Pole czworokąta

Pole wielokątów

Cel: nauczyć się rozpoznawać figurę, wybrać odpowiedni wzór i wiedzieć, co zrobić, gdy w zadaniu nie dostajemy wszystkich potrzebnych danych.

Pole mówi nam po prostu, ile miejsca zajmuje figura.

Nie próbujemy uczyć się każdego zadania osobno. Najpierw sprawdzamy, jaką figurę mamy i jakie informacje znamy.

Mini powtórka

Zanim zaczniesz liczyć:

1. Rozpoznaj figurę.

2. Sprawdź, co jest podane: boki, wysokość, przekątne czy kąt.

3. Zastanów się, którego wzoru możesz użyć.

4. Jeśli brakuje wysokości lub boku, często trzeba najpierw użyć Pitagorasa albo trygonometrii.

Bardzo ważne: wysokość musi być prostopadła do podstawy.

Nie każdy bok figury jest wysokością.

Trójkąt

a h

Jeżeli znamy podstawę a i wysokość h:

P = a · h 2

Jeżeli znamy dwa boki a i b oraz kąt α między nimi:

P = a · b · sin α 2

Równoległobok

a b h

Jeżeli znamy podstawę i wysokość:

P = a · h

Jeżeli znamy dwa boki i kąt między nimi:

P = a · b · sin α

Romb

d₁ d₂

Możemy użyć wzoru:

P = a · h

albo, jeśli znamy przekątne:

P = d₁ · d₂ 2

Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy. To bardzo często pozwala użyć twierdzenia Pitagorasa.

Trapez

b a h
P = (a + b) · h 2

Czyli: dodajemy podstawy, mnożymy przez wysokość i dzielimy przez 2.

Deltoid

d₁ d₂
P = d₁ · d₂ 2

Przykład – trójkąt i sinus

Przykład

Dwa boki trójkąta mają długości 6 cm i 10 cm, a kąt między nimi wynosi 30°. Oblicz pole.

10 6 30°

Mamy dwa boki i kąt między nimi, więc:

P = a · b · sin α 2
P = 6 · 10 · sin 30° 2

sin 30° = 1/2, więc:

P = 6 · 10 · 1/2 2 = 15 cm²

Przykład – równoległobok

Przykład

Równoległobok ma boki 4 cm i 9 cm, a jego kąt rozwarty wynosi 150°. Oblicz pole.

9 4 150°
P = 4 · 9 · sin 150°

sin 150° = sin 30° = 1/2

P = 4 · 9 · 1/2 = 18 cm²

Przykład – romb

Przykład

Romb ma bok długości 13 cm, a jedna z przekątnych ma długość 24 cm. Oblicz pole i wysokość.

Połowa przekątnej ma:

24 : 2 = 12

Połówki przekątnych i bok rombu tworzą trójkąt prostokątny:

12² + x² = 13²
144 + x² = 169
x = 5

Druga przekątna ma więc:

2 · 5 = 10 cm

Pole:

P = 24 · 10 2 = 120 cm²

Wysokość:

120 = 13h
h = 120 13 cm

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Poniżej zebrałam zadania z obu wcześniejszych wersji. Powtarzające się zadania zostawiłam tylko raz.

Zadanie 1

Boki równoległoboku mają długości 8 cm i 12 cm. Kąt rozwarty jest pięć razy większy od kąta ostrego. Oblicz pole równoległoboku.

Pokaż rozwiązanie

Niech kąt ostry ma miarę α.

Kąt rozwarty ma wtedy 5α.

α + 5α = 180°
6α = 180°
α = 30°

Liczymy pole:

P = 8 · 12 · sin 30°
P = 8 · 12 · 1/2 = 48 cm²
Odpowiedź: 48 cm².

Zadanie 2

Romb ma obwód 48 cm i pole 108 cm². Oblicz wysokość rombu.

Pokaż rozwiązanie

Wszystkie cztery boki rombu są równe.

a = 48 : 4 = 12 cm

Korzystamy ze wzoru:

P = a · h
108 = 12h
h = 9 cm
Odpowiedź: h = 9 cm.

Zadanie 3

W trapezie prostokątnym bok AD ma długość 10 cm, podstawa AB ma długość 14 cm, a:

sin ∠DAB = √5 3

Oblicz pole trapezu.

Pokaż rozwiązanie

Wysokość:

h = 10 · √5 3 = 10√5 3

Liczymy cosinus:

cos² α = 1 − 5 9 = 4 9
cos α = 2/3

Pozioma składowa boku AD:

10 · 2/3 = 20/3

Krótsza podstawa:

14 − 20/3 = 22/3

Pole:

P = (14 + 22/3) · 10√5/3 2
P = 320√5 / 9 cm²
Odpowiedź: P = 320√5 / 9 cm².

Zadanie 4

Trapez równoramienny ma podstawy długości 4 cm i 10 cm, a jego kąt ostry ma miarę 30°. Oblicz pole trapezu.

Pokaż rozwiązanie

Różnica podstaw:

10 − 4 = 6

W trapezie równoramiennym dzieli się ona po połowie:

6 : 2 = 3

Wysokość:

tg 30° = h / 3
h = √3

Pole:

P = (10 + 4) · √3 2 = 7√3 cm²
Odpowiedź: P = 7√3 cm².

Zadanie 5

Ramiona trapezu mają długości 3 cm i 4 cm, krótsza podstawa ma długość 7,5 cm, a odcinek łączący środki ramion ma długość 10 cm. Oblicz dłuższą podstawę i pole trapezu.

Pokaż rozwiązanie

Odcinek łączący środki ramion ma długość:

10 = a + 7,5 2
a = 12,5 cm

Różnica podstaw:

12,5 − 7,5 = 5

Oznaczmy poziome fragmenty przy ramionach przez x i y.

x + y = 5
x² + h² = 3²
y² + h² = 4²

Odejmujemy:

y² − x² = 7
(y − x)(y + x) = 7
y − x = 7/5

Stąd:

x = 1,8
y = 3,2

Wysokość:

h² = 9 − 1,8²
h = 2,4 cm

Pole:

P = (12,5 + 7,5) · 2,4 2 = 24 cm²
Dłuższa podstawa: 12,5 cm.
Pole: 24 cm².

Zadanie 6

Równoległobok ma boki długości 4 cm i 9 cm, a kąt rozwarty ma miarę 150°. Oblicz pole.

Pokaż rozwiązanie
P = 4 · 9 · sin 150°
sin 150° = 1/2
P = 4 · 9 · 1/2 = 18 cm²
Odpowiedź: P = 18 cm².

Zadanie 7

Pole równoległoboku wynosi 8 cm², jego obwód wynosi 24 cm, a sinus kąta ostrego jest równy 0,25. Oblicz obie wysokości równoległoboku.

Pokaż rozwiązanie

Z obwodu:

2a + 2b = 24
a + b = 12

Z pola:

8 = a · b · 0,25
ab = 32

Dwie liczby o sumie 12 i iloczynie 32 to:

4 i 8

Wysokość do boku 8:

8 = 8h₁
h₁ = 1 cm

Wysokość do boku 4:

8 = 4h₂
h₂ = 2 cm
Odpowiedź: wysokości mają 1 cm i 2 cm.

Zadanie 8

Przekątne rombu mają długości 12 cm i 16 cm. Kąt ostry rombu ma miarę α. Oblicz sin α.

Pokaż rozwiązanie

Pole z przekątnych:

P = 12 · 16 2 = 96

Połowy przekątnych mają długości 6 i 8.

Bok rombu:

a² = 6² + 8²
a = 10

Korzystamy z:

P = a² · sin α
96 = 100 · sin α
sin α = 24 25
Odpowiedź: sin α = 24/25.

Zadanie 9

Krótsza przekątna deltoidu ma długość 6 cm, a jego boki mają długości 3√2 cm i 5 cm. Oblicz pole deltoidu.

Pokaż rozwiązanie

Połowa krótszej przekątnej:

6 : 2 = 3

Pierwsza część drugiej przekątnej:

x² + 3² = (3√2)²
x = 3

Druga część:

y² + 3² = 5²
y = 4

Druga przekątna:

d₂ = 3 + 4 = 7

Pole:

P = 6 · 7 2 = 21 cm²
Odpowiedź: P = 21 cm².

Mini ściąga

Wzory w jednym miejscu
Figura Wzór na pole Co trzeba znać?
Prostokąt P = a · b dwa boki
Kwadrat P = a² bok
Trójkąt P = a · h 2 podstawa i wysokość
Równoległobok P = a · h
lub
P = a · b · sin α 		podstawa i wysokość
albo 2 boki i kąt
Romb P = a · h
lub
P = d₁ · d₂ 2 		bok i wysokość
albo przekątne
Trapez P = (a + b) · h 2 obie podstawy i wysokość
Deltoid P = d₁ · d₂ 2 przekątne

Jeśli nie wiesz, co zrobić w zadaniu:

• narysuj figurę,

• podpisz wszystkie dane,

• dorysuj wysokość,

• poszukaj trójkąta prostokątnego,

• sprawdź, czy możesz użyć Pitagorasa albo trygonometrii.

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?

Umów bezpłatną lekcję próbną — wytłumaczę Ci wszystko krok po kroku.

Umów lekcję próbną