Zadanie 1.
1 pktIle jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których każda cyfra jest większa niż 2, ale mniejsza niż 6?
- A. 18
- B. 27
- C. 36
- D. 64
Rozwiń rozwiązanie
Cyfry większe niż 2 i mniejsze niż 6 to: 3, 4, 5.
Na miejscu setek, dziesiątek i jedności mamy po 3 możliwości. Cyfry mogą się powtarzać, bo nie ma zakazu powtórzeń.
Poprawna odpowiedź: B. 27.
Zadanie 2.
1 pktW windzie, która zatrzymuje się na 9 piętrach, jadą 4 osoby. Na ile sposobów te osoby mogą wybrać piętra, na których wysiądą, jeżeli każda osoba wysiądzie na innym piętrze, a na pierwszym piętrze nikt nie wysiada?
- A. 94
- B. 8 · 7 · 6 · 5
- C. 9 · 8 · 7 · 6
- D. 84
Rozwiń rozwiązanie
Pierwsze piętro jest wykluczone, więc każda osoba może wysiąść na jednym z 8 pięter.
Pierwsza osoba ma 8 możliwości, druga 7 (inne piętro), trzecia 6, a czwarta 5.
Poprawna odpowiedź: B. 1680 sposobów.
Zadanie 3.
1 pktNa ile sposobów można ustawić w szeregu sześciu chłopców i siedem dziewczynek tak, aby na drugim i na czwartym miejscu stał chłopiec?
- A. 6! · 7!
- B. 6 · 12!
- C. 30 · 11!
- D. 30 · 10!
Rozwiń rozwiązanie
Na drugie miejsce można wybrać jednego z 6 chłopców. Na czwarte – jednego z pozostałych 5.
Pozostałych 11 osób można ustawić na pozostałych 11 miejscach na 11! sposobów.
Poprawna odpowiedź: C.
Zadanie 4.
2 pktMamy do dyspozycji 24 litery, w tym 6 samogłosek. Ile pięcioliterowych kodów można utworzyć z tych liter, jeśli druga litera kodu ma być samogłoską, a pozostałe litery – spółgłoskami i żadna litera nie może się powtarzać?
Rozwiń rozwiązanie
Spółgłosek jest 24 − 6 = 18. Druga litera to samogłoska (6 możliwości).
Pozostałe cztery miejsca zajmują różne spółgłoski: kolejno 18, 17, 16 i 15 możliwości.
Odpowiedź: 440 640 kodów.
Zadanie 5.
2 pktIle jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których cyfra setek jest parzysta, a pozostałe cyfry są nieparzyste?
Rozwiń rozwiązanie
Cyfr parzystych jest 5: 0, 2, 4, 6, 8. Cyfr nieparzystych też jest 5: 1, 3, 5, 7, 9.
Na miejscu setek wybieramy jedną z 5 cyfr parzystych. Na pozostałych pięciu miejscach – po jednej z 5 cyfr nieparzystych. Cyfry mogą się powtarzać.
Odpowiedź: 15 625 liczb.
Zadanie 6.
2 pktW pudełku znajdują się cztery klocki, na których widnieją cyfry 2, 4, 5, 9. Losujemy kolejno bez zwracania dwa klocki.
Podaj przestrzeń zdarzeń elementarnych tego doświadczenia.
Rozwiń rozwiązanie
Wynik opisujemy parą uporządkowaną (pierwsza wylosowana cyfra, druga wylosowana cyfra). Kolejność ma znaczenie, a cyfry nie mogą się powtarzać.
Ω = { (2,4), (2,5), (2,9), (4,2), (4,5), (4,9), (5,2), (5,4), (5,9), (9,2), (9,4), (9,5) }
Przestrzeń ma 4 · 3 = 12 zdarzeń elementarnych.
Zadanie 7.
2 pktSpośród wszystkich liczb naturalnych należących do przedziału [30; 56] wybieramy losowo jedną liczbę.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że reszta z dzielenia tej liczby przez 7 jest równa 3?
Rozwiń rozwiązanie
Liczb w przedziale jest 56 − 30 + 1 = 27.
Liczby dające resztę 3 z dzielenia przez 7 to: 31, 38, 45, 52. Są 4 takie liczby.
Odpowiedź: 4/27.
Zadanie 8.
2 pktOkreślono następujące zdarzenia losowe:
- A – w jednym rzucie monetą wypadnie orzeł.
- B – w jednokrotnym rzucie kostką do gry wypadnie liczba oczek, która nie jest dzielnikiem liczby 12.
- C – w jednokrotnym losowaniu spośród wszystkich miesięcy w roku wypadnie miesiąc mający dokładnie 30 dni.
Uporządkuj od najmniejszego do największego prawdopodobieństwa: P(A), P(B), P(C).
Rozwiń rozwiązanie
A: Orzeł to 1 z 2 równoprawdopodobnych wyników rzutu monetą, więc P(A) = 12.
B: Spośród liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6 tylko liczba 5 nie jest dzielnikiem 12, więc P(B) = 16.
C: Dokładnie 30 dni mają 4 miesiące (kwiecień, czerwiec, wrzesień i listopad), więc P(C) = 412 = 13.
Od najmniejszego do największego: P(B) < P(C) < P(A).