Krótka teoria – co trzeba umieć?
Liczba odwrotna: dla liczby różnej od zera zamieniamy miejscami licznik i mianownik. Np. odwrotność 34 to 43.
Kolejność działań: nawiasy → potęgi i pierwiastki → mnożenie i dzielenie → dodawanie i odejmowanie.
Pierwiastki: √25 = 5, bo 5² = 25; ∛(−27) = −3, bo (−3)³ = −27. W liczbach rzeczywistych nie obliczamy pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej.
Kwadrat: P = a², obwód = 4a. Sześcian: V = a³. Średnia: suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę.
Potęgi: 2n+1 = 2 · 2n. W dowodach podzielności często wyłączamy wspólną potęgę przed nawias.
Zadanie 1 (1 pkt)
Do każdej liczby napisz liczbę odwrotną: 3 15 oraz −3,25.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Najpierw zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:
Zamieniamy miejscami licznik i mianownik: 516.
Drugą liczbę zapisujemy jako ułamek:
Jej odwrotność wynosi −413. Znak minus pozostaje.
Zadanie 2 (5 pkt)
Oblicz:
a) −2,8 + (−11 14)
b) −2 · (−3,3) · (−2 13) + 7 18
c) 23 + [(−12)2 + (−13)2] : 1312
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
a) Dodajemy dwie liczby ujemne, czyli dodajemy ich wartości i stawiamy minus:
b) Zamieniamy liczby dziesiętne i mieszane na ułamki:
Trzy czynniki ujemne dają iloczyn ujemny. Skracamy 33 przez 3:
Wspólny mianownik to 40:
c) Najpierw obliczamy potęgi (kwadrat liczby ujemnej jest dodatni):
Dodajemy ułamki w nawiasie:
Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:
Na końcu dodajemy: 23 + 13 = 1.
Zadanie 3 (5 pkt)
Oblicz:
a) √1625 b) √2,25 c) ∛(−27)
d) ∛216 · 13 − ∛(43 − 37)
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
a) Pierwiastkujemy licznik i mianownik osobno:
b) √2,25 = 1,5, ponieważ 1,5 · 1,5 = 2,25.
c) ∛(−27) = −3, ponieważ (−3)3 = −27.
d) Najpierw liczymy potęgę i pierwiastki:
6 · 13 − 3 = 2 − 3 = −1.
Zadanie 4 (2 pkt)
Podkreśl liczby niewymierne spośród: ∛8, −3,75, √2/2, (√8)², −∛(1/3), √12, √6.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
∛8 = 2 – wymierna. −3,75 – wymierna. √2/2 – niewymierna. (√8)² = 8 – wymierna.
−∛(1/3) – niewymierna, ponieważ 1/3 nie jest sześcianem liczby wymiernej. √12 = 2√3 – niewymierna. √6 – niewymierna.
Zadanie 5 (3 pkt)
Ile metrów bieżących siatki potrzeba na ogrodzenie kwadratowej działki o polu 9 arów?
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. 1 ar = 100 m², zatem 9 arów = 900 m².
Krok 2. Pole kwadratu P = a², więc a = √900 = 30 m.
Krok 3. Obwód = 4 · 30 = 120 m.
Zadanie 6 (2 pkt)
Jaką długość ma krawędź sześcianu o objętości 271000 m³?
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Korzystamy ze wzoru na objętość sześcianu: V = a3.
Krok 2. Aby obliczyć długość krawędzi, wyciągamy pierwiastek sześcienny:
Krok 3. Zamieniamy na centymetry: 0,3 m = 30 cm.
Zadanie 7 (2 pkt)
Główny składnik powietrza, azot, skrapla się w temperaturze −203,88°C, a wrze w temperaturze −195,8°C. Oblicz różnicę między temperaturami wrzenia i skraplania azotu.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Odejmujemy niższą temperaturę od wyższej:
−195,8 − (−203,88) = −195,8 + 203,88 = 8,08.
Zadanie 8 (3 pkt)
W pierwszych dwóch dekadach kwietnia temperatura o 7:00 wynosiła: 4 razy −4°C, 5 razy 5°C, 1 raz 13°C, 7 razy −2°C, a w pozostałe dni 4°C. Oblicz średnią temperaturę.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Dwie dekady to 20 dni. Podano 4 + 5 + 1 + 7 = 17 dni, zatem pozostały 3 dni.
Krok 2. Suma temperatur: 4 · (−4) + 5 · 5 + 1 · 13 + 7 · (−2) + 3 · 4 = −16 + 25 + 13 − 14 + 12 = 20.
Krok 3. Średnia = 20 : 20 = 1°C.
Zadanie 9*
Uzasadnij, że liczba 210 + 211 + 212 + 213 jest podzielna przez 3, 5 i 15.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wyłączamy najmniejszą potęgę, czyli 210:
210(1 + 2 + 4 + 8).
Krok 2. Dodajemy liczby w nawiasie: 1 + 2 + 4 + 8 = 15.
Krok 3. Otrzymujemy 15 · 210. Ponieważ 15 jest podzielne przez 3, 5 i 15, cały iloczyn również.