Kombinatoryka i prawdopodobieństwo – zadania do ćwiczeń NE

Ile liczb trzycyfrowych można zapisać, używając wyłącznie cyfr 1, 3, 5 i 7? Cyfry mogą się powtarzać.

W barze można wybrać 4 rodzaje pieczywa, 3 rodzaje nadzienia i 2 sosy. Ile różnych zestawów można utworzyć?

Dane są zbiory A = {2, 4, 8} i B = {3, 9}. Ile różnych iloczynów a · b można otrzymać dla a ∈ A i b ∈ B?

Pięciocyfrowy kod ma układ: parzysta dodatnia – nieparzysta – nieparzysta – parzysta dodatnia – nieparzysta. Ile kodów można utworzyć, jeśli cyfry mogą się powtarzać?

Kod składa się z trzech liter wybieranych spośród 20 znaków oraz dwóch cyfr. Wszystkie znaki mogą się powtarzać. Ile jest kodów?

Współczynniki a i b funkcji f(x) = ax + b należą do zbioru {−3, −1, 2, 4}. Ile różnych funkcji rosnących można utworzyć?

Ile liczb sześciocyfrowych większych od 400 000 można utworzyć z cyfr {1, 3, 5, 7}, jeśli cyfry mogą się powtarzać?

Ile różnych ciągów wyników można uzyskać przy pięciokrotnym rzucie monetą?

Na osi OX wybieramy punkt o współrzędnej z {−3, −2, −1}, a na osi OY punkt o współrzędnej z {2, 3, 4, 5, 6}. Ile odcinków można połączyć?

Ile jest różnych pięciocyfrowych liczb utworzonych dokładnie z cyfr 8, 6, 3, 3, 3?

Kostką rzucamy trzy razy. Ile ciągów wyników spełnia warunki: najpierw więcej niż 4, potem więcej niż 2, a na końcu mniej niż 5 oczek?

W rzędzie jest 7 krzeseł. Najpierw dwa miejsca zajmują dwie rozróżnialne dziewczynki, następnie dwa z pozostałych miejsc zajmują dwaj chłopcy. Ile sposobów zajęcia miejsc jest możliwych?

Oblicz wartość wyrażenia (6! + 5!)/(4! + 3!).

Która z liczb 10!, 11!, 14!, 15! ma inną liczbę zer na końcu zapisu dziesiętnego?

Na ile sposobów można ustawić na półce 6 różnych książek?

Ile różnych napisów sześcioliterowych można ułożyć ze wszystkich liter wyrazu PALETA?

Sześciu zawodników bierze udział w biegu. Na ile sposobów można ustalić kolejność na mecie, jeśli wszyscy ukończą bieg? A jeśli jeden wskazany zawodnik odpadnie?

Pewną grupę osób można ustawić w szeregu na 120 sposobów. Ile liczy osób?

Z cyfr 1, 3, 4, 6, 7 ułóż wszystkie możliwe liczby pięciocyfrowe bez powtórzeń. Ile spośród nich jest parzystych?

Na ile sposobów posadzić w jednym rzędzie czterech chłopców i trzy dziewczynki, aby osoby tej samej płci nie siedziały obok siebie?

Siedem różnych osób ustawia się w kolejce. Na ile sposobów osoby A i B mogą stać tak, aby nie stały obok siebie?

Po przeciwnych stronach prostokątnego stołu stoją po 4 krzesła. Z jednej strony siedzą 4 dziewczynki, z drugiej 4 chłopcy. Na ile sposobów można ich posadzić, jeśli wskazana para ma siedzieć naprzeciwko siebie?

Wykaż, że liczba 9! − 8! jest podzielna przez 32.

Z pięciu różnych liter K, A, M, E, R tworzymy trzyliterowe kody bez powtarzania liter. Ile kodów powstanie?

Ile liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć z {0, 1, 3, 5, 7}, jeśli mają być podzielne przez 5?

Liczba sposobów rozmieszczenia trzech osób w n ponumerowanych fotelach jest 7 razy większa niż liczba sposobów rozmieszczenia dwóch osób. Wyznacz n.

Cztery oznaczone pola należy pomalować różnymi kolorami spośród 7 dostępnych. Ile sposobów?

Na pustym parkingu z 12 ponumerowanymi miejscami parkują trzy rozróżnialne samochody, a potem dwa kolejne. Ile ustawień trzech pierwszych aut i ile ustawień dwóch następnych po ich zaparkowaniu?

Jest 10 różnych miejsc. Najpierw siada 2 uczniów klasy A, potem 3 uczniów B, a na końcu 2 uczniów C. Ile ustawień ma każda grupa przy ustalonych miejscach wcześniejszych grup?

Do siedmiu różnych skarbonek wrzucamy cztery jednakowe monety, nie więcej niż jedną do każdej. Na ile sposobów można to zrobić?

Na dziewięciu krzesłach w jednym rzędzie ma usiąść pięć różnych osób tak, aby między każdymi sąsiadującymi osobami było dokładnie jedno puste krzesło. Ile ustawień?

Jaki procent wszystkich liczb czterocyfrowych stanowią liczby utworzone z cyfr 1, 2, 3, 4, każdej użytej dokładnie raz?

Dwie dziewczynki wybierają osobne miejsca na 6 czerwonych krzesłach, a trzej chłopcy na 5 niebieskich. Kto ma więcej sposobów, i o ile?

W pięciu kolejnych kratkach umieszczamy bez powtórzeń liczby 1–5, przy czym w drugiej kratce musi stać 3. Ile ustawień?

Ile trzycyfrowych liczb o różnych cyfrach można zapisać, jeśli każda cyfra ma być większa od 4?

Ile czteroelementowych ciągów można utworzyć z siedmiu symboli, jeśli symbole mogą się powtarzać?

Kod składa się z czterech znaków wybieranych z 6 cyfr, 5 liter i 2 symboli specjalnych. Każdy znak może się powtarzać. Ile kodów?

Porównaj liczbę czterocyfrowych kodów złożonych z {1,3,5,7,9} i pięciocyfrowych kodów złożonych z {2,4,6}. Cyfry mogą się powtarzać.

Porównaj liczbę pięcioelementowych ciągów z 5 symboli z powtórzeniami z liczbą trzyelementowych ciągów z 7 symboli bez powtórzeń.

Na ile sposobów można rozdzielić 5 ponumerowanych piłeczek między 4 różne pudełka? Pudełka mogą pozostać puste.

Sześć osób może wysiąść na jednym z dwóch przystanków, a dwie osoby na jednym z sześciu przystanków. W którym przypadku jest więcej przyporządkowań?

Ile siedmiocyfrowych liczb można zapisać wyłącznie cyframi 2, 4 i 6? Dopuszczamy powtórzenia.

Wielokrotnie rzucamy kostką. Liczba możliwych ciągów wyników jest mniejsza od 1300. Ile maksymalnie rzutów można wykonać?

Ile liczb sześciocyfrowych zaczyna się i kończy cyfrą 7?

Z liter K, A, R, T, O, N tworzymy pięcioliterowe kody z powtórzeniami, których pierwsza i ostatnia litera jest spółgłoską. Ile kodów?

Ile liczb sześciocyfrowych ma sumę pierwszej i ostatniej cyfry równą 12?

Kostką rzucamy sześć razy. Ile ciągów wyników zawiera przynajmniej jedną szóstkę?

Ile czterocyfrowych liczb można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4 (z powtórzeniami), jeśli ich suma cyfr ma wynosić 6?

Ile pięciocyfrowych liczb zapisanych cyframi {1,2,3,4}, z powtórzeniami, ma przynajmniej jedną cyfrę parzystą?

Ile liczb sześciocyfrowych złożonych wyłącznie z cyfr {1,3,5,7} ma pierwszą cyfrę mniejszą od ostatniej? Powtórzenia są dozwolone.

Ile czterocyfrowych liczb większych od 7000 można utworzyć z nieparzystych cyfr 1,3,5,7,9, jeśli cyfry mogą się powtarzać?

Z dwóch pudełek wyciągamy po jednej kuli. Pierwsze ma 3 kule parzyste i 2 nieparzyste, drugie 2 parzyste i 3 nieparzyste. Ile par ma różną parzystość?

Ile liczb sześciocyfrowych ma sumę cyfr równą 3?

W zapisie 4a2b1 cyfry a i b są nieznane (0–9). Na ile sposobów można je wybrać, aby liczba była podzielna przez 3?

Można kupić gofra w dwóch rozmiarach z jednym z 4 dodatków albo lody w 5 smakach z jednym z 2 dodatków. Ile możliwości wyboru deseru?

Porównaj liczbę sześciocyfrowych liczb rozpoczynających się cyframi 555 z liczbą sześciocyfrowych liczb kończących się cyframi 555.

Losujemy dwa razy ze zwracaniem liczbę ze zbioru {1,2,3,4,5}. Ile par (a,b) spełnia b ≥ a?

Ile pięciocyfrowych liczb można ułożyć z cyfr {1,2,3,4,5} bez powtórzeń, jeśli liczba jest parzysta, a cyfra dziesiątek jest równa 1 lub 3?

Kod składa się z pięciu znaków: albo z dwóch liter i trzech cyfr, albo z trzech liter i dwóch cyfr. Litery stoją przed cyframi; wybieramy spośród 5 liter i 4 cyfr, bez powtórzeń. Ile kodów?

Wypisz możliwe wyniki: a) losowania jednej cyfry parzystej większej od zera; b) dwukrotnego rzutu monetą.

Wypisz możliwe wyniki: a) reszty z dzielenia liczby naturalnej przez 4; b) wyboru dwóch różnych ciastek spośród: sernik, makowiec, szarlotka.

W doświadczeniu jednego rzutu kostką wypisz wyniki zdarzeń A: więcej niż 3 oczka, B: liczba pierwsza oczek, C: liczba nieparzysta oczek.

Rzucamy dwa razy kostką. Czy zdarzenia A: suma oczek równa 2 i B: przynajmniej jedna szóstka mogą zajść jednocześnie?

Ze zbioru {1,2,…,10} losujemy liczbę. A oznacza „liczba parzysta”, a B „liczba nie mniejsza niż 7”. Podaj A ∩ B.

Losujemy liczbę ze zbioru {1,…,12}. A — parzysta, B — podzielna przez 4, C — nieparzysta, D — podzielna przez 3. Podaj wszystkie pary tych zdarzeń, które się wykluczają.

Spośród kul o numerach 1–6 losujemy jednocześnie dwie. A — obie parzyste, B — obie nieparzyste, C — suma numerów nieparzysta. Które pary zdarzeń są rozłączne?

Z pudełka z kulami białą, czarną i zieloną wyjmujemy kolejno dwie bez zwracania. Wypisz wyniki z uwzględnieniem kolejności.

Dwa razy rzucamy zwykłą kostką. Czy możliwe jest uzyskanie sumy oczek równej 15?

Trzykrotnie rzucamy monetą. Wypisz wyniki zdarzeń: A — dokładnie dwa orły, B — ani jednego orła, C — orzeł w pierwszym rzucie.

W pudełku jest po dwie kule opisane literami X, Y i Z. Losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Zdarzenie A oznacza różne litery. Jakie wyniki tworzą zdarzenie przeciwne A′, jeżeli zapisujemy wyłącznie litery?

Ze zbioru {1,2,3,4} losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. A — pierwsza liczba parzysta, B — druga nieparzysta. Wypisz wyniki A ∩ B.

Spośród 3 dziewczynek i 2 chłopców losujemy dwie osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będą tej samej płci?

W automacie jest 9 czerwonych, 6 niebieskich i 5 zielonych przedmiotów. Oblicz prawdopodobieństwa wylosowania przedmiotu: a) niebieskiego, b) nieczerwonego.

Na wycieczkę do Krakowa głosowało 6 dziewczynek i 8 chłopców, a do Torunia 9 dziewczynek i 7 chłopców. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) losowa dziewczynka woli Toruń, b) losowy uczeń woli Toruń.

Trzykrotnie rzucamy monetą. Oblicz: A — prawdopodobieństwo co najmniej jednego orła; B — prawdopodobieństwo, że pierwszy i trzeci wynik będą różne.

Rzucamy monetą i kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania orła oraz liczby oczek 1 albo 2?

Porównaj prawdopodobieństwa: A — w dwóch rzutach kostką obie liczby są parzyste; B — w dwóch rzutach monetą wypadnie ta sama strona.

Wśród 25 ciastek 9 zawiera migdały, 8 rodzynki, a 3 oba dodatki. Losujemy jedno ciastko. Oblicz prawdopodobieństwo wystąpienia migdałów, rodzynek i braku obu dodatków.

Dwa razy rzucamy kostką. Które zdarzenie jest najbardziej prawdopodobne: A — obie liczby nieparzyste, B — co najmniej jedna liczba parzysta, C — suma oczek wynosi 7?

Cyfry 0, 1, 3, 4 ustawiamy losowo, tworząc liczbę czterocyfrową bez powtórzeń. Oblicz prawdopodobieństwa, że liczba: a) będzie większa niż 3000; b) będzie podzielna przez 5.

Trzy ponumerowane kulki niezależnie trafiają do jednej z pięciu szuflad (jednakowo prawdopodobnie). Jakie jest prawdopodobieństwo, że każda trafi do innej?

Cztery razy rzucamy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania za każdym razem liczby nieparzystej.

Pięć razy rzucamy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadne dwa kolejne rzuty nie dadzą tej samej strony?

W pojemniku znajduje się 7 zielonych i 5 żółtych kul. Losujemy jedną. Oblicz P(kula żółta) oraz P(kula nieżółta).

Ze zbioru {2,4,6} losujemy kolejno dwie liczby ze zwracaniem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza będzie mniejsza od drugiej?

Z pudełka czerwonego losujemy liczbę ze zbioru {1,4,7}, a z niebieskiego ze zbioru {2,5}. Jakie jest prawdopodobieństwo, że niebieska liczba będzie większa?

Losowo wybieramy jedną z trzech przekąsek o cenach 5, 7, 9 zł oraz jeden z trzech napojów za 8, 10, 12 zł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rachunek przekroczy 17 zł?

Czterech pasażerów niezależnie i równomiernie wybiera jeden z czterech przystanków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy wysiądzie na innym?

Pięć razy rzucamy uczciwą monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie dwóch orłów?

Spośród liczb {1,2,3,4,5,6} losujemy jednocześnie dwie różne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że większa liczba jest podzielna przez mniejszą?

Z liczb 1,2,…,2n (n ≥ 1) wybieramy jednocześnie dwie różne. Dla jakich n prawdopodobieństwo nieparzystej sumy jest większe od 35?

Na kostce są liczby 1–6, a na dwóch stronach monety liczby 1 i 2. Rzucamy obiema. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma liczb nie będzie podzielna przez 3?

Trzykrotnie rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie równa 4?

W grupie 12 osób jest 5 kobiet i 7 mężczyzn. Losujemy jednocześnie dwie osoby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch mężczyzn.

Losujemy jedną liczbę ze zbioru {1,2,…,60}. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie będzie podzielna ani przez 2, ani przez 5?

Niesymetryczna kostka ma prawdopodobieństwa wyników 1–6 proporcjonalne do wag 1, 1, 2, 2, 3, 3. Oblicz P(parzysta liczba) i P(co najmniej 5 oczek).

Zielona kostka ma wagi wyników 1–6 równe (1,1,1,1,2,2), a czerwona (1,2,1,2,1,2). W której kostce parzysty wynik jest bardziej prawdopodobny?

Prawdopodobieństwa wyników 1–6 wynoszą kolejno: k, 14, 14, 14, 18, 18 − k. Wyznacz k, jeśli prawdopodobieństwo wyniku nieparzystego wynosi 716.

W maszynie losującej znajdują się kule 1, 2, 3, 4. Szansa wylosowania danej kuli jest proporcjonalna do jej numeru. Podaj rozkład prawdopodobieństwa.

Niezależnie dwukrotnie rzucamy monetą, dla której P(O) = 13 i P(R) = 23. Oblicz P(w pierwszym rzucie orzeł) i P(co najwyżej jedna reszka).

Kostka ma rozkład: P(1)=P(2)=k, P(3)=P(4)=18, P(5)=P(6)=14. Wyznacz k.

Dla wyników 1–6 prawdopodobieństwa wynoszą (110, 15, 110, 310, 110, 15). Znajdź wszystkie dwuelementowe zbiory wyników o prawdopodobieństwie 12.

W losowaniu jednej z liczb {1,2,3,4} wiadomo, że P({1,2})=12, P({2,3})=13, P({1,3})=12. Wyznacz prawdopodobieństwa wszystkich czterech wyników.

W pewnej kostce P({1,2})=P({3,4})=P({5,6})=13. Czy wynika stąd, że wszystkie sześć ścian ma prawdopodobieństwo 16?

Losujemy liczbę ze zbioru {1,2,3}. Prawdopodobieństwa wynoszą kolejno k, 2k i 3k. Oblicz P(liczba większa od 1).

W rozkładzie kostki wyniki nieparzyste mają każdy prawdopodobieństwo a, a parzyste każdy b. Wyrzucenie liczby parzystej jest 2 razy bardziej prawdopodobne niż nieparzystej. Wyznacz a i b.

Na kostce pierwszych pięć wyników ma jednakowe prawdopodobieństwo x, a szóstka — trzykrotnie większe. Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania liczby parzystej.

W pewnym teście P(co najmniej 7 punktów)=35, a P(co najwyżej 7 punktów)=34. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 7 punktów?

Zdarzenia A i B są niezależne, przy czym P(A)=12, a P(B)=14. Oblicz P(A ∪ B).

Wiadomo, że P(A′)=3·P(A). Wyznacz P(A).

Wiadomo, że P(B′)=35, P(A ∩ B)=15 i P(A ∪ B)=35. Oblicz P(A′).

Czy zdarzenia A i B mogą być rozłączne, jeżeli P(A)=23 i P(B)=12?

Załóż, że P(B)=2P(B′), P(B)=4P(A∩B), P(A)=3P(A∩B). Oblicz P(A), P(B), P(A∪B) oraz P(A ∖ B).

W każdym z czterech przypadków sprawdź niezależność zdarzeń: a) P(A)=12, P(B)=12, P(A∪B)=34; b) P(A)=12, P(B)=13, P(A ∖ B)=13; c) P(A)=23, P(B)=12, P(A′∪B′)=34; d) P(A)=12, P(B)=12, P(A′∩B′)=14.

Rzucamy uczciwą monetą sześć razy. Oblicz prawdopodobieństwo wypadnięcia co najmniej dwóch orłów.

Trzykrotnie rzucamy kostką. A — za każdym razem liczba parzysta; B — trzy razy identyczna liczba. Oblicz P(A ∪ B).

Z dziewięciu ciastek cztery są z migdałami, a pięć z rodzynkami. Losujemy jednocześnie trzy ciastka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierzemy co najmniej jedno z każdego rodzaju?

Rzucamy dwa razy kostką. A — pierwsza liczba jest parzysta, B — druga liczba jest większa od 4. Oblicz P(A′), P(A∩B′), P(A′∪B′).

W loterii jest dokładnie 3 losy wygrywające i n losów ogółem. Losujemy 2 różne losy bez zwracania. Wiadomo, że prawdopodobieństwo trafienia przynajmniej jednego wygrywającego wynosi 815. Oblicz n.