Permutacja to po prostu ustawienie wszystkich danych elementów w określonej kolejności.
Ważne są dwie rzeczy:
• wykorzystujemy wszystkie elementy,
• kolejność ma znaczenie.
Najważniejsza myśl:
Jeżeli ustawiamy n różnych elementów w kolejności, to:
oznacza liczbę wszystkich możliwych ustawień.
Skąd bierze się silnia?
Załóżmy, że ustawiamy 6 różnych osób w kolejce.
Na pierwsze miejsce mamy 6 możliwości.
Na drugie miejsce zostaje już tylko 5 osób.
Potem 4, następnie 3, 2 i 1.
Taki iloczyn zapisujemy krócej:
Silnia
Przyjmujemy też:
Przykład: liczby z warunkiem
Z cyfr 1, 2, 4, 6, 7 tworzymy liczby pięciocyfrowe, używając każdej cyfry dokładnie raz.
Ile z nich jest większych od 60 000?
Aby liczba była większa od 60 000, pierwszą cyfrą musi być:
Na pierwsze miejsce mamy więc 2 możliwości.
Pozostałe 4 cyfry możemy ustawić na:
sposoby.
Przykład: liczby parzyste
Z cyfr 2, 3, 5, 6, 7, 8 tworzymy liczby sześciocyfrowe bez powtarzania cyfr.
Ile z nich jest parzystych?
Liczba parzysta musi kończyć się cyfrą parzystą.
Do wyboru mamy:
czyli 3 możliwości na ostatnią cyfrę.
Pozostałe 5 cyfr ustawiamy dowolnie:
Przykład: osoby w kolejce z warunkiem
W kolejce stoi 8 osób: 3 dziewczyny i 5 chłopców.
Na ile sposobów można ustawić wszystkich tak, aby wszystkie dziewczyny stały na początku kolejki?
Najpierw ustawiamy 3 dziewczyny na pierwszych trzech miejscach:
Potem ustawiamy 5 chłopców:
Te dwa wybory są niezależne, więc mnożymy:
Upraszczanie wyrażeń z silniami
Nie trzeba zawsze liczyć całej silni. Często wygodniej ją rozwinąć tylko tyle, ile potrzeba.
Uprość:
Rozwijamy tylko 10!:
Zatem:
Wskazówka:
Jeśli w ułamku masz np. 12! i 10!, nie licz obu ogromnych liczb.
i 10! od razu się skróci.
Wyznaczanie liczby elementów
Wszystkich permutacji pewnego zbioru jest 720. Ile elementów ma ten zbiór?
Szukamy takiej liczby n, dla której:
Wiemy, że:
Permutacje z powtórzeniami
Czasem nie wszystkie elementy są różne.
Wtedy zwykłe n! daje za dużo wyników, bo zamiana miejscami dwóch identycznych elementów nie tworzy nowego ustawienia.
Ile różnych napisów można utworzyć z liter słowa:
Mamy 7 liter.
Powtarzają się:
• litera M — 2 razy,
• litera A — 2 razy,
• litera T — 2 razy,
• litera E — 1 raz.
Gdyby wszystkie litery były różne, byłoby 7! ustawień.
Musimy jednak podzielić przez ustawienia identycznych liter:
Permutacje z powtórzeniami
Jeżeli mamy n elementów, a niektóre z nich powtarzają się odpowiednio n₁, n₂, …, nₖ razy, to liczba ustawień wynosi:
Jak rozpoznać permutację?
Zadaj sobie trzy pytania:
1. Czy wykorzystuję wszystkie elementy?
2. Czy każdy element wykorzystuję dokładnie raz?
3. Czy kolejność ma znaczenie?
Jeśli tak — bardzo możliwe, że chodzi o permutację.
Zadania
Zadanie 1
Z cyfr 1, 3, 4, 5, 7, 9 tworzymy liczby sześciocyfrowe, używając każdej cyfry dokładnie raz.
Ile z tych liczb jest podzielnych przez 5?
Pokaż rozwiązanie
Liczba jest podzielna przez 5, jeśli kończy się cyfrą 0 lub 5.
Nie mamy cyfry 0, więc ostatnią cyfrą musi być:
Ostatnie miejsce jest więc już ustalone.
Pozostałych 5 cyfr możemy ustawić dowolnie:
Zadanie 2
Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 tworzymy liczby pięciocyfrowe, używając każdej cyfry dokładnie raz.
Ile z nich jest większych od 40 000?
Pokaż rozwiązanie
Aby liczba była większa od 40 000, pierwszą cyfrą musi być:
Czyli na pierwsze miejsce mamy 2 możliwości.
Pozostałe 4 cyfry ustawiamy na:
sposoby.
Zadanie 3
W kolejce ustawia się 9 osób. Wśród nich są Ola i Kuba.
Na ile sposobów można ustawić wszystkich, jeśli Ola ma stać na początku kolejki?
Pokaż rozwiązanie
Pierwsze miejsce jest już zajęte przez Olę.
Pozostałe 8 osób możemy ustawić dowolnie:
Zadanie 4
Pięć różnych osób ma zostać zakwaterowanych w pięciu różnych jednoosobowych pokojach.
Na ile sposobów można je rozmieścić?
Pokaż rozwiązanie
Każda osoba trafia do innego pokoju.
Tak naprawdę ustawiamy 5 osób w 5 różnych miejscach.
Zadanie 5
Uprość:
Pokaż rozwiązanie
Rozwijamy 12! tylko do 9!:
Zatem:
Zadanie 6
Wszystkich możliwych permutacji pewnego zbioru jest:
Ile elementów ma ten zbiór?
Pokaż rozwiązanie
Szukamy n, dla którego:
Wiemy, że:
Zadanie 7
Ile różnych napisów można otrzymać, przestawiając wszystkie litery słowa:
Pokaż rozwiązanie
Słowo ma 6 liter.
Powtarzają się:
A — 3 razy,
N — 2 razy,
S — 1 raz.
Korzystamy ze wzoru na permutacje z powtórzeniami:
Zadanie 8
Ile różnych liczb sześciocyfrowych można otrzymać, przestawiając cyfry liczby:
Pokaż rozwiązanie
Mamy 6 cyfr.
Każda z cyfr 1, 2 i 3 występuje po 2 razy.
Dodatkowe zadania – poziom sprawdzianu
Zadanie 9
Grupa sześciu przyjaciół wybiera się do teatru. Na ile sposobów będą mogli usiąść na sześciu kolejnych miejscach?
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Na pierwsze miejsce mamy 6 kandydatów.
Krok 2. Na drugie zostaje 5 osób, na trzecie 4, potem 3, 2 i 1.
Krok 3. Ponieważ ustawienie osób na miejscach ma znaczenie, mnożymy kolejne możliwości.
Odpowiedź: 720 sposobów.
Zadanie 10
Podczas domowego maratonu filmowego zaplanowano obejrzenie kolejno pięciu filmów: 3 różnych filmów akcji i 2 różnych komedii. Ile jest możliwych kolejności obejrzenia tych filmów?
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Mamy 3 + 2 = 5 różnych filmów.
Krok 2. Nie ma warunku, aby filmy jednego gatunku były obok siebie. Możemy więc ustawiać wszystkie pięć filmów w dowolnej kolejności.
Odpowiedź: 120 możliwych kolejności.
Zadanie 11
Reprezentacja w piłce siatkowej składa się z 14 zawodników. Każdy mecz zaczyna się od prezentacji poszczególnych członków zespołu. Na ile sposobów można dokonać tej prezentacji?
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Prezentujemy wszystkich 14 różnych zawodników.
Krok 2. Pierwszego możemy wybrać na 14 sposobów, drugiego na 13, kolejnego na 12 itd., aż do jednego.
Krok 3. To permutacja 14 elementów.
Odpowiedź: 87 178 291 200 sposobów.
Zadanie 12
Ile różnych liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr 1, 3, 4, jeśli za każdym razem użyje się wszystkich cyfr?
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Uwaga: mamy trzy różne cyfry i cztery miejsca, więc jedna z cyfr musi wystąpić dwa razy. Pozostałe występują po jednym razie.
Krok 1. Wybieramy powtarzającą się cyfrę: 1, 3 albo 4 — 3 możliwości.
Krok 2. Ustawiamy cztery cyfry, z których dwie są identyczne. Wszystkich ustawień byłoby 4!, ale każde zostaje policzone 2! razy przez zamianę dwóch jednakowych cyfr.
Sposób 2 – Wypisywanie wszystkich możliwości
Mamy trzy cyfry: 1, 3, 4. Chcemy utworzyć liczbę czterocyfrową i wykorzystać wszystkie trzy cyfry, więc jedna z nich musi się powtórzyć.
Krok 1. Załóżmy, że powtarza się cyfra 1.
Otrzymujemy cyfry: 1, 1, 3, 4.
Wypiszmy wszystkie możliwości:
-
Zaczynające się od 1:
1134, 1143, 1314, 1341, 1413, 1431 – 6 liczb -
Zaczynające się od 3:
3114, 3141, 3411 – 3 liczby -
Zaczynające się od 4:
4113, 4131, 4311 – 3 liczby
Krok 2. Tak samo możemy postąpić, gdy powtarza się cyfra 3 lub cyfra 4. W każdym przypadku otrzymamy po 12 różnych liczb.
Mamy więc trzy możliwości wyboru powtarzającej się cyfry:
- Powtarza się 1 – 12 liczb.
- Powtarza się 3 – 12 liczb.
- Powtarza się 4 – 12 liczb.
Odpowiedź: Można utworzyć 36 różnych liczb czterocyfrowych.
Odpowiedź: 36 liczb.
Zadanie 13
W rajdzie rowerowym udział bierze 12 osób: 6 dziewcząt i 6 chłopców. Na ile sposobów mogą ustawić się uczestnicy rajdu jeden za drugim tak, aby żadna osoba nie jechała bezpośrednio za osobą tej samej płci?
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Aby dwie osoby tej samej płci nie jechały obok siebie, dziewczęta i chłopcy muszą jechać naprzemiennie. Są 2 schematy: D–C–D–C–… oraz C–D–C–D–…
Krok 2. Sześć różnych dziewcząt można ustawić na swoich miejscach na 6! = 720 sposobów.
Krok 3. Sześciu różnych chłopców także na 6! = 720 sposobów.
Krok 4. Mnożymy liczbę schematów przez możliwości ustawienia dziewcząt i chłopców.
Odpowiedź: 1 036 800 ustawień.
Zadanie 14
Oblicz:
a) 8! / 6!
b) 19! / 21!
c) 15! / (3! · 13!)
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Zasada: nie trzeba obliczać wielkich silni. Rozwijamy większą silnię tylko do momentu, w którym można skrócić wspólny czynnik.
a) Zapisujemy 8! = 8 · 7 · 6!.
b) Zapisujemy 21! = 21 · 20 · 19!.
c) Zapisujemy 15! = 15 · 14 · 13! oraz 3! = 6.
Odpowiedź: a) 56; b) 1420; c) 35.
Zadanie 15
Rozwiąż równanie, gdzie n jest dodatnią liczbą naturalną:
(n + 2)!n! − 7!5! = 2(n + 1)!n! − 6!4!
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zapisujemy równanie. Krok 2. Upraszczamy ułamki z silniami. Rozpisujemy silnie tak, aby można było je skrócić. Krok 3. Podstawiamy i rozwiązujemy równanie.
Krok 4. Rozkładamy trójmian na czynniki.
Szukamy dwóch liczb, których iloczyn wynosi −12,
a suma wynosi 1. Są to 4 i −3.
Ponieważ n jest dodatnią liczbą naturalną,
odrzucamy −4. Pozostaje n = 3.
Krok 5. Sprawdzenie L = P. Podstawiamy n = 3 do pierwotnego równania. Lewa strona (L): Prawa strona (P): Obie strony równania są równe, więc wynik jest poprawny.
Odpowiedź: n = 3.
−22 = −22
Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?
Umów bezpłatną lekcję próbną — wytłumaczę Ci wszystko krok po kroku.
Umów lekcję próbną