Przeczytaj treść zadania, spróbuj rozwiązać je samodzielnie, a następnie rozwiń rozwiązanie. Każdy przykład jest wyjaśniony krok po kroku.
Pięciu znajomych pojechało na obóz. Każdego dnia pobytu pokonywali trasę idąc gęsiego, ale za każdym razem w innym szyku. Ile dni trwał obóz?
Rozwiń rozwiązanie krok po kroku
Co jest ważne?
Pięciu znajomych idzie jeden za drugim. Zmiana miejsc choćby dwóch osób daje nowy szyk. Liczymy więc ustawienia pięciu różnych osób w kolejności.
Pierwsze miejsce
Na początku może stanąć dowolna z 5 osób.
Pozostałe miejsca
Na drugie miejsce zostają 4 osoby, na trzecie 3, na czwarte 2, na ostatnie 1. Wybory następują kolejno, więc mnożymy ich liczby.
Odpowiedź: 120 możliwych szyków, czyli maksymalnie 120 dni bez powtórzenia ustawienia.
Ile różnych słów można ułożyć, przestawiając litery wyrazu ZDANIE?
Rozwiń rozwiązanie krok po kroku
Sprawdzamy litery
Wyraz ZDANIE ma 6 liter: Z, D, A, N, I, E. Wszystkie są różne i każdej używamy dokładnie raz.
Wybieramy kolejne litery
Na pierwszym miejscu możemy postawić 6 liter, na drugim 5, na trzecim 4, potem 3, 2 i 1.
Mnożymy możliwości
Kolejność ma znaczenie: na przykład ZDANIE i DZANIE są dwoma różnymi układami liter. „Słowo” w tym zadaniu oznacza dowolny układ liter, niekoniecznie istniejący wyraz.
Odpowiedź: 720 różnych układów liter.
Rzucamy czterema kostkami do gry. Ile jest możliwych wyników tego doświadczenia?
Rozwiń rozwiązanie krok po kroku
Wynik jednej kostki
Na każdej zwykłej kostce może wypaść jedna z 6 liczb: 1, 2, 3, 4, 5 lub 6.
Cztery kostki
Pierwsza kostka ma 6 wyników, druga także 6, trzecia 6 i czwarta 6. Wyniki mogą się powtarzać, np. (2, 2, 2, 2).
Stosujemy zasadę mnożenia
Każdy wynik pierwszej kostki można połączyć z każdym wynikiem pozostałych trzech kostek. Rozróżniamy, na której kostce wypadła dana liczba.
Odpowiedź: 1296 możliwych wyników.
Ile jest wszystkich liczb 6-cyfrowych o różnych cyfrach?
Rozwiń rozwiązanie krok po kroku
Pierwsza cyfra
Liczba ma być sześciocyfrowa, zatem nie może zaczynać się od 0. Do wyboru są cyfry od 1 do 9, czyli 9 możliwości.
Druga cyfra
Teraz możemy użyć cyfry 0, ale nie możemy powtórzyć pierwszej cyfry. Spośród 10 cyfr jedna jest już zajęta, więc zostaje 9 możliwości.
Dalsze cztery cyfry
Za każdym razem odrzucamy cyfry już użyte. Na kolejnych miejscach jest odpowiednio 8, 7, 6 i 5 możliwości.
Wynik
Mnożymy możliwości dla wszystkich sześciu miejsc, ponieważ każdy wybór tworzy dalsze warianty.
Odpowiedź: 136 080 liczb sześciocyfrowych o różnych cyfrach.
Ile można wykonać chorągiewek złożonych z trzech poziomych pasów, z których każdy jest innego koloru, jeśli dysponujemy materiałami o 7 różnych barwach?
Rozwiń rozwiązanie krok po kroku
Górny pas
Na pierwszy pas można wybrać dowolny z 7 kolorów.
Środkowy pas
Ma mieć inny kolor niż górny, więc pozostaje 6 kolorów.
Dolny pas
Musi się różnić od dwóch wcześniejszych, więc pozostaje 5 kolorów.
Dlaczego mnożymy?
Dla każdego wyboru koloru górnego pasa mamy 6 wyborów środkowego, a do każdego z nich 5 wyborów dolnego. Kolejność pasów zmienia chorągiewkę.
Odpowiedź: 210 różnych chorągiewek.
Na peronie czeka na pociąg 5 osób. Nadjeżdża skład złożony z 4 wagonów. Ile jest możliwych sposobów rozmieszczenia tych osób w pociągu, jeśli każda z osób może wsiąść do dowolnego wagonu?
Rozwiń rozwiązanie krok po kroku
Pierwsza osoba
Może wybrać jeden z 4 wagonów.
Każda kolejna osoba
Także może wybrać dowolny z 4 wagonów. To, że do wagonu weszła już inna osoba, nie blokuje tego wagonu.
Wszystkie osoby
Mamy 5 odrębnych osób, a dla każdej z nich niezależnie 4 możliwości. Zatem mnożymy piątkę czynników równych 4.
Odpowiedź: 1024 sposoby rozmieszczenia osób w wagonach.
W urnie jest 8 kul białych, 2 czarne i 1 zielona. Ile jest możliwych sposobów wyboru dwóch kul z tej urny, tak by kule były różnych kolorów?
Rozwiń rozwiązanie krok po kroku
Jakie kolory mogą się pojawić?
Dwie kule mają mieć różne kolory. Możliwe są dokładnie trzy pary kolorów: biały–czarny, biały–zielony i czarny–zielony.
Biała i czarna
Białą kulę można wybrać na 8 sposobów, a czarną na 2 sposoby. Razem 8 · 2 = 16 par.
Biała i zielona
Można wybrać jedną z 8 białych kul oraz jedyną zieloną. Razem 8 · 1 = 8 par.
Czarna i zielona
Można wybrać jedną z 2 czarnych kul oraz jedyną zieloną. Razem 2 · 1 = 2 par.
Dodajemy przypadki
Przypadki nie nakładają się na siebie, a kolejność wyjmowania kul nie ma znaczenia. Dodajemy zatem ich liczby.
Odpowiedź: 26 sposobów wyboru dwóch kul różnych kolorów.
Na ile sposobów można ustawić w kolejce 3 kobiety i 6 mężczyzn, jeśli mężczyźni stoją na początku kolejki?
Rozwiń rozwiązanie krok po kroku
Kto stoi z przodu?
Pierwszych 6 miejsc muszą zajmować mężczyźni, a ostatnie 3 miejsca kobiety. Nie wolno mieszać obu grup.
Ustawienie mężczyzn
Sześciu różnych mężczyzn można przestawić na 6! = 720 sposobów.
Ustawienie kobiet
Trzy różne kobiety można przestawić na 3! = 6 sposobów.
Łączymy ustawienia
Do każdego ustawienia sześciu mężczyzn można dobrać dowolne ustawienie trzech kobiet, dlatego mnożymy.
Odpowiedź: 4320 ustawień w kolejce.
W rozgrywkach piłkarskiej ekstraklasy występuje 14 zespołów. W jednym sezonie każda drużyna rozgrywa z każdą mecz i rewanż. Do ilu pojedynków dochodzi w ciągu sezonu w tych rozgrywkach?
Rozwiń rozwiązanie krok po kroku
Wybieramy pierwszą drużynę
Możemy wybrać dowolny z 14 zespołów.
Wybieramy rywala
Dla pierwszego zespołu dostępnych jest 13 pozostałych zespołów. Otrzymujemy 14 · 13 = 182 uporządkowane wskazania drużyn.
Nie liczymy tej samej pary dwa razy
Pary A–B i B–A oznaczają tę samą parę rywali, dlatego dla liczby par dzielimy przez 2: 182 : 2 = 91.
Mecz i rewanż
Każda z 91 par rozgrywa 2 mecze. Mnożymy 91 · 2.
Odpowiedź: 182 mecze w sezonie.
Ile jest liczb czterocyfrowych, w których cyfrą dziesiątek jest 7?
Rozwiń rozwiązanie krok po kroku
Cyfra tysięcy
Nie może być zerem, bo liczba ma być czterocyfrowa. Mamy 9 możliwości: 1–9.
Cyfra setek
Może być dowolna od 0 do 9, więc mamy 10 możliwości.
Cyfra dziesiątek
Z treści wiemy, że musi być równa 7. Jest więc tylko 1 możliwość.
Cyfra jedności
Może być dowolna od 0 do 9, co daje 10 możliwości.
Mnożymy
Nie ma zakazu powtarzania cyfr, więc 7 może pojawić się także w innych miejscach.
Odpowiedź: 900 liczb czterocyfrowych.