Okrąg to zbiór wszystkich punktów znajdujących się w tej samej odległości od jednego punktu – środka okręgu.
Tę odległość nazywamy promieniem i oznaczamy literą r.
Średnica przechodzi przez środek okręgu i ma długość dwóch promieni:
2. Długość okręgu
Długość całego okręgu obliczamy ze wzoru:
Ponieważ d=2r, możemy również użyć wzoru:
Przykład
Okrąg ma promień r=5 cm. Oblicz jego długość.
3. Łuk i kąt środkowy
Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku okręgu.
Ramiona kąta przecinają okrąg w dwóch punktach i wyznaczają łuk.
Długość łuku wyznaczonego przez kąt środkowy α obliczamy ze wzoru:
Przykład
Okrąg ma promień r=6 cm. Oblicz długość łuku wyznaczonego przez kąt środkowy 60°.
4. Wzajemne położenie dwóch okręgów
Mamy dwa okręgi o środkach O₁ i O₂ oraz promieniach r₁ i r₂.
Przez d oznaczamy odległość między ich środkami:
Porównując d z sumą promieni oraz różnicą promieni, możemy określić wzajemne położenie okręgów.
A. Okręgi rozłączne zewnętrznie
Okręgi mają 0 punktów wspólnych.
B. Okręgi styczne zewnętrznie
Okręgi mają 1 punkt wspólny.
C. Okręgi przecinające się
Okręgi mają 2 punkty wspólne.
D. Okręgi styczne wewnętrznie
Okręgi mają 1 punkt wspólny.
E. Okręgi rozłączne wewnętrznie
Okręgi mają 0 punktów wspólnych.
Podsumowanie
| Położenie | Warunek | Punkty wspólne |
|---|---|---|
| rozłączne zewnętrznie | d > r₁+r₂ | 0 |
| styczne zewnętrznie | d = r₁+r₂ | 1 |
| przecinające się | |r₁−r₂| < d < r₁+r₂ | 2 |
| styczne wewnętrznie | d = |r₁−r₂| | 1 |
| rozłączne wewnętrznie | d < |r₁−r₂| | 0 |
1. Odczytaj środki O₁, O₂ oraz promienie r₁ i r₂.
2. Oblicz odległość d między środkami.
3. Oblicz r₁+r₂ oraz |r₁−r₂|.
4. Porównaj otrzymane liczby.
5. Określ położenie okręgów i liczbę punktów wspólnych.
5. Zadania
Punkty A i B leżą na okręgu o średnicy 10 cm oraz |AB|=5 cm. Oblicz długość krótszego łuku AB.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Zaznaczamy środek okręgu O oraz punkty A i B. Łączymy środek okręgu z punktami A i B.
Średnica ma 10 cm, więc promień jest równy:
Zatem:
Z treści zadania wiemy również, że:
Czyli:
Trójkąt AOB ma wszystkie trzy boki tej samej długości. Jest więc trójkątem równobocznym.
Każdy jego kąt ma 60°, zatem:
Oblicz długość łuku okręgu o średnicy d wyznaczonego przez kąt środkowy α:
a) d=12 cm, α=75°
b) d=30 cm, α=15°
c) d=5 cm, α=330°
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ znamy średnicę, możemy skorzystać z zależności:
Czyli:
Łuk okręgu wyznaczony przez kąt środkowy o mierze 20° ma długość 2π cm. Oblicz średnicę tego okręgu.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Oblicz miarę kąta środkowego wyznaczającego na okręgu o średnicy 18 cm łuk o długości 4π cm.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Wyznacz wartości n, dla których okrąg o środku P(n,0) i promieniu r₁=5 oraz okrąg o środku Q=(−1,0) i promieniu r₂=3 są styczne:
a) zewnętrznie,
b) wewnętrznie.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Środek jednego okręgu jest ustalony:
Natomiast środek drugiego okręgu ma współrzędne:
Oba punkty mają współrzędną y=0, czyli leżą na osi OX.
Szukamy takich wartości n, czyli takich położeń punktu P na osi OX, aby okręgi były styczne.
Przy styczności zewnętrznej odległość między środkami jest równa sumie promieni:
Rysujemy sytuację w układzie współrzędnych
Punkt Q znajduje się w punkcie −1 na osi OX. Szukamy punktów oddalonych od niego o 8 jednostek.
Obliczenia
Odległość punktów P=(n,0) i Q=(−1,0) wynosi:
Wiemy, że przy styczności zewnętrznej d=8, więc:
Są dwie możliwości:
lub:
Przy styczności wewnętrznej odległość między środkami jest równa różnicy promieni:
Rysujemy sytuację w układzie współrzędnych
Punkt Q nadal znajduje się w punkcie −1. Szukamy teraz punktów na osi OX oddalonych od niego o 2 jednostki.
Obliczenia
Odległość między środkami wynosi:
Przy styczności wewnętrznej musi być równa 2:
Są dwie możliwości:
lub:
a) dla styczności zewnętrznej: n=7 lub n=−9
b) dla styczności wewnętrznej: n=1 lub n=−3
Narysuj w układzie współrzędnych okrąg o środku O₁ i promieniu r₁ oraz okrąg o środku O₂ i promieniu r₂. Podaj odległość między środkami tych okręgów. Ile mają one punktów wspólnych?
a) O₁=(−2,0), r₁=4, O₂=(−1,0), r₂=2
b) O₁=(0,−2), r₁=4, O₂=(0,3), r₂=1
c) O₁=(1,3), r₁=2, O₂=(4,3), r₂=5
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
1. Rysujemy okręgi
Najpierw zaznaczamy środki O₁=(−2,0) i O₂=(−1,0). Następnie rysujemy okręgi o promieniach 4 i 2.
2. Obliczamy odległość d
Oba środki leżą na osi OX, dlatego wystarczy obliczyć różnicę ich współrzędnych x:
3. Sprawdzamy położenie okręgów
Obliczamy różnicę promieni:
Porównujemy:
Mniejszy okrąg znajduje się wewnątrz większego, ale go nie dotyka.
d=1.
Okręgi są rozłączne wewnętrznie i mają 0 punktów wspólnych.
1. Rysujemy okręgi
Zaznaczamy środki O₁=(0,−2) i O₂=(0,3), a następnie rysujemy okręgi o promieniach 4 i 1.
2. Obliczamy odległość d
Oba środki mają x=0, więc leżą na osi OY. Porównujemy ich współrzędne y:
3. Sprawdzamy położenie okręgów
Obliczamy sumę promieni:
Otrzymaliśmy:
Jest to warunek styczności zewnętrznej. Okręgi dotykają się w jednym punkcie.
d=5.
Okręgi są styczne zewnętrznie i mają 1 punkt wspólny.
1. Rysujemy okręgi
Zaznaczamy środki O₁=(1,3) i O₂=(4,3). Mają tę samą współrzędną y, więc leżą na jednej poziomej prostej.
2. Obliczamy odległość d
Oba środki mają y=3, dlatego wystarczy obliczyć różnicę współrzędnych x:
3. Sprawdzamy położenie okręgów
Obliczamy różnicę promieni:
Otrzymaliśmy:
Jest to warunek styczności wewnętrznej. Mniejszy okrąg znajduje się wewnątrz większego i dotyka go w jednym punkcie.
d=3.
Okręgi są styczne wewnętrznie i mają 1 punkt wspólny.