W poprzedniej lekcji szukaliśmy maksimów i minimów lokalnych, czyli sprawdzaliśmy, co dzieje się z funkcją w pobliżu danego punktu.
Teraz interesuje nas coś trochę innego: największa i najmniejsza wartość funkcji w całym podanym przedziale.
Spośród wszystkich wartości, które funkcja przyjmuje w danym przedziale, chcemy znaleźć po prostu największą i najmniejszą.
1. Co oznacza wartość największa i najmniejsza?
Wartość największa
To największa wartość funkcji, jaką funkcja rzeczywiście przyjmuje w podanym przedziale.
Może być przyjmowana dla jednego albo kilku argumentów.
Wartość najmniejsza
To najmniejsza wartość funkcji, jaką funkcja rzeczywiście przyjmuje w podanym przedziale.
Również może być przyjmowana dla jednego albo kilku argumentów.
Jeżeli badamy funkcję w przedziale domkniętym ⟨a;b⟩, musimy sprawdzić trzy rodzaje miejsc:
Największa albo najmniejsza wartość może więc wypaść na początku przedziału, na jego końcu albo w punkcie krytycznym pomiędzy nimi.
Dlatego nie wystarczy znaleźć ekstremów lokalnych. Trzeba jeszcze obliczyć wartości funkcji na obu końcach przedziału i porównać wszystkie wyniki.
2. Dlaczego w przedziale domkniętym to działa?
Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym ⟨a;b⟩, to w tym przedziale przyjmuje zarówno wartość najmniejszą, jak i wartość największą.
Nie musimy zastanawiać się, czy największa i najmniejsza wartość istnieją. Musimy tylko znaleźć miejsca, w których mogą wystąpić, i porównać wartości funkcji.
3. Schemat rozwiązania
- Liczymy pochodną f′(x).
- Wyznaczamy punkty krytyczne wewnątrz przedziału. Są to punkty związane z ekstremami lokalnymi z poprzedniej lekcji — czyli miejsca, które mogą być kandydatami na lokalne maksimum lub minimum.
- Obliczamy wartości funkcji w punktach krytycznych oraz na obu końcach przedziału.
- Porównujemy otrzymane liczby. Najmniejsza z nich jest wartością najmniejszą funkcji, a największa — wartością największą.
Znalezienie ekstremów lokalnych nie kończy zadania. Wartość największa lub najmniejsza może znajdować się na którymś z końców przedziału.
4. Przykład — przedział domknięty
x∈⟨−1;4⟩
Oba punkty znajdują się wewnątrz przedziału ⟨−1;4⟩, więc oba musimy sprawdzić.
Sprawdzamy oba punkty krytyczne oraz oba końce przedziału:
| x | −1 | 1 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| f(x) | −16 | 4 | 0 | 4 |
Najmniejsza z otrzymanych wartości to −16.
Największa z otrzymanych wartości to 4.
wartość najmniejsza wynosi −16 i jest przyjmowana dla x=−1.
wartość największa wynosi 4 i jest przyjmowana dla x=1 oraz x=4.
Jak to wygląda na wykresie?
5. Co zmienia się w przedziale otwartym?
W przedziale otwartym (a;b) punkty a i b nie należą do przedziału.
Funkcja może więc zbliżać się do pewnej wartości coraz bardziej, ale nigdy jej nie osiągnąć.
Przedział domknięty
Sprawdzamy:
lewy koniec + punkty krytyczne + prawy koniec.
Przedział otwarty
Oprócz punktów krytycznych trzeba zadać pytanie:
6. Przykład — przedział otwarty
Do przedziału (−2;0) należy tylko x=−1.
Gdy x zbliża się do −2 od prawej strony, wartości funkcji zbliżają się do:
Jednak x=−2 nie należy do przedziału, więc sama wartość wynikająca z tego końca nie jest tam przyjmowana.
Natomiast gdy x zbliża się do 0 od lewej strony, funkcja przyjmuje coraz mniejsze wartości i spada bez ograniczeń:
wartość największa wynosi −2 i jest przyjmowana dla x=−1.
Wartość najmniejsza nie istnieje.
7. Zadania
Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji f(x)=x2−4x+5 w przedziale ⟨0;4⟩.
Pokaż rozwiązanie
f(2)=1
f(4)=5
wartość najmniejsza: 1 dla x=2,
wartość największa: 5 dla x=0 i x=4.
Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji f(x)=x3−3x2+2 w przedziale ⟨−1;3⟩.
Pokaż rozwiązanie
f(0)=2
f(2)=−2
f(3)=2
wartość najmniejsza: −2 dla x=−1 i x=2,
wartość największa: 2 dla x=0 i x=3.
Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji f(x)=x4−4x w przedziale ⟨0;2⟩.
Pokaż rozwiązanie
f(1)=−3
f(2)=8
wartość najmniejsza: −3 dla x=1,
wartość największa: 8 dla x=2.
Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji f(x)= 1 1+x2 w przedziale ⟨1;3⟩.
Pokaż rozwiązanie
Pochodna jest równa zero dla x=0, ale ten punkt nie należy do przedziału ⟨1;3⟩.
Wewnątrz przedziału nie mamy więc żadnego punktu krytycznego.
f(3)= 1 10
wartość największa: 1/2 dla x=1,
wartość najmniejsza: 1/10 dla x=3.
Sprawdź, czy funkcja f(x)=(x−1)2 ma wartość najmniejszą i największą w przedziale (0;3).
Pokaż rozwiązanie
Funkcja rzeczywiście przyjmuje tę wartość, więc 0 jest wartością najmniejszą.
Gdy x zbliża się do 3 od lewej strony, wartość funkcji zbliża się do:
Jednak x=3 nie należy do przedziału. Funkcja może przyjmować wartości dowolnie bliskie 4, ale nigdy nie przyjmuje samej wartości 4.
wartość najmniejsza wynosi 0 dla x=1.
Wartość największa nie istnieje.
Dla jakich wartości parametru m równanie x4−10x2+9=m ma rozwiązanie w przedziale ⟨−1;2⟩?
Pokaż rozwiązanie
Szukamy wszystkich wartości, które ta funkcja może przyjąć w przedziale ⟨−1;2⟩. Właśnie takie wartości może mieć parametr m.
Do przedziału ⟨−1;2⟩ należy tylko x=0.
f(0)=9
f(2)=−15
Funkcja przyjmuje wszystkie wartości od swojej wartości najmniejszej do wartości największej.
Dla jakich wartości parametru m równanie 2sin3x−3sin x=m ma rozwiązanie?
Pokaż rozwiązanie
Równanie ma rozwiązanie wtedy, gdy liczba m jest jedną z wartości przyjmowanych przez funkcję f.
Musimy więc znaleźć wartość najmniejszą i największą tej funkcji.
Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z jego czynników jest równy zero.
lub
Tak. Mimo że cos x nie występuje w pierwotnym równaniu, pojawił się w pochodnej.
Jeżeli cos x=0, to również f′(x)=0, dlatego tych punktów nie wolno pominąć.
Z warunku cos x=0 otrzymujemy:
Z drugiego warunku:
Nie.
Spójrz na pierwotną funkcję:
W całym wzorze występuje tylko sin x.
Skoro znamy już wartość sin x, to do obliczenia wartości funkcji nie potrzebujemy wiedzieć, jakie dokładnie jest x.
Możemy od razu podstawić znalezioną wartość sin x do funkcji.
A wartość funkcji jest właśnie tym, co może pojawić się po prawej stronie równania, czyli naszym m.
Dla sin x=1:
Dla sin x=−1:
Dla sin x= √2 2 :
Dla sin x=− √2 2 :
Najmniejsza wartość funkcji wynosi:
Największa wartość funkcji wynosi:
Oznacza to, że równanie ma rozwiązanie dokładnie dla tych wartości m, które znajdują się pomiędzy nimi.
8. Podsumowanie
1. Liczymy pochodną.
2. Szukamy punktów krytycznych wewnątrz przedziału.
3. Obliczamy wartości funkcji w punktach krytycznych oraz na obu końcach przedziału.
4. Porównujemy wszystkie wyniki.
Końce przedziału do niego nie należą. Dlatego trzeba sprawdzić nie tylko, do jakich wartości funkcja się zbliża, ale przede wszystkim czy rzeczywiście je przyjmuje.
Maksimum lub minimum lokalne nie musi być wartością największą lub najmniejszą w całym przedziale.
Zawsze patrzymy na cały badany przedział.