AB prowadzi z punktu A do punktu B i właśnie on ma współrzędne [7,−9].
Zadanie 2 – rozpoznanie przesunięcia
Wykres funkcji y=|x| przesunięto tak, że otrzymano funkcję:
Podaj wektor przesunięcia.
Pokaż rozwiązanie
Porównujemy z:
Mamy x+4, czyli x−(−4). Zatem p=−4. Poza funkcją mamy −5, więc q=−5.
Zadanie 3 – symetria względem OY
Dana jest funkcja:
Jej wykres odbito względem osi OY i otrzymano funkcję g.
a) Podaj wzór g. b) Podaj dziedzinę g. c) Rozwiąż nierówność g(x)>−1.
Pokaż rozwiązanie
Przy symetrii względem OY:
Dziedzina:
Nierówność:
Przenosimy wszystko na jedną stronę:
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
Miejsca zerowe i punkt wykluczony:
Dzielimy oś na przedziały: (−∞,1), (1,3), (3,∞).
- dla x<1 licznik i mianownik są ujemne, więc iloraz jest dodatni,
- dla 1<x<3 licznik jest dodatni, a mianownik ujemny, więc iloraz jest ujemny,
- dla x>3 licznik i mianownik są dodatnie, więc iloraz jest dodatni.
Ponieważ ma być >0, bierzemy tylko przedziały, gdzie iloraz jest dodatni. Liczby 1 i 3 nie należą do rozwiązania.
Zadanie 4 – symetria względem OX
Dana jest funkcja f(x)=x³−2. Jej wykres odbito względem osi OX.
a) Podaj wzór funkcji g. b) Rozwiąż równanie g(x)=1.
Pokaż rozwiązanie
Symetria względem OX zmienia znak wartości funkcji:
Teraz:
Zadanie 5 – symetria środkowa
Dana jest funkcja f(x)=√(x+3). Jej wykres przekształcono przez symetrię środkową względem O(0,0).
a) Podaj wzór i dziedzinę funkcji g. b) Rozwiąż nierówność g(x)<2x.
Pokaż rozwiązanie
Symetria środkowa:
Pod pierwiastkiem musi być:
Rozwiązujemy:
Krok 1. Dziedzina: już wiemy, że musi być x≤3.
Krok 2. Rozdzielamy na przypadki.
Przypadek A: x≥0
Wtedy lewa strona −√(3−x) jest ≤0, a prawa strona 2x jest ≥0. Czyli liczba niedodatnia jest mniejsza od nieujemnej, więc nierówność jest spełniona dla wszystkich x z przedziału [0,3].
Przypadek B: x<0
Mnożymy obie strony przez −1, więc znak nierówności się odwraca:
Dla x<0 prawa strona jest dodatnia, więc obie strony są nieujemne. Możemy bezpiecznie podnieść nierówność do kwadratu:
Miejsca zerowe to:
Parabola ma ramiona w górę, więc jest ujemna między miejscami zerowymi:
Ale w tym przypadku rozpatrujemy tylko liczby x<0, więc zostaje:
Krok 3. Łączymy oba przypadki:
Zadanie 6 – przesunięcie funkcji kwadratowej
Wykres funkcji f(x)=x²−3x przesunięto o wektor [−1,2]. Podaj wzór otrzymanej funkcji.
Pokaż rozwiązanie
Wektor [p,q]=[−1,2], więc:
Zadanie 7 – dziedzina i zbiór wartości po przekształceniu
Dziedziną funkcji f jest przedział [−4,5), a jej zbiorem wartości [−8,2].
a) Wyznacz dziedzinę g(x)=f(x+3).
b) Wyznacz zbiór wartości h(x)=−f(x)+1 i jej najmniejszą wartość.
Pokaż rozwiązanie
a) Musi być:
b) Najpierw odbicie względem OX:
Potem przesunięcie o 1 w górę:
Zadanie 8 – przekształcenia tabeli
Funkcję f opisuje tabela:
| x | −3 | −1 | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Utwórz tabele dla:
a) g(x)=−f(x)+1
b) h(x)=f(x+8)
c) k(x)=f(−x)+5
Pokaż rozwiązanie
a) g(x)=−f(x)+1 – argumenty się nie zmieniają, zmieniamy tylko wartości:
| x | −3 | −1 | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| g(x) | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 |
b) h(x)=f(x+8). Aby otrzymać dawny argument u, potrzebujemy x+8=u, czyli x=u−8:
| x | −11 | −9 | −8 | −6 | −4 |
|---|---|---|---|---|---|
| h(x) | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
c) k(x)=f(−x)+5. Najpierw zmieniamy znaki argumentów, potem dodajemy 5 do wartości:
| x | 3 | 1 | 0 | −2 | −4 |
|---|---|---|---|---|---|
| k(x) | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 |
Zadanie 9 – kilka przekształceń jednocześnie
Na niebiesko zaznaczono wykres funkcji f przechodzący kolejno przez punkty:
Narysuj wykres funkcji:
Pokaż rozwiązanie
Najwygodniej przekształcić każdy charakterystyczny punkt.
x−4 → przesunięcie o 4 w prawo.
minus przed f → odbicie względem OX.
+1 → przesunięcie o 1 w górę.
Punkt (u,y) przechodzi więc w:
Otrzymujemy:
Zadanie 10 – nierówność z wykresu
Rozwiąż graficznie nierówność:
Pokaż rozwiązanie
Najpierw dziedzina:
Porównujemy funkcje:
Wykresy przecinają się dla:
Szukamy, gdzie niebieski wykres jest niżej lub na zielonym. Widać, że dzieje się tak w punkcie x=−4 oraz dla x≥0.
Mini ściąga przed sprawdzianem
1. Wektor AB = „koniec minus początek”.
2. Przesunięcie [p,q]: g(x)=f(x−p)+q.
3. OX: −f(x).
4. OY: f(−x).
5. O(0,0): −f(−x).
6. Przy przekształcaniu dziedziny pilnuj zmian w argumencie x.
7. f(x)=g(x) → miejsca przecięcia.
8. f(x)>g(x) → pierwszy wykres wyżej.
9. f(x)<g(x) → pierwszy wykres niżej.
10. Zawsze sprawdź dziedzinę.