Rozważamy funkcję:
Zaczynamy od funkcji podstawowej:
1. Najpierw przyjrzyjmy się wykładnikowi
W potędze mamy:
Wygodniej zapisać ten wykładnik w postaci:
Wyłączamy minus przed nawias. Minus przed nawiasem zmienia znaki wyrażeń znajdujących się w nawiasie:
Dlatego poprawny zapis to: −(x−1).
Możemy więc przepisać naszą funkcję:
W tej postaci dużo łatwiej zobaczyć, jakie przekształcenia wykresu musimy wykonać.
2. Jakie przekształcenia trzeba wykonać?
1. Minus przy x oznacza odbicie wykresu względem osi OY.
2. Wyrażenie x−1 oznacza przesunięcie o 1 jednostkę w prawo.
3. Liczba +3 poza potęgą oznacza przesunięcie całego wykresu o 3 jednostki w górę.
3. Funkcja podstawowa
Ponieważ podstawa potęgi jest większa od 1, funkcja y=2x jest rosnąca.
4. Sposób I – najpierw odbicie względem osi OY
Krok 1. Odbijamy wykres względem osi OY
Zaczynamy od:
Przy odbiciu względem osi OY w miejsce x wpisujemy −x.
Przy odbiciu względem osi OY zmienia się znak współrzędnej x: (1,2) → (−1,2).
Krok 2. Przesuwamy wykres o 1 jednostkę w prawo
Po odbiciu mamy:
Teraz przesuwamy wykres o 1 jednostkę w prawo. W miejsce x wpisujemy x−1:
A ponieważ:
otrzymujemy:
Punkt (0,1) przesuwa się do (1,1).
Krok 3. Przesuwamy wykres o 3 jednostki w górę
Zostało nam jeszcze +3 poza potęgą:
Dodanie 3 do wartości funkcji przesuwa cały wykres o 3 jednostki w górę.
5. Sposób II – najpierw przesunięcie
Możemy również zacząć od przesunięcia wykresu. Wtedy musimy jednak zwrócić uwagę na kierunek przesunięcia.
Krok 1. Przesuwamy o 1 jednostkę w lewo
Z funkcji:
otrzymujemy:
Wyrażenie x+1 oznacza przesunięcie o 1 jednostkę w lewo.
Krok 2. Odbijamy względem osi OY
Odbicie względem osi OY oznacza: w miejsce x wpisujemy −x.
Mieliśmy wykładnik:
Zamieniamy więc x na −x:
Otrzymujemy:
Przy odbiciu względem osi OY punkt (−1,1) przechodzi w (1,1). Współrzędna x zmienia znak, a y pozostaje bez zmian.
Krok 3. Przesuwamy o 3 jednostki w górę
Gdy najpierw odbijamy wykres względem osi OY, później przesuwamy go o 1 w prawo.
Jeżeli natomiast najpierw przesuwamy, musimy przesunąć wykres o 1 w lewo, a dopiero potem odbić go względem osi OY.
Obie drogi prowadzą do tej samej funkcji: y=21−x.
6. Najbezpieczniejszy sposób na sprawdzianie
Najpierw przekształć wykładnik:
Dzięki temu:
Teraz łatwo odczytać kolejność:
7. Odczytujemy własności funkcji z wykresu
Spójrzmy jeszcze raz na gotowy wykres. Teraz wykorzystamy go do odczytania własności funkcji.
Dziedzina
Wykres możemy przedłużać zarówno w lewo, jak i w prawo. Nie ma żadnej wartości x, której nie moglibyśmy wstawić.
Zbiór wartości
Z wykresu widzimy, że wszystkie jego punkty znajdują się powyżej prostej y=3.
Wykres zbliża się do y=3, ale nigdy tej wartości nie osiąga.
Monotoniczność
Patrzymy na wykres od lewej strony do prawej. Wraz ze wzrostem x wykres cały czas opada.
Miejsca zerowe
Miejsce zerowe odczytujemy w miejscu przecięcia wykresu z osią OX.
Nasz wykres znajduje się cały czas powyżej prostej y=3, więc nie przecina osi OX.
Asymptota pozioma
Patrząc na prawą część wykresu widzimy, że zbliża się on coraz bardziej do prostej:
Jest to asymptota pozioma.
Przecięcie z osią OY
Na osi OY mamy x=0. Podstawiamy więc 0 do wzoru:
Na wykresie również widzimy punkt: