Obliczanie granicy w punkcie

Wiemy już, czym jest granica funkcji w punkcie. Teraz zajmiemy się jej obliczaniem. W wielu przykładach wystarczy podstawić liczbę, do której dąży \(x\). Czasami jednak po podstawieniu otrzymamy symbol nieoznaczony i wtedy wyrażenie trzeba najpierw odpowiednio przekształcić.

Najważniejsza zasada na początek: gdy masz obliczyć granicę funkcji w punkcie, najpierw sprawdź, co otrzymasz po podstawieniu \(x=x_0\).

Podstawowe działania na granicach

Na granicach możemy wykonywać podstawowe działania podobnie jak na liczbach. Jeżeli istnieją granice \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) oraz \(\lim_{x\to x_0}g(x)\), możemy korzystać z następujących własności.

Suma

\[ \lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)] = \lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x) \]

Różnica

\[ \lim_{x\to x_0}[f(x)-g(x)] = \lim_{x\to x_0}f(x) – \lim_{x\to x_0}g(x) \]

Iloczyn

\[ \lim_{x\to x_0}[f(x)\cdot g(x)] = \lim_{x\to x_0}f(x) \cdot \lim_{x\to x_0}g(x) \]

Stała przed funkcją

\[ \lim_{x\to x_0}[c\cdot f(x)] = c\cdot\lim_{x\to x_0}f(x) \]

Iloraz

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)} {\lim\limits_{x\to x_0}g(x)} \]

W przypadku ilorazu musimy dodatkowo mieć pewność, że granica mianownika nie jest równa zero.

Nie musisz za każdym razem rozpisywać wszystkich tych własności. W typowych zadaniach szkolnych korzystamy z nich bezpośrednio, podstawiając odpowiednią wartość.

Granica wielomianu

Jeżeli funkcja jest wielomianem, obliczenie granicy w punkcie jest bardzo proste. Wystarczy w miejsce \(x\) podstawić liczbę, do której \(x\) dąży.

Jeżeli \(W(x)\) jest wielomianem, to: \[ \boxed{\lim_{x\to x_0}W(x)=W(x_0)} \]

Przykład 1

Obliczmy:

\[ \lim_{x\to-2}(x^3+4x^2-3x+5). \]

Mamy wielomian, więc podstawiamy \(x=-2\):

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to-2}(x^3+4x^2-3x+5) &= (-2)^3+4(-2)^2-3(-2)+5\\ &= -8+16+6+5\\ &= 19. \end{aligned} \]

Zatem:

\[ \boxed{19} \]

Granica funkcji wymiernej

Jeżeli mamy ułamek, również zaczynamy od podstawienia \(x=x_0\). Jeżeli mianownik po podstawieniu jest różny od zera, granicę możemy obliczyć bez żadnych dodatkowych przekształceń.

Przykład 2

Obliczmy:

\[ \lim_{x\to2}\frac{3x+5}{x^2+1}. \]

Podstawiamy \(x=2\):

\[ \frac{3\cdot2+5}{2^2+1} = \frac{11}{5}. \]

Mianownik nie jest równy zero, więc:

\[ \boxed{ \lim_{x\to2}\frac{3x+5}{x^2+1} = \frac{11}{5} } \]

Co zrobić, gdy nie możemy od razu podać wyniku?

Nie zawsze bezpośrednie podstawienie wystarczy. Czasami otrzymamy tak zwany symbol nieoznaczony.

Najczęściej spotykane symbole nieoznaczone to:

\[ \boxed{ \frac00,\qquad \frac{\infty}{\infty},\qquad 0\cdot\infty,\qquad \infty-\infty,\qquad 1^\infty,\qquad 0^0,\qquad \infty^0 } \]
Symbol nieoznaczony nie jest wynikiem granicy. Oznacza jedynie, że samo podstawienie nie wystarcza do ustalenia wyniku. Wyrażenie trzeba najpierw odpowiednio przekształcić.

W granicach funkcji w skończonym punkcie bardzo często spotkamy symbol \(\frac00\). To właśnie na nim skupimy się teraz najbardziej.

Symbol \(\frac00\) – rozkład na czynniki

Przykład 3

Obliczmy:

\[ \lim_{x\to3} \frac{x^2-5x+6}{x^2-9}. \]

Zaczynamy od podstawienia \(x=3\):

\[ \frac{3^2-5\cdot3+6}{3^2-9} = \frac{9-15+6}{9-9} = \frac00. \]

Otrzymaliśmy symbol nieoznaczony, dlatego musimy przekształcić licznik i mianownik.

Rozkładamy licznik:

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]

Mianownik jest różnicą kwadratów:

\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]

Wracamy do granicy:

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to3} \frac{x^2-5x+6}{x^2-9} &= \lim_{x\to3} \frac{(x-2)(x-3)} {(x-3)(x+3)}\\[5pt] &= \lim_{x\to3} \frac{x-2}{x+3}\\[5pt] &= \frac{3-2}{3+3}\\[5pt] &= \frac16. \end{aligned} \]

Zatem:

\[ \boxed{\frac16} \]
Ważne: jeżeli po podstawieniu otrzymujesz \(\frac00\), poszukaj wspólnego czynnika w liczniku i mianowniku. Często można go znaleźć przez rozkład wielomianów lub zastosowanie wzorów skróconego mnożenia.

Wyłączanie wspólnego czynnika

Nie zawsze trzeba rozkładać wielomian za pomocą delty. Czasami wspólny czynnik widać od razu.

Przykład 4

Obliczmy:

\[ \lim_{x\to0} \frac{x^2-6x}{x}. \]

Po podstawieniu otrzymujemy:

\[ \frac{0}{0}. \]

Wyłączamy \(x\) przed nawias w liczniku:

\[ x^2-6x=x(x-6). \]

Teraz:

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to0} \frac{x^2-6x}{x} &= \lim_{x\to0} \frac{x(x-6)}{x}\\[4pt] &= \lim_{x\to0}(x-6)\\[4pt] &= 0-6\\[4pt] &= -6. \end{aligned} \]
\[ \boxed{-6} \]

Granice z pierwiastkami

Jeżeli w wyrażeniu występuje pierwiastek, nadal najpierw próbujemy zwykłego podstawienia.

Przykład 5

Obliczmy:

\[ \lim_{x\to4}\sqrt{x+5}. \]

Podstawiamy \(x=4\):

\[ \sqrt{4+5} = \sqrt9 = 3. \]

Zatem:

\[ \boxed{ \lim_{x\to4}\sqrt{x+5}=3 } \]

Usuwanie niewymierności

Ciekawsza sytuacja pojawia się wtedy, gdy po podstawieniu do wyrażenia zawierającego pierwiastek otrzymujemy \(\frac00\).

W takich przykładach często korzystamy z wyrażenia sprzężonego.

Wyrażeniem sprzężonym do \(\sqrt{A}-B\) jest \(\sqrt{A}+B\). Korzystamy wtedy ze wzoru: \[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. \]

Przykład 6

Obliczmy:

\[ \lim_{x\to3} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}. \]

Najpierw podstawiamy \(x=3\):

\[ \frac{\sqrt{3+1}-2}{3-3} = \frac{2-2}{0} = \frac00. \]

Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone \(\sqrt{x+1}+2\):

\[ \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2}. \]

W liczniku możemy zastosować wzór \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\):

\[ (\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2) = (x+1)-4 = x-3. \]

Otrzymujemy więc:

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to3} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3} &= \lim_{x\to3} \frac{x-3} {(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}\\[5pt] &= \lim_{x\to3} \frac{1}{\sqrt{x+1}+2}\\[5pt] &= \frac{1}{\sqrt4+2}\\[5pt] &= \frac14. \end{aligned} \]
\[ \boxed{\frac14} \]

Jak rozpoznać, co zrobić?

Krok 1. Podstaw \(x=x_0\).

Jeżeli otrzymujesz zwykłą liczbę, jest to wartość granicy.

Krok 2. Jeżeli otrzymujesz \(\frac00\), nie kończ obliczeń.

Sprawdź, czy możesz:

  • wyłączyć wspólny czynnik przed nawias,
  • rozłożyć wielomiany na czynniki,
  • zastosować wzór skróconego mnożenia,
  • pomnożyć przez wyrażenie sprzężone, jeśli występuje pierwiastek.

Krok 3. Uprość wyrażenie.

Po przekształceniu spróbuj ponownie podstawić \(x=x_0\).

Zadania

Zadanie 1

Oblicz granicę:

\[ \lim_{x\to2}(4x^3-3x^2+2x-5). \]
Pokaż rozwiązanie

Mamy wielomian, dlatego możemy bezpośrednio podstawić \(x=2\):

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to2}(4x^3-3x^2+2x-5) &= 4\cdot2^3-3\cdot2^2+2\cdot2-5\\ &= 32-12+4-5\\ &= 19. \end{aligned} \]
\[ \boxed{19} \]
Zadanie 2

Oblicz granicę:

\[ \lim_{x\to-1} \frac{x^2+3x+5}{x^2+2}. \]
Pokaż rozwiązanie

Zaczynamy od podstawienia \(x=-1\):

\[ \frac{(-1)^2+3(-1)+5}{(-1)^2+2} = \frac{1-3+5}{1+2} = \frac33 = 1. \]

Mianownik nie jest równy zero, więc nie musimy wykonywać żadnych dodatkowych przekształceń.

\[ \boxed{1} \]
Zadanie 3

Oblicz granicę:

\[ \lim_{x\to4} \frac{x^2-5x+4}{x^2-16}. \]
Pokaż rozwiązanie

Najpierw podstawiamy \(x=4\):

\[ \frac{16-20+4}{16-16} = \frac00. \]

Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki:

\[ x^2-5x+4=(x-1)(x-4) \]
\[ x^2-16=(x-4)(x+4). \]

Teraz wracamy do granicy i skracamy wspólny czynnik:

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to4} \frac{x^2-5x+4}{x^2-16} &= \lim_{x\to4} \frac{(x-1)(x-4)} {(x-4)(x+4)}\\[5pt] &= \lim_{x\to4} \frac{x-1}{x+4}\\[5pt] &= \frac{4-1}{4+4}\\[5pt] &= \frac38. \end{aligned} \]
\[ \boxed{\frac38} \]
Zadanie 4

Oblicz granicę:

\[ \lim_{x\to0} \frac{x^2+5x}{x}. \]
Pokaż rozwiązanie

Po podstawieniu \(x=0\) otrzymujemy:

\[ \frac00. \]

Wyłączamy \(x\) przed nawias:

\[ x^2+5x=x(x+5). \]

Teraz:

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to0} \frac{x^2+5x}{x} &= \lim_{x\to0} \frac{x(x+5)}{x}\\ &= \lim_{x\to0}(x+5)\\ &= 5. \end{aligned} \]
\[ \boxed{5} \]
Zadanie 5

Oblicz granicę:

\[ \lim_{x\to5} \frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5}. \]
Pokaż rozwiązanie

Po podstawieniu \(x=5\):

\[ \frac{\sqrt9-3}{0} = \frac00. \]

Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone:

\[ \frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5} \cdot \frac{\sqrt{x+4}+3}{\sqrt{x+4}+3}. \]

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:

\[ (\sqrt{x+4}-3)(\sqrt{x+4}+3) = x+4-9 = x-5. \]

Zatem:

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to5} \frac{\sqrt{x+4}-3}{x-5} &= \lim_{x\to5} \frac{x-5} {(x-5)(\sqrt{x+4}+3)}\\[5pt] &= \lim_{x\to5} \frac{1}{\sqrt{x+4}+3}\\[5pt] &= \frac{1}{3+3}\\[5pt] &= \frac16. \end{aligned} \]
\[ \boxed{\frac16} \]
Zadanie 6

Oblicz granicę:

\[ \lim_{x\to-2} \frac{x^2+5x+6}{x^2+4x+4}. \]
Pokaż rozwiązanie

Po podstawieniu \(x=-2\) otrzymujemy:

\[ \frac00. \]

Rozkładamy licznik i mianownik:

\[ x^2+5x+6=(x+2)(x+3), \]
\[ x^2+4x+4=(x+2)^2. \]

Po skróceniu jednego czynnika \(x+2\) otrzymujemy:

\[ \frac{x+3}{x+2}. \]

W tym miejscu nie otrzymujemy już zwykłej liczby po podstawieniu. Mianownik nadal dąży do zera.

Uwaga: samo usunięcie symbolu \(\frac00\) nie zawsze oznacza, że otrzymamy skończoną granicę. W takich sytuacjach trzeba zbadać zachowanie funkcji z lewej i z prawej strony punktu.

Ten typ granic będziemy dokładniej analizować przy granicach niewłaściwych.

Granica lewostronna

Gdy \(x\to -2^-\), bierzemy liczby mniejsze od \(-2\), na przykład \(-2{,}1\), \(-2{,}01\), \(-2{,}001\).

\[ \lim_{x\to -2^-}\frac{x+3}{x+2} = \frac{1}{0^-} = -\infty \]

Granica prawostronna

Gdy \(x\to -2^+\), bierzemy liczby większe od \(-2\), na przykład \(-1{,}9\), \(-1{,}99\), \(-1{,}999\).

\[ \lim_{x\to -2^+}\frac{x+3}{x+2} = \frac{1}{0^+} = +\infty \]
Wniosek: granice jednostronne są różne, dlatego granica obustronna w punkcie \(x=-2\) nie istnieje.

Zapamiętaj

1. Zawsze zacznij od podstawienia. Jeżeli otrzymasz zwykłą liczbę, najczęściej jest to już wynik granicy.

2. Dla wielomianu wystarczy obliczyć jego wartość w punkcie.

3. W funkcji wymiernej możemy bezpośrednio podstawić \(x_0\), jeżeli mianownik po podstawieniu jest różny od zera.

4. \(\frac00\) nie jest wynikiem. Jest symbolem nieoznaczonym i oznacza, że wyrażenie trzeba przekształcić.

5. Przy \(\frac00\) szukaj możliwości skrócenia. Rozłóż wielomiany na czynniki, wyłącz wspólny czynnik albo zastosuj wzory skróconego mnożenia.

6. Przy pierwiastkach pamiętaj o wyrażeniu sprzężonym. Często pozwala ono usunąć symbol \(\frac00\).

7. Po przekształceniu ponownie spróbuj podstawić \(x=x_0\).

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?

Umów bezpłatną lekcję próbną — wytłumaczę Ci wszystko krok po kroku.

Umów lekcję próbną