Kolejność przekształceń wykresów funkcji wykładniczych - przykład nr 3

Rozważamy funkcję:

y = 2 − ( 1 4 )^−x−1

W tym przykładzie możemy narysować wykres na dwa sposoby. Najpierw poznamy krótszy sposób, w którym upraszczamy wzór.

1. Sposób I – najpierw upraszczamy wzór

Zamiast od razu wykonywać kilka przekształceń wykresu, przyjrzyjmy się podstawie potęgi.

Wiemy, że:

1 4 =4⁻¹

Możemy więc zapisać:

( 1 4 )^−x−1 = (4⁻¹)^−x−1

Gdy potęgujemy potęgę, mnożymy wykładniki:

(−1)(−x−1)=x+1

Dlatego:

( 1 4 )^−x−1 = 4^x+1

Naszą funkcję możemy więc od razu zapisać w prostszej postaci:

y=2−4^x+1

Teraz przekształcenia są dużo łatwiejsze do odczytania.

Zaczynamy od funkcji:

y=4^x

1 w lewo → odbicie względem OX → 2 w górę

Krok 1. Rysujemy funkcję podstawową

y=4^x

Ponieważ podstawa potęgi jest większa od 1, funkcja y=4^x jest rosnąca.

Funkcja podstawowa

y = 4^x

Wykres zbliża się do osi OX, czyli do prostej y=0, ale jej nie osiąga.

Krok 2. Przesuwamy wykres o 1 jednostkę w lewo

We wzorze:

y=4^x+1

przy x pojawiło się +1.

Pamiętaj:

Jeżeli liczba znajduje się przy x, wewnątrz funkcji, kierunek przesunięcia odczytujemy przeciwnie do znaku:

x+1 → 1 jednostka w lewo

Przesunięcie o 1 jednostkę w lewo

y = 4^x y = 4^x+1

Krok 3. Odbijamy wykres względem osi OX

Teraz mamy minus przed całą potęgą:

y=−4^x+1

Minus przed funkcją oznacza, że wszystkie wartości y zmieniają znak. Wykres odbijamy względem osi OX.

Odbicie względem osi OX

y = 4^x+1 y = −4^x+1

Punkt (−1,1) po odbiciu względem osi OX przechodzi w (−1,−1).

Krok 4. Przesuwamy wykres o 2 jednostki w górę

Została nam liczba +2 poza potęgą:

y=2−4^x+1

Dodanie 2 do wartości funkcji oznacza przesunięcie całego wykresu o 2 jednostki w górę.

Wykres końcowy

y = 2 − 4^x+1

Wykres znajduje się poniżej prostej y=2 i zbliża się do niej, ale jej nie osiąga.

Sposób I – podsumowanie

y=4^x → 1 w lewo → odbicie OX → 2 w górę

2. Sposób II – bez upraszczania wzoru

Możemy również rozpocząć bezpośrednio od funkcji:

y= ( 1 4 )^x

Wtedy musimy dokładnie przyjrzeć się wykładnikowi:

−x−1

Wyłączamy minus przed nawias:

−x−1=−(x+1)

Dlaczego w nawiasie mamy x+1?

Minus przed nawiasem zmienia oba znaki:

−(x+1)=−x−1

Dlatego: −x−1=−(x+1).

W tym sposobie pojawiają się dwa różne minusy.

( 1 4 )^−x minus przy x odbicie względem OY

− ( 1 4 )^x minus przed funkcją odbicie względem OX

Krok 1. Odbijamy względem osi OY

W miejsce x wpisujemy −x:

y= ( 1 4 )^−x

Wykres funkcji malejącej po odbiciu względem OY staje się rosnący.

Odbicie względem osi OY

przed odbiciem po odbiciu

Przy odbiciu względem osi OY punkt (−1,4) przechodzi w (1,4).

Krok 2. Przesuwamy o 1 jednostkę w lewo

Po odbiciu mamy:

y= ( 1 4 )^−x

Teraz w miejsce x wpisujemy x+1:

y= ( 1 4 )^−(x+1) = ( 1 4 )^−x−1

Wykres przesuwamy o 1 jednostkę w lewo.

Krok 3. Odbijamy względem osi OX

Teraz uwzględniamy minus znajdujący się przed całą potęgą:

y= − ( 1 4 )^−x−1

Odbijamy więc wykres względem osi OX.

Krok 4. Przesuwamy o 2 jednostki w górę

Na końcu dodajemy 2:

y= 2− ( 1 4 )^−x−1

Otrzymujemy dokładnie ten sam wykres, który otrzymaliśmy w Sposobie I.

Sposób II – podsumowanie

odbicie OY → 1 w lewo → odbicie OX → 2 w górę

3. Który sposób jest prostszy?

Oba sposoby są poprawne i prowadzą do dokładnie tej samej funkcji.

W tym przykładzie Sposób I jest krótszy, ponieważ na początku możemy wykorzystać:

( 1 4 )^−x−1 = 4^x+1

Dzięki temu zamiast wykonywać dwa odbicia, od razu pracujemy z prostszą funkcją y=2−4^x+1.

4. Odczytujemy własności funkcji z wykresu

Do odczytywania własności patrzymy już tylko na ostateczny wykres funkcji.

Odczytywanie własności z wykresu

y = 2 − 4^x+1

Dziedzina

Funkcja wykładnicza jest określona dla każdego x. Wykres możemy przedłużać zarówno w lewo, jak i w prawo.

Dziedzina: D=ℝ

Zbiór wartości

Z wykresu widzimy, że wszystkie wartości funkcji znajdują się poniżej 2.

Wykres zbliża się do y=2, ale nigdy tej wartości nie osiąga. W dół nie ma natomiast ograniczenia.

Zbiór wartości: (−∞,2)

Monotoniczność

Patrzymy na wykres od lewej strony do prawej. Wraz ze wzrostem x wartości funkcji są coraz mniejsze.

Funkcja jest malejąca.

Miejsce zerowe

Wykres przecina oś OX, więc funkcja ma jedno miejsce zerowe.

Z wykresu odczytujemy:

x=− 1 2

Sprawdźmy to rachunkowo:

0=2−4^x+1

4^x+1=2

Ponieważ:

2=4^1/2,

porównujemy wykładniki:

x+1= 1 2

x=− 1 2

Asymptota pozioma

Po lewej stronie wykres coraz bardziej zbliża się do prostej:

y=2

Jest to asymptota pozioma.

Przecięcie z osią OY

Na osi OY mamy x=0. Podstawiamy:

y=2−4⁰⁺¹

y=2−4

y=−2

Wykres przecina więc oś OY w punkcie:

(0,−2)

5. Co warto zapamiętać?

( 1 a )⁻ⁿ =aⁿ

f(x+a) → a jednostek w lewo

−f(x) → odbicie względem osi OX

f(x)+a → a jednostek w górę

Najkrótsza droga w tym zadaniu:

( 1 4 )^−x−1 = 4^x+1

y=4^x → 1 w lewo → odbicie OX → 2 w górę

Kolejność przekształceń wykresów funkcji wykładniczych – przykład nr 3

1. Sposób I – najpierw upraszczamy wzór

Krok 1. Rysujemy funkcję podstawową

Krok 2. Przesuwamy wykres o 1 jednostkę w lewo

Krok 3. Odbijamy wykres względem osi OX

Krok 4. Przesuwamy wykres o 2 jednostki w górę

2. Sposób II – bez upraszczania wzoru

Krok 1. Odbijamy względem osi OY

Krok 2. Przesuwamy o 1 jednostkę w lewo

Krok 3. Odbijamy względem osi OX

Krok 4. Przesuwamy o 2 jednostki w górę

3. Który sposób jest prostszy?

4. Odczytujemy własności funkcji z wykresu

Dziedzina

Zbiór wartości

Monotoniczność

Miejsce zerowe

Asymptota pozioma

Przecięcie z osią OY

5. Co warto zapamiętać?

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?