W tej lekcji nauczysz się mnożyć i dzielić ułamki algebraiczne. Zaczniemy od prostych działań, a następnie przejdziemy do wyrażeń, w których trzeba wykorzystać wzory skróconego mnożenia, wyłączenie wspólnego czynnika lub deltę. Każde trudniejsze przejście zostanie dokładnie wyjaśnione.
1. Mnożenie ułamków algebraicznych — zasada
Mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego, a mianownik przez mianownik. Przed mnożeniem warto rozłożyć wielomiany na czynniki, aby uprościć działanie.
AB · CD = A · CB · D (B ≠ 0, D ≠ 0)
Ważne: nie musisz od razu rozwijać wszystkich nawiasów! Najczęściej łatwiej pozostawić je w postaci iloczynu i skrócić wspólne czynniki licznika oraz mianownika.
2. Co zrobić przed skracaniem?
| Krok | Co robi uczeń? |
|---|
| 1 | Patrzy na oryginalne mianowniki i wyznacza dziedzinę. |
| 2 | Rozkłada liczniki i mianowniki na czynniki: wspólny czynnik, wzór skróconego mnożenia lub delta. |
| 3 | Zapisuje iloczyn w postaci jednego ułamka. |
| 4 | Skraca takie same czynniki licznika i mianownika. |
| 5 | Zapisuje wynik razem z wcześniejszą dziedziną (wykluczenia nie znikają). |
Przypomnienie. Jak rozkładać wielomiany na czynniki?1. Wyłączenie wspólnego czynnika: sprawdź, czy wszystkie wyrazy mają np. czynnik x albo wspólną liczbę.
3x² + 6x = 3x(x + 2)
2. Różnica kwadratów: gdy widzisz odejmowanie dwóch kwadratów, użyj wzoru.
a² − b² = (a − b)(a + b)
x² − 16 = x² − 4² = (x − 4)(x + 4)
3. Kwadrat sumy lub różnicy: rozpoznaj pierwszy i ostatni kwadrat oraz podwojony iloczyn w środku.
a² − 2ab + b² = (a − b)²
x² − 8x + 16 = x² − 2 · x · 4 + 4² = (x − 4)²
4. Suma lub różnica sześcianów: te wzory są przydatne przy wielomianach trzeciego stopnia.
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
5. Trójmian kwadratowy: jeżeli nie rozpoznajesz gotowego wzoru, możesz policzyć deltę.
Δ = b² − 4ac
x₁ = −b − √Δ2a x₂ = −b + √Δ2a
Dla Δ > 0 zapisujesz a(x − x₁)(x − x₂). Dla Δ = 0 otrzymujesz a(x − x₀)². Przy Δ < 0 nie ma rzeczywistych pierwiastków i nie ma takiego rozkładu na rzeczywiste czynniki liniowe.
Nie skracamy składników sumy! Skrócić można wspólny czynnik całego licznika i mianownika, ale nie pojedyncze wyrazy połączone znakiem + lub −. Na przykład x + 2x + 5 nie można skrócić przez x. Najpierw trzeba znaleźć iloczyny czynników.
3. Mnożenie — przykłady krok po kroku
Przykład 1. Różnica kwadratów i suma sześcianów
3xx² − 1 · x³ + 13x − 6
Krok 1. Rozkładamy każdy wielomian, w którym to możliwe.W pierwszym mianowniku widzimy różnicę kwadratów: x² − 1².
x² − 1 = (x − 1)(x + 1)
W drugim liczniku jest suma sześcianów: x³ + 1³. Podstawiamy a = x, b = 1 do wzoru.
x³ + 1 = (x + 1)(x² − x + 1)
Z drugiego mianownika wyłączamy wspólną liczbę 3:
3x − 6 = 3(x − 2)
Krok 2. Ustalamy dziedzinę z pierwotnych mianowników.Każdy czynnik mianownika musi być różny od zera:
x − 1 ≠ 0, x + 1 ≠ 0, x − 2 ≠ 0
D = ℝ ∖ {−1, 1, 2}
Krok 3. Podstawiamy rozkłady i łączymy ułamki.3x(x − 1)(x + 1) · (x + 1)(x² − x + 1)3(x − 2)
= 3x(x + 1)(x² − x + 1)3(x − 1)(x + 1)(x − 2)
Krok 4. Skracamy wspólne czynniki.Liczba 3 występuje w liczniku i mianowniku jako czynnik. Podobnie nawias (x + 1). Możemy je skrócić, ponieważ w dziedzinie x + 1 ≠ 0.
= x(x² − x + 1)(x − 1)(x − 2)
Nie zmieniamy dziedziny, choć czynnik (x + 1) zniknął z wyniku.
Wynik: x(x² − x + 1)(x − 1)(x − 2), gdzie D = ℝ ∖ {−1, 1, 2}.
Przykład 2. Rozkład za pomocą delty i wzorów
2x² − 10x + 8x² − 8x + 16 · x² − 162x − 2
Krok 1. Rozkładamy pierwszy licznik za pomocą delty.Trójmian 2x² − 10x + 8 ma współczynniki a = 2, b = −10, c = 8.
Δ = (−10)² − 4 · 2 · 8 = 100 − 64 = 36
Pierwiastek z delty wynosi 6. Obliczamy miejsca zerowe:
x₁ = 10 − 62 · 2 = 44 = 1
x₂ = 10 + 62 · 2 = 164 = 4
Podstawiamy do wzoru a(x − x₁)(x − x₂) — pamiętamy o współczynniku a = 2!
2x² − 10x + 8 = 2(x − 1)(x − 4)
Krok 2. Rozkładamy pozostałe trzy wyrażenia.Pierwszy mianownik to kwadrat różnicy:
x² − 8x + 16 = x² − 2 · x · 4 + 4² = (x − 4)²
Drugi licznik to różnica kwadratów:
x² − 16 = (x − 4)(x + 4)
Z drugiego mianownika wyłączamy liczbę 2:
2x − 2 = 2(x − 1)
Krok 3. Wyznaczamy dziedzinę.Pierwotne mianowniki nie mogą być zerowe: (x − 4)² ≠ 0 i 2(x − 1) ≠ 0.
D = ℝ ∖ {1, 4}
Krok 4. Zapisujemy działanie w postaci iloczynu czynników.2(x − 1)(x − 4)(x − 4)² · (x − 4)(x + 4)2(x − 1)
= 2(x − 1)(x − 4)(x − 4)(x + 4)(x − 4)(x − 4) · 2(x − 1)
Krok 5. Skracamy kolejno wspólne czynniki.Skracamy liczbę 2, nawias (x − 1) i oba czynniki (x − 4).
= x + 4
To, że wynik jest prostym wyrażeniem, nie oznacza, że wolno podstawić 1 albo 4.
Wynik: x + 4, gdzie D = ℝ ∖ {1, 4}.
Przykład 3. Wynik 1 nie oznacza pełnej dziedziny
x² + 5x + 6x² − 9 · x − 3x + 2
Krok 1. Rozkładamy licznik pierwszego ułamka.Jeżeli nie dostrzegasz od razu liczb, których suma to 5, a iloczyn to 6, policz deltę dla x² + 5x + 6:
a = 1, b = 5, c = 6
Δ = 5² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
x₁ = −5 − 12 = −3
x₂ = −5 + 12 = −2
x² + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
Krok 2. Rozkładamy mianownik ze wzoru na różnicę kwadratów.x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3)
Krok 3. Wyznaczamy dziedzinę obu oryginalnych ułamków.x ≠ 3, x ≠ −3, x ≠ −2
D = ℝ ∖ {−3, −2, 3}
Krok 4. Podstawiamy rozkłady i skracamy.(x + 3)(x + 2)(x − 3)(x + 3) · x − 3x + 2
= (x + 3)(x + 2)(x − 3)(x − 3)(x + 3)(x + 2) = 1
Wszystkie czynniki się skracają, ale trzy wykluczone wartości x nadal pozostają wykluczone.
Wynik: 1, gdzie D = ℝ ∖ {−3, −2, 3}.
4. Dzielenie ułamków algebraicznych — odwracamy drugi ułamek
Aby podzielić jeden ułamek przez drugi, pozostawiamy pierwszy ułamek bez zmian, a w drugim zamieniamy miejscami licznik i mianownik. Następnie mnożymy.
AB : CD = AB · DC
Uwaga: przy dzieleniu dochodzi dodatkowy warunek. Oprócz pierwotnych mianowników licznik drugiego ułamka też musi być różny od zera, bo nie wolno dzielić przez zero. Dla powyższego wzoru wymagamy B ≠ 0, D ≠ 0, C ≠ 0.
Dlaczego licznik dzielnika jest ważny? Rozważ 1x − 1 : x + 2x + 4. Pierwszy mianownik daje x ≠ 1, drugi x ≠ −4. Dodatkowo cały drugi ułamek musi być niezerowy, więc x + 2 ≠ 0, czyli x ≠ −2. Dopiero wtedy bezpiecznie odwracamy drugi ułamek.
5. Dzielenie — przykłady krok po kroku
Przykład 4. Dzielenie z dodatkowym wykluczeniem z dziedziny
x² − 252x³ + 8x² : x + 53x² + 12x
Krok 1. Rozkładamy wszystkie wielomiany, które się da.W pierwszym liczniku widzimy różnicę kwadratów:
x² − 25 = x² − 5² = (x − 5)(x + 5)
Z pierwszego mianownika wyłączamy 2x²:
2x³ + 8x² = 2x²(x + 4)
Z drugiego mianownika wyłączamy 3x:
3x² + 12x = 3x(x + 4)
Krok 2. Dziedzina — trzy warunki, nie tylko dwa.Pierwszy mianownik: 2x²(x + 4) ≠ 0, czyli x ≠ 0 i x ≠ −4.
Drugi mianownik: 3x(x + 4) ≠ 0 — dostajemy te same ograniczenia.
Ale dzielnik nie może być zerem, więc jego licznik x + 5 ≠ 0, czyli x ≠ −5.
D = ℝ ∖ {−5, −4, 0}
Krok 3. Zapisujemy podzielone ułamki z rozkładami.(x − 5)(x + 5)2x²(x + 4) : x + 53x(x + 4)
Krok 4. Zamieniamy dzielenie na mnożenie.Pierwszy ułamek pozostaje bez zmian, w drugim zamieniamy licznik z mianownikiem:
(x − 5)(x + 5)2x²(x + 4) · 3x(x + 4)x + 5
Krok 5. Łączymy czynniki i skracamy.= (x − 5)(x + 5) · 3x(x + 4)2x²(x + 4)(x + 5)
Skracamy (x + 5), (x + 4) oraz jedną literę x z x².
= 3(x − 5)2x
Wynik: 3(x − 5)2x, gdzie D = ℝ ∖ {−5, −4, 0}.
Przykład 5. Delta i kwadrat sumy przy dzieleniu
3x² + 3x2x − 5 : x² + 2x + 12x² − 3x − 5
Krok 1. Rozkładamy licznik pierwszego ułamka.W wyrażeniu 3x² + 3x oba wyrazy mają wspólny czynnik 3x.
3x² + 3x = 3x(x + 1)
Krok 2. Rozpoznajemy kwadrat sumy w liczniku drugiego ułamka.x² + 2x + 1 = x² + 2 · x · 1 + 1² = (x + 1)²
Krok 3. Rozkładamy drugi mianownik przez deltę.Dla trójmianu 2x² − 3x − 5 mamy a = 2, b = −3, c = −5.
Δ = (−3)² − 4 · 2 · (−5) = 9 + 40 = 49
x₁ = 3 − 74 = −1
x₂ = 3 + 74 = 52
Korzystając z postaci iloczynowej a(x − x₁)(x − x₂):
2(x + 1)(x − 52) = (x + 1)(2x − 5)
Krok 4. Wyznaczamy dziedzinę z oryginalnego działania.Pierwszy mianownik daje 2x − 5 ≠ 0. Mianownik drugiego ułamka ma czynniki (x + 1)(2x − 5). Dodatkowo licznik dzielnika (x + 1)² nie może być zerem.
x ≠ −1, x ≠ 52
D = ℝ ∖ {−1, 52}
Krok 5. Odwracamy drugi ułamek i mnożymy.3x(x + 1)2x − 5 : (x + 1)²(x + 1)(2x − 5)
= 3x(x + 1)2x − 5 · (x + 1)(2x − 5)(x + 1)²
Krok 6. Skracamy wspólne czynniki.Skracamy (2x − 5) oraz dwa czynniki (x + 1) w liczniku i mianowniku.
= 3x
Wynik: 3x, gdzie D = ℝ ∖ {−1, 52}.
Przykład 6. Dlaczego nie wolno zgubić wykluczeń?
x² − 4x² + x − 6 : x + 2x − 2
Krok 1. Rozkładamy licznik pierwszego ułamka.To różnica kwadratów:
x² − 4 = (x − 2)(x + 2)
Krok 2. Rozkładamy mianownik przez deltę.Dla trójmianu x² + x − 6: a = 1, b = 1, c = −6.
Δ = 1² − 4 · 1 · (−6) = 1 + 24 = 25
x₁ = −1 − 52 = −3
x₂ = −1 + 52 = 2
x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2)
Krok 3. Wyznaczamy pełną dziedzinę.Pierwszy mianownik daje x ≠ −3, x ≠ 2. Mianownik drugiego ułamka wyklucza x = 2. Licznik dzielnika wyklucza x = −2.
D = ℝ ∖ {−3, −2, 2}
Krok 4. Odwracamy dzielnik.(x − 2)(x + 2)(x + 3)(x − 2) · x − 2x + 2
Krok 5. Skracamy i zapisujemy wynik.= (x − 2)(x + 2)(x − 2)(x + 3)(x − 2)(x + 2)
= x − 2x + 3
Nawet jeśli końcowy wzór da się zapisać dla x = −2 lub x = 2, w wyjściowym dzieleniu te wartości były niedozwolone.
Wynik: x − 2x + 3, gdzie D = ℝ ∖ {−3, −2, 2}.
6. Typowe błędy — sprawdź, czy ich nie popełniasz
Błąd 1. Odwracanie pierwszego ułamka zamiast drugiego.x2 : 3x + 1 = x2 · x + 13
Odwracamy tylko dzielnik, czyli drugi ułamek.
Błąd 2. Skracanie wyrazów połączonych plusem.x + 4x + 2 ≠ 42
W wyrażeniach z dodawaniem lub odejmowaniem można skracać dopiero po rozłożeniu całego licznika i mianownika na czynniki.
Błąd 3. Pomijanie licznika dzielnika przy dziedzinie.1x − 3 : x − 4x + 2
Tutaj x ≠ 3, x ≠ −2 oraz x ≠ 4, bo drugi ułamek nie może być zerem.
Błąd 4. Przywracanie wartości wykluczonych po skróceniu.x − 2x − 2 = 1, ale x ≠ 2
Skrócenie czynnika nie poszerza dziedziny pierwotnego wyrażenia.
7. Zadania — spróbuj samodzielnie
Najpierw rozwiąż zadanie w zeszycie. Dopiero potem kliknij „Pokaż rozwiązanie krok po kroku”. Zadania są ułożone od łatwiejszych do trudniejszych.
Zadanie 1. Proste mnożenie i skracanie
x5 · 10x²
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Dziedzina.W mianownikach mamy 5 oraz x². Liczba 5 nigdy nie jest zerem; x² ≠ 0 wymaga x ≠ 0.
D = ℝ ∖ {0}
Krok 2. Mnożymy liczniki i mianowniki.x · 105 · x² = 10x5x²
Krok 3. Skracamy.Dzielimy 10 i 5 przez 5, a licznik x i mianownik x² przez x (bo x ≠ 0).
10x5x² = 2x
Wynik: 2x, gdzie x ≠ 0.
Zadanie 2. Mnożenie z nawiasem
x − 12 · 4x
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Dziedzina.Jedyny mianownik zależny od x to x, więc x ≠ 0.
Krok 2. Łączymy ułamki.4(x − 1)2x
Krok 3. Skracamy współczynniki liczbowe.Czynnik 4 w liczniku i 2 w mianowniku skracamy przez 2. Nie rozwijamy nawiasu, bo nie trzeba.
2(x − 1)x
Wynik: 2(x − 1)x, gdzie x ≠ 0.
Zadanie 3. Wyłączenie wspólnego czynnika
x + 62x³ · 4x⁵x² + 6x
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Rozkładamy drugi mianownik.W obu wyrazach x² + 6x występuje czynnik x. Wyłączamy go przed nawias:
x² + 6x = x(x + 6)
Krok 2. Wyznaczamy dziedzinę.Z pierwszego mianownika 2x³ ≠ 0 wynika x ≠ 0. Z drugiego x(x + 6) ≠ 0 dodatkowo x ≠ −6.
D = ℝ ∖ {−6, 0}
Krok 3. Zapisujemy mnożenie.x + 62x³ · 4x⁵x(x + 6) = 4x⁵(x + 6)2x⁴(x + 6)
Krok 4. Skracamy te same czynniki.Skracamy nawias (x + 6), liczby 4 i 2 oraz potęgi x⁵ i x⁴.
= 2x
Wynik: 2x, gdzie D = ℝ ∖ {−6, 0}.
Zadanie 4. Kwadrat sumy i wyłączanie czynnika
x² + 6x + 9x² − 4x · 2x − 83x + 9
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Rozkładamy pierwszy licznik ze wzoru.Rozpoznajemy kwadrat sumy: x² + 2 · x · 3 + 3².
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Krok 2. Rozkładamy pozostałe wyrażenia.Wyłączamy wspólne czynniki przed nawias:
x² − 4x = x(x − 4)
2x − 8 = 2(x − 4)
3x + 9 = 3(x + 3)
Krok 3. Dziedzina z oryginalnych mianowników.Musimy mieć x(x − 4) ≠ 0 oraz 3(x + 3) ≠ 0.
D = ℝ ∖ {−3, 0, 4}
Krok 4. Mnożymy w postaci iloczynowej.(x + 3)(x + 3)x(x − 4) · 2(x − 4)3(x + 3)
= 2(x + 3)(x + 3)(x − 4)3x(x − 4)(x + 3)
Krok 5. Skracamy wspólne czynniki.Skracamy po jednym nawiasie (x − 4) i (x + 3).
= 2(x + 3)3x
Wynik: 2(x + 3)3x, gdzie D = ℝ ∖ {−3, 0, 4}.
Zadanie 5. Delta i skracanie wielu nawiasów
2x² − 8x6x − 3 · 2x − 14 − x
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wyłączamy czynniki przed nawias.2x² − 8x = 2x(x − 4)
6x − 3 = 3(2x − 1)
Krok 2. Zmieniamy zapis ostatniego mianownika.Zauważ, że 4 − x jest liczbą przeciwną do x − 4:
4 − x = −(x − 4)
Krok 3. Wyznaczamy dziedzinę.Mianowniki: 3(2x − 1) ≠ 0 i 4 − x ≠ 0.
x ≠ 12, x ≠ 4
D = ℝ ∖ {12, 4}
Krok 4. Łączymy czynniki w jednym ułamku.2x(x − 4)3(2x − 1) · 2x − 1−(x − 4)
= 2x(x − 4)(2x − 1)−3(2x − 1)(x − 4)
Krok 5. Skracamy nawiasy i pozostawiamy minus.Skracamy (2x − 1) i (x − 4). Minusa w mianowniku przenosimy przed ułamek.
= −2x3
Wynik: −2x3, gdzie D = ℝ ∖ {12, 4}.
Zadanie 6. Mnożenie — trójmian z deltą
2x² − 10x + 12x² − 9 · x + 3x − 2
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Rozkładamy licznik pierwszego ułamka za pomocą delty.Dla 2x² − 10x + 12 mamy a = 2, b = −10, c = 12.
Δ = (−10)² − 4 · 2 · 12 = 100 − 96 = 4
x₁ = 10 − 24 = 2
x₂ = 10 + 24 = 3
2x² − 10x + 12 = 2(x − 2)(x − 3)
Krok 2. Rozkładamy mianownik ze wzoru na różnicę kwadratów.x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
Krok 3. Wyznaczamy dziedzinę.Z mianowników wynikają ograniczenia x ≠ 3, x ≠ −3 oraz x ≠ 2.
D = ℝ ∖ {−3, 2, 3}
Krok 4. Mnożymy i skracamy.2(x − 2)(x − 3)(x − 3)(x + 3) · x + 3x − 2
= 2(x − 2)(x − 3)(x + 3)(x − 3)(x + 3)(x − 2) = 2
Wynik: 2, gdzie D = ℝ ∖ {−3, 2, 3}.
Zadanie 7. Dzielenie liczby przez ułamek
4 : 2xx + 1
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Ustalamy dziedzinę.Dzielnik musi być określony: x + 1 ≠ 0, czyli x ≠ −1. Dodatkowo nie może być zerem: 2x ≠ 0, czyli x ≠ 0.
D = ℝ ∖ {−1, 0}
Krok 2. Zapisujemy liczbę 4 jako ułamek.4 = 41
Krok 3. Odwracamy drugi ułamek.41 · x + 12x
Krok 4. Mnożymy i skracamy przez 2.4(x + 1)2x = 2(x + 1)x
Wynik: 2(x + 1)x, gdzie D = ℝ ∖ {−1, 0}.
Zadanie 8. Dzielenie i dodatkowy warunek
x² − 25x + 2 : x + 5x² − 4
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Rozpoznajemy wzory skróconego mnożenia.x² − 25 = (x − 5)(x + 5)
x² − 4 = (x − 2)(x + 2)
Krok 2. Pełna dziedzina.Pierwszy mianownik x + 2 wyklucza x = −2. Drugi mianownik (x − 2)(x + 2) wyklucza x = 2 i x = −2.
Jeszcze licznik dzielnika x + 5 musi być niezerowy, stąd x ≠ −5.
D = ℝ ∖ {−5, −2, 2}
Krok 3. Odwracamy drugi ułamek.(x − 5)(x + 5)x + 2 · (x − 2)(x + 2)x + 5
Krok 4. Łączymy czynniki i skracamy.(x − 5)(x + 5)(x − 2)(x + 2)(x + 2)(x + 5)
= (x − 5)(x − 2)
Możesz zostawić wynik w nawiasach albo rozwinąć iloczyn.
Wynik: (x − 5)(x − 2), gdzie D = ℝ ∖ {−5, −2, 2}.
Zadanie 9. Dzielenie z deltą w mianowniku
x² − 9x² − 4x + 3 : x + 3x − 1
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Pierwszy licznik — różnica kwadratów.x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
Krok 2. Pierwszy mianownik — liczymy deltę.Dla x² − 4x + 3: a = 1, b = −4, c = 3.
Δ = (−4)² − 4 · 1 · 3 = 16 − 12 = 4
x₁ = 4 − 22 = 1
x₂ = 4 + 22 = 3
x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)
Krok 3. Wyznaczamy pełną dziedzinę.Pierwszy mianownik wyklucza 1 i 3, mianownik drugiego ułamka wyklucza 1. Licznik dzielnika x + 3 wyklucza −3.
D = ℝ ∖ {−3, 1, 3}
Krok 4. Odwracamy drugi ułamek i mnożymy.(x − 3)(x + 3)(x − 1)(x − 3) · x − 1x + 3
= (x − 3)(x + 3)(x − 1)(x − 1)(x − 3)(x + 3) = 1
Wynik: 1, gdzie D = ℝ ∖ {−3, 1, 3}.
Zadanie 10. Dzielenie — delta i znikające nawiasy
2x² − 10x + 12x² − 9 : x − 2x + 3
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Rozkładamy trójmian kwadratowy przy pomocy delty.Dla 2x² − 10x + 12 odczytujemy a = 2, b = −10, c = 12.
Δ = (−10)² − 4 · 2 · 12 = 100 − 96 = 4
x₁ = 10 − 24 = 2
x₂ = 10 + 24 = 3
2x² − 10x + 12 = 2(x − 2)(x − 3)
Krok 2. Rozkładamy mianownik jako różnicę kwadratów.x² − 9 = (x − 3)(x + 3)
Krok 3. Wyznaczamy dziedzinę — nie pomijamy dzielnika.Pierwszy mianownik wyklucza −3 i 3. Drugi mianownik wyklucza −3. Licznik dzielnika x − 2 wyklucza również 2.
D = ℝ ∖ {−3, 2, 3}
Krok 4. Zamieniamy dzielenie na mnożenie przez odwrotność.2(x − 2)(x − 3)(x − 3)(x + 3) · x + 3x − 2
Krok 5. Skracamy trzy nawiasy.2(x − 2)(x − 3)(x + 3)(x − 3)(x + 3)(x − 2) = 2
Mimo wyniku 2 nie wolno dopisać do dziedziny x = −3, 2 ani 3.
Wynik: 2, gdzie D = ℝ ∖ {−3, 2, 3}.
Zadanie 11. Dla chętnych · Różnica sześcianów
x³ − 8x² − 4 : x² + 2x + 4x + 2
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Używamy wzoru na różnicę sześcianów.Liczba 8 to 2³, więc x³ − 8 = x³ − 2³.
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4)
Krok 2. Rozkładamy pierwszy mianownik.x² − 4 = (x − 2)(x + 2)
Krok 3. Sprawdzamy dziedzinę, także licznik dzielnika.Z pierwszego mianownika mamy x ≠ −2 i x ≠ 2; drugi mianownik również wyklucza −2.
Sprawdzamy, czy x² + 2x + 4 może być zerem. Uzupełniamy do kwadratu:
x² + 2x + 4 = (x + 1)² + 3 > 0
Zatem licznik dzielnika nie daje dodatkowych wykluczeń.
D = ℝ ∖ {−2, 2}
Krok 4. Odwracamy drugi ułamek i mnożymy.(x − 2)(x² + 2x + 4)(x − 2)(x + 2) · x + 2x² + 2x + 4
Krok 5. Skracamy całe czynniki.(x − 2)(x² + 2x + 4)(x + 2)(x − 2)(x + 2)(x² + 2x + 4) = 1
Wynik: 1, gdzie D = ℝ ∖ {−2, 2}.
Zadanie 12. Dla chętnych · Suma sześcianów
x³ + 8x² − 4x + 4 : x² − 2x + 4x − 2
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Rozkładamy sumę sześcianów.Korzystamy ze wzoru a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); tutaj b = 2.
x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
Krok 2. Pierwszy mianownik zapisujemy jako kwadrat różnicy.x² − 4x + 4 = x² − 2 · x · 2 + 2² = (x − 2)²
Krok 3. Sprawdzamy, gdzie wolno wykonać dzielenie.Oba mianowniki wykluczają x = 2. Licznik dzielnika musi być niezerowy. Sprawdzamy:
x² − 2x + 4 = (x − 1)² + 3 > 0
Nie ma więc dalszych wykluczeń.
D = ℝ ∖ {2}
Krok 4. Zamieniamy dzielenie na mnożenie.(x + 2)(x² − 2x + 4)(x − 2)² · x − 2x² − 2x + 4
Krok 5. Skracamy po jednym identycznym czynniku.(x + 2)(x² − 2x + 4)(x − 2)(x − 2)(x − 2)(x² − 2x + 4)
= x + 2x − 2
Skrócenie jednego czynnika (x − 2) nie pozwala przywrócić x = 2 do dziedziny.
Wynik: x + 2x − 2, gdzie x ≠ 2.
Zapamiętaj: przy mnożeniu mnożymy liczniki i mianowniki, a przy dzieleniu najpierw odwracamy drugi ułamek. W obu działaniach wyznaczamy dziedzinę z wyjściowego zapisu, rozkładamy wielomiany na czynniki i skracamy wyłącznie wspólne czynniki. Przy dzieleniu dodatkowo sprawdzamy, czy licznik dzielnika nie jest zerem.
