1. Koło a okrąg – to nie jest to samo!
Na początku najważniejsza rzecz: okrąg i koło to dwie różne figury.
Okrąg
Okrąg to tylko linia.
Możesz myśleć o nim jak o obręczy albo brzegu pizzy.
Koło
Koło to całe wnętrze razem z brzegiem.
Czyli cała pizza, a nie tylko jej brzeg.
Okrąg jest brzegiem koła. Dlatego długość okręgu jest równa obwodowi koła.
2. Pole koła
Do obliczenia pola koła potrzebujemy jego promienia r.
Pole koła obliczamy ze wzoru:
Czyli jeśli r=5, to r²=5²=25.
Przykład
Koło ma promień 4 cm. Oblicz jego pole.
Krok 1. Zapisujemy wzór:
Krok 2. Wstawiamy r=4:
3. Pierścień kołowy
Pierścień kołowy wygląda trochę jak oponka albo obrączka.
Mamy duże koło, a ze środka „wycinamy” mniejsze koło. Oba koła mają ten sam środek.
Oznaczamy:
R – promień zewnętrzny, czyli promień dużego koła,
r – promień wewnętrzny, czyli promień małego koła.
Jak obliczyć pole pierścienia?
Najprościej pomyśleć tak:
Pole dużego koła:
Pole małego koła:
Dlatego:
Możemy też zapisać:
Przykład
Pierścień ma promień zewnętrzny R=5 cm i promień wewnętrzny r=3 cm. Oblicz jego pole.
4. Szerokość pierścienia
Czasami w zadaniu zamiast obu promieni podana jest szerokość pierścienia.
Szerokość pierścienia to po prostu różnica promieni:
Na przykład jeśli R=10 cm, a r=7 cm:
5. Wycinek koła
Wycinek koła to taki kawałek pizzy.
Jest ograniczony przez dwa promienie i łuk okręgu.
Jak obliczyć pole wycinka?
Całe koło ma kąt:
Jeśli nasz wycinek ma kąt α, to bierzemy tylko odpowiednią część całego koła.
90° → ćwierć koła
180° → połowa koła
360° → całe koło
| Kąt | Jaka część koła? | Pole |
|---|---|---|
| 90° | 1/4 | ¼πr² |
| 180° | 1/2 | ½πr² |
| 270° | 3/4 | ¾πr² |
| 360° | całe koło | πr² |
Przykład
Koło ma promień r=6 cm. Oblicz pole wycinka o kącie 60°.
Krok 1. Zapisujemy wzór:
Krok 2. Podstawiamy dane:
6. Odcinek koła
To pojęcie łatwo pomylić z wycinkiem. Spójrz na rysunek:
Wycinek koła
Ma kształt kawałka pizzy.
Odcinek koła
Leży między łukiem i cięciwą.
Jak obliczyć pole odcinka koła?
Spójrzmy na tę samą figurę dokładniej:
Najpierw mamy cały wycinek koła.
Jeżeli odejmiemy od niego trójkąt AOB, zostanie właśnie odcinek koła.
7. Zadania
Kwadrat ma pole 36 cm². Oblicz pole największego koła, które można zmieścić w tym kwadracie.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Największe koło w kwadracie dotyka wszystkich czterech boków.
To oznacza, że średnica koła jest równa bokowi kwadratu.
Pole kwadratu wynosi:
Jaka liczba podniesiona do kwadratu daje 36?
Średnica koła jest równa 6 cm:
Promień to połowa średnicy:
Koło ma pole 2,25π cm². Oblicz długość okręgu ograniczającego to koło.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Do obliczenia długości okręgu potrzebujemy promienia.
Dlatego najpierw wykorzystujemy podane pole koła.
Dzielimy obie strony przez π:
Pierścień kołowy ma promień zewnętrzny R=25 cm i promień wewnętrzny r=24 cm.
a) Oblicz pole pierścienia.
b) Podaj promień koła, którego pole jest równe polu tego pierścienia.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Pierścień to:
Szukamy promienia x takiego koła, którego pole wynosi 49π:
Dzielimy przez π:
a) pole pierścienia wynosi 49π cm²,
b) szukane koło ma promień 7 cm.
Pole pierścienia kołowego o szerokości 1 cm wynosi 17π cm². Oblicz jego promień zewnętrzny i promień wewnętrzny.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Mamy duże koło i wycięte z niego mniejsze koło. Oba mają ten sam środek O.
Promień małego koła oznaczamy przez r, a promień dużego koła przez R.
r – dochodzi do wewnętrznego okręgu,
potem mamy jeszcze 1 cm szerokości pierścienia.
Dlatego:
Pole pierścienia to:
Czyli:
Wiemy z zadania, że pole pierścienia wynosi 17π:
Z rysunku wiemy już, że:
Dlatego zamiast R możemy wpisać r+1:
Dzielimy obie strony przez π:
Rozwijamy nawias:
r² i −r² się skracają:
Promień zewnętrzny jest o 1 cm większy:
Pole dużego koła:
Pole małego koła:
Pole pierścienia:
Wynik zgadza się z treścią zadania.
promień wewnętrzny: r=8 cm
promień zewnętrzny: R=9 cm.
Oblicz pole wycinka koła o promieniu r wyznaczonego przez kąt środkowy α.
a) r=12, α=75°
b) r=2, α=22°30′
c) r=√3, α=315°
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Najpierw zamieniamy minuty kątowe na stopnie:
Czyli:
Teraz podstawiamy:
Pamiętaj:
Podstawiamy:
Bok kwadratu ma długość 6. W kwadracie umieszczono cztery jednakowe koła tak jak na rysunku. Oblicz pole zacieniowanego obszaru.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Zacieniowany obszar to:
Na szerokości kwadratu mieszczą się dokładnie dwa koła.
Bok kwadratu ma długość 6, więc jedna średnica ma:
Promień jest połową średnicy:
Koło ma promień 4. Cięciwa AB wyznacza kąt środkowy ∠AOB=45°. Oblicz pole mniejszego odcinka koła AB.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Zielony fragment to odcinek koła.
Najłatwiej policzyć go tak:
Boki OA i OB mają długość 4, a kąt między nimi ma 45°.
Korzystamy ze wzoru:
Podstawiamy:
Wiemy, że:
Zatem:
8. Szybka ściąga
| Co liczymy? | Co robimy? |
|---|---|
| Pole koła | P=πr² |
| Pole pierścienia | duże koło − małe koło |
| Szerokość pierścienia | R−r |
| Pole wycinka | α 360° ·πr² |
| Pole odcinka koła | wycinek − trójkąt |
Zobacz na rysunek i odpowiedz sobie: „Który kawałek figury mam policzyć?”
Bardzo często zadanie staje się łatwe, gdy zamiast od razu szukać wzoru pomyślisz: co trzeba od czego odjąć?