Granice jednostronne w punkcie

Do danego punktu możemy zbliżać się z lewej strony albo z prawej strony. Dlatego oprócz zwykłej granicy funkcji możemy badać także jej granice jednostronne.

Granice jednostronne opisują zachowanie funkcji tylko po jednej stronie badanego punktu.

Co oznacza podejście z lewej i z prawej strony?

Załóżmy, że badamy zachowanie funkcji w punkcie \(x_0=2\).

Z lewej strony bierzemy liczby mniejsze od \(2\), ale coraz bliższe \(2\), na przykład \(1{,}9\), \(1{,}99\), \(1{,}999\), \(1{,}9999\). Zapisujemy wtedy \(x\to2^-\).

Z prawej strony bierzemy liczby większe od \(2\), ale coraz bliższe \(2\), na przykład \(2{,}1\), \(2{,}01\), \(2{,}001\), \(2{,}0001\). Zapisujemy wtedy \(x\to2^+\).

Zapamiętaj:

\(x\to x_0^-\) oznacza, że zbliżamy się do \(x_0\) wartościami mniejszymi od \(x_0\).

\(x\to x_0^+\) oznacza, że zbliżamy się do \(x_0\) wartościami większymi od \(x_0\).

Znaki „−” i „+” nie oznaczają tutaj liczby ujemnej i dodatniej. Mówią jedynie, z której strony zbliżamy się do punktu.

Granica lewostronna

Granica lewostronna funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) opisuje zachowanie wartości funkcji, gdy \(x\) zbliża się do \(x_0\) wartościami mniejszymi od \(x_0\).

\(\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x)=g\)

Czytamy: granica lewostronna funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) jest równa \(g\).

Granica prawostronna

Granica prawostronna funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) opisuje zachowanie wartości funkcji, gdy \(x\) zbliża się do \(x_0\) wartościami większymi od \(x_0\).

\(\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x)=g\)

Czytamy: granica prawostronna funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) jest równa \(g\).

Definicja za pomocą ciągów

Granice jednostronne możemy również zdefiniować za pomocą ciągów.

Granica lewostronna: mówimy, że \(\lim_{x\to x_0^-}f(x)=g\), jeżeli dla każdego ciągu \((x_n)\) o wyrazach należących do dziedziny funkcji \(f\), którego wyrazy są mniejsze od \(x_0\) i który dąży do \(x_0\), zachodzi:

\(\displaystyle f(x_n)\to g\)

Granica prawostronna: mówimy, że \(\lim_{x\to x_0^+}f(x)=g\), jeżeli dla każdego ciągu \((x_n)\) o wyrazach należących do dziedziny funkcji \(f\), którego wyrazy są większe od \(x_0\) i który dąży do \(x_0\), zachodzi:

\(\displaystyle f(x_n)\to g\)

Jak obliczamy granicę jednostronną?

Samo obliczanie często wygląda podobnie jak w przypadku zwykłej granicy. Najważniejsze jest jednak ustalenie dziedziny funkcji oraz tego, z której strony możemy zbliżać się do badanego punktu.

Przykład 1 – granica lewostronna

Obliczmy:

\(\displaystyle \lim_{x\to5^-}\frac{x^2-4x-5}{x-5} \)
Dziedzina: mianownik nie może być równy \(0\), dlatego \(x\neq5\). Zatem \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{5\}\). Po obu stronach punktu \(5\) znajdują się liczby należące do dziedziny, więc możemy badać zarówno granicę lewostronną, jak i prawostronną.

Po podstawieniu \(x=5\) otrzymujemy symbol nieoznaczony \(\frac00\). Rozkładamy licznik:

\(\displaystyle x^2-4x-5=(x-5)(x+1)\)

Zatem:

\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to5^-}\frac{x^2-4x-5}{x-5} &= \lim_{x\to5^-}\frac{(x-5)(x+1)}{x-5}\\ &= \lim_{x\to5^-}(x+1)\\ &=6 \end{aligned} \)
\(\boxed{6}\)
x y 5 6
W pobliżu punktu \(x=5\) wykres pokrywa się z prostą \(y=x+1\). Zarówno z lewej, jak i z prawej strony wartości funkcji zbliżają się do \(6\). W tym zadaniu obliczamy jednak tylko granicę lewostronną, dlatego skupiamy się na zachowaniu funkcji dla argumentów mniejszych od \(5\).
Przykład 2 – granica prawostronna i dziedzina funkcji

Obliczmy:

\(\displaystyle \lim_{x\to1^+} \frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x-1}} \)
Dziedzina: w mianowniku znajduje się \(\sqrt{x-1}\), dlatego wyrażenie pod pierwiastkiem musi być dodatnie. Otrzymujemy \(x>1\). Zatem \(D_f=(1,+\infty)\).

To bardzo ważne: w pobliżu punktu \(1\) funkcja jest określona tylko po jego prawej stronie. Nie możemy więc zbliżać się do \(1\) argumentami mniejszymi od \(1\). Dlatego w punkcie \(1\) możemy badać granicę prawostronną, natomiast granicy lewostronnej tej funkcji w punkcie \(1\) nie ma.

Rozkładamy:

\(\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1)\)

Dla \(x>1\) oba czynniki pod pierwiastkiem są nieujemne, dlatego:

\(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{x\to1^+} \frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x-1}} &= \lim_{x\to1^+} \frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{\sqrt{x-1}}\\ &= \lim_{x\to1^+}\sqrt{x+1}\\ &=\sqrt2 \end{aligned} \)
\(\boxed{\sqrt2}\)
x y 1
Dziedzina funkcji to \(D_f=(1,+\infty)\). Wykres istnieje więc tylko po prawej stronie punktu \(1\). Z wykresu również widzimy, że do punktu \(1\) nie możemy zbliżać się od lewej strony.

Wartość bezwzględna i granice jednostronne

Przy wartości bezwzględnej strona, z której zbliżamy się do punktu, często decyduje o sposobie usunięcia modułu.

Dla wyrażenia \(|x-a|\) obowiązuje:

jeżeli \(x<a\), to \(|x-a|=-(x-a)\),

a jeżeli \(x>a\), to \(|x-a|=x-a\).

Przykład 3 – wartość bezwzględna

Rozważmy funkcję:

\(\displaystyle f(x)=\frac{|x-2|}{2-x} \)
Dziedzina: mianownik nie może być równy \(0\), więc \(x\neq2\). Zatem \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Po obu stronach punktu \(2\) znajdują się argumenty należące do dziedziny, dlatego możemy badać obie granice jednostronne.

Najpierw granica lewostronna. Jeżeli \(x\to2^-\), zbliżamy się do \(2\) wartościami mniejszymi od \(2\). Wtedy \(x-2<0\), dlatego:

\(\displaystyle |x-2|=-(x-2)=2-x\)
\(\displaystyle \lim_{x\to2^-}\frac{|x-2|}{2-x} = \lim_{x\to2^-}\frac{2-x}{2-x} = 1 \)

Teraz granica prawostronna. Jeżeli \(x\to2^+\), zbliżamy się do \(2\) wartościami większymi od \(2\). Wtedy \(x-2>0\), dlatego:

\(\displaystyle |x-2|=x-2\)
\(\displaystyle \lim_{x\to2^+}\frac{|x-2|}{2-x} = \lim_{x\to2^+}\frac{x-2}{-(x-2)} = -1 \)

Możemy więc zapisać:

\(\displaystyle f(x)= \begin{cases} 1, & x\lt2,\\ -1, & x\gt2. \end{cases} \)
x y 2 1 −1
Po lewej stronie punktu \(2\) funkcja ma wartość \(1\), a po prawej stronie wartość \(-1\). Dlatego granice jednostronne są różne.

Kiedy istnieje granica funkcji?

Granica funkcji w punkcie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją obie granice jednostronne i są sobie równe.

\(\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=g \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = g \)

Zapamiętaj:

granica lewostronna = granica prawostronna → granica funkcji w punkcie istnieje,

granica lewostronna ≠ granica prawostronna → granica funkcji w punkcie nie istnieje.

Funkcja określona różnymi wzorami

Przykład 4

Zbadajmy istnienie granicy w punkcie \(x_0=1\):

\(\displaystyle f(x)= \begin{cases} x^2-x, & x\lt1,\\ \sqrt{x-1}, & x\gt1. \end{cases} \)
Dziedzina: pierwszy wzór obowiązuje dla \(x<1\), a drugi dla \(x>1\). Punkt \(x=1\) nie został przypisany do żadnej części funkcji. Zatem \(D_f=(-\infty,1)\cup(1,+\infty)\). Po obu stronach punktu \(1\) mamy jednak argumenty należące do dziedziny, dlatego możemy obliczyć obie granice jednostronne.

Z lewej strony korzystamy ze wzoru \(x^2-x\):

\(\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}(x^2-x) = 0 \)

Z prawej strony korzystamy ze wzoru \(\sqrt{x-1}\):

\(\displaystyle \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}\sqrt{x-1} = 0 \)

Obie granice jednostronne są równe, dlatego:

\(\displaystyle \boxed{\lim_{x\to1}f(x)=0}\)

Zadania

Zadanie 1

Oblicz:

\(\displaystyle \lim_{x\to5^-}\frac{x^2-4x-5}{x-5} \)
Pokaż rozwiązanie

Najpierw wyznaczamy dziedzinę. Mianownik nie może być równy \(0\), dlatego \(x\neq5\). Zatem \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{5\}\).

\(\displaystyle x^2-4x-5=(x-5)(x+1)\)
\(\displaystyle \lim_{x\to5^-} \frac{(x-5)(x+1)}{x-5} = \lim_{x\to5^-}(x+1) = 6 \)
Zadanie 2

Oblicz:

\(\displaystyle \lim_{x\to1^+} \frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x-1}} \)
Pokaż rozwiązanie

Ze względu na pierwiastek w mianowniku musi być \(x>1\). Zatem \(D_f=(1,+\infty)\). Funkcja jest więc w pobliżu punktu \(1\) określona tylko po prawej stronie.

\(\displaystyle x^2-1=(x-1)(x+1)\)
\(\displaystyle \lim_{x\to1^+} \frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{\sqrt{x-1}} = \lim_{x\to1^+}\sqrt{x+1} = \sqrt2 \)
Zadanie 3

Wykaż, że:

\(\displaystyle \lim_{x\to2^-}\frac{|x-2|}{2-x} \neq \lim_{x\to2^+}\frac{|x-2|}{2-x} \)
Pokaż rozwiązanie

Dziedzina funkcji to \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Możemy więc podejść do punktu \(2\) z obu stron.

Z lewej strony \(x-2<0\), dlatego \(|x-2|=2-x\):

\(\displaystyle \lim_{x\to2^-}\frac{|x-2|}{2-x}=1 \)

Z prawej strony \(x-2>0\), dlatego \(|x-2|=x-2\):

\(\displaystyle \lim_{x\to2^+}\frac{|x-2|}{2-x}=-1 \)

Ponieważ \(1\neq-1\), granica obustronna nie istnieje.

Zadanie 4

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji w punkcie \(x_0=3\):

\(\displaystyle f(x)= \begin{cases} x^2-5, & x\lt3,\\ 7-x, & x\gt3. \end{cases} \)
Pokaż rozwiązanie

Funkcja jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych poza punktem \(3\), czyli \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{3\}\). Po obu stronach punktu \(3\) znajdują się argumenty należące do dziedziny.

\(\displaystyle \lim_{x\to3^-}f(x) = 9-5 = 4 \)
\(\displaystyle \lim_{x\to3^+}f(x) = 7-3 = 4 \)

Granice jednostronne są równe, więc:

\(\displaystyle \boxed{\lim_{x\to3}f(x)=4}\)
Zadanie 5

Zbadaj, czy istnieje granica funkcji w punkcie \(x_0=-2\):

\(\displaystyle f(x)= \begin{cases} -5, & x\lt-2,\\ 3x-1, & x\gt-2. \end{cases} \)
Pokaż rozwiązanie

Dziedzina to \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\). Do punktu \(-2\) możemy więc zbliżać się z obu stron.

\(\displaystyle \lim_{x\to-2^-}f(x)=-5 \)
\(\displaystyle \lim_{x\to-2^+}f(x) = 3(-2)-1 = -7 \)

Ponieważ \(-5\neq-7\), granica obustronna nie istnieje.

Zapamiętaj

1. Zanim zaczniesz liczyć granicę jednostronną, sprawdź dziedzinę funkcji.

2. \(x\to x_0^-\) oznacza podejście do punktu z lewej strony.

3. \(x\to x_0^+\) oznacza podejście do punktu z prawej strony.

4. Jeżeli po jednej stronie punktu nie ma argumentów należących do dziedziny, nie możemy badać granicy funkcji z tej strony.

5. Przy wartości bezwzględnej strona podejścia pomaga ustalić sposób usunięcia modułu.

6. Granica obustronna istnieje wtedy, gdy obie granice jednostronne istnieją i są sobie równe.

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?

Umów bezpłatną lekcję próbną — wytłumaczę Ci wszystko krok po kroku.

Umów lekcję próbną