Granica funkcji w punkcie

Granica funkcji w punkcie mówi, do jakiej wartości zbliżają się wartości \(f(x)\), gdy \(x\) zbliża się do danego punktu \(x_0\).

\[ \boxed{\lim_{x\to x_0}f(x)=g} \]

Czytamy: „granica funkcji \(f(x)\), gdy \(x\) dąży do \(x_0\), jest równa \(g\)”.

Zapamiętaj: granica opisuje to, co dzieje się z funkcją w pobliżu punktu \(x_0\), a niekoniecznie dokładnie w samym punkcie \(x_0\).

Jak rozumieć granicę?

Rozważmy funkcję \(f(x)=2x+1\) i sprawdźmy, co dzieje się z jej wartościami, gdy \(x\) zbliża się do \(3\).

\(x\)\(f(x)=2x+1\)
\(2{,}9\)\(6{,}8\)
\(2{,}99\)\(6{,}98\)
\(2{,}999\)\(6{,}998\)
\(3{,}001\)\(7{,}002\)
\(3{,}01\)\(7{,}02\)

Im bliżej liczby \(3\) znajduje się \(x\), tym bliżej liczby \(7\) znajduje się wartość funkcji. Dlatego:

\[ \boxed{\lim_{x\to3}(2x+1)=7} \]
x y −2 −1 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y = 2x + 1
Punkt \((3,7)\) leży na wykresie funkcji \(y=2x+1\).

Jak obliczamy granicę w punkcie?

Najpierw spróbuj podstawić \(x=x_0\). W wielu prostych przykładach od razu otrzymamy wartość granicy.

Przypadek 1 – po podstawieniu otrzymujemy liczbę

Obliczmy \(\lim_{x\to2}(3x+1)\). Po podstawieniu \(x=2\) otrzymujemy \(3\cdot2+1=7\), więc:

\[ \boxed{\lim_{x\to2}(3x+1)=7} \]

Przypadek 2 – po podstawieniu otrzymujemy \(\frac00\)

Rozważmy granicę:

\[ \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}. \]

Najpierw podstawiamy \(x=2\):

\[ \frac{2^2-4}{2-2} = \frac00. \]
Uwaga: \(\frac00\) jest symbolem nieoznaczonym. Nie oznacza to, że granica nie istnieje. Musimy najpierw przekształcić wyrażenie.

Licznik \(x^2-4\) rozkładamy, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:

\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]

Teraz zapisujemy całą granicę jeszcze raz:

\[ \begin{aligned} \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2} &= \lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}\\[4pt] &= \lim_{x\to2}(x+2)\\[4pt] &= 2+2\\[4pt] &= 4. \end{aligned} \]

Po skróceniu czynnika \(x-2\) zostaje wyrażenie \(x+2\), więc możemy podstawić \(x=2\).

\[ \boxed{\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=4} \]

Granica a wartość funkcji

Granica funkcji nie musi być równa wartości funkcji w punkcie. Może się nawet zdarzyć, że funkcja w punkcie \(x_0\) nie jest określona, a mimo to ma w tym punkcie granicę.

Rozważmy ponownie funkcję:

\[ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}. \]

Dla \(x=2\) mianownik jest równy zero, dlatego \(f(2)\) nie istnieje.

Dla każdego \(x\neq2\) funkcję możemy uprościć do postaci \(f(x)=x+2\). Dlatego:

\[ \boxed{\lim_{x\to2}f(x)=4} \]
x y −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 y = x + 2
Wykres jest prostą \(y=x+2\), ale punkt \((2,4)\) jest poza dziedziną. Funkcja nie ma tam wartości, lecz jej granica w punkcie \(x=2\) jest równa \(4\).

Granica lewostronna i prawostronna

Do punktu \(x_0\) możemy zbliżać się z dwóch stron: od lewej albo od prawej.

Granica lewostronna

Zapis \(\lim_{x\to x_0^-}f(x)\) oznacza, że \(x\) zbliża się do \(x_0\) od strony wartości mniejszych od \(x_0\).

Na przykład dla \(x_0=2\) możemy brać liczby \(1{,}9;\ 1{,}99;\ 1{,}999;\ldots\)

Granica prawostronna

Zapis \(\lim_{x\to x_0^+}f(x)\) oznacza, że \(x\) zbliża się do \(x_0\) od strony wartości większych od \(x_0\).

Na przykład dla \(x_0=2\) możemy brać liczby \(2{,}1;\ 2{,}01;\ 2{,}001;\ldots\)

Kiedy granica funkcji istnieje?

Granica funkcji w punkcie \(x_0\) istnieje wtedy, gdy granica lewostronna i prawostronna istnieją oraz są sobie równe:

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = g. \]

Wtedy:

\[ \boxed{\lim_{x\to x_0}f(x)=g} \]
Najprościej: jeśli granica z lewej strony jest równa granicy z prawej strony, to granica istnieje. Jeśli otrzymujemy dwie różne wartości, granica nie istnieje.

Przykład – kiedy granica nie istnieje?

Rozważmy funkcję:

\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x<2,\\ 3, & x>2. \end{cases} \]

Z lewej strony wartości funkcji zbliżają się do \(1\), więc \(\lim_{x\to2^-}f(x)=1\). Z prawej strony wartości funkcji zbliżają się do \(3\), więc \(\lim_{x\to2^+}f(x)=3\).

Ponieważ \(1\neq3\), granica funkcji w punkcie \(x=2\) nie istnieje.

x y −1 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
Dla \(x\to2^-\) wartości funkcji dążą do \(1\), natomiast dla \(x\to2^+\) dążą do \(3\). Granice jednostronne są różne, dlatego granica w punkcie \(x=2\) nie istnieje.

Definicja Heinego

Granice funkcji możemy również badać za pomocą ciągów.

Definicja Heinego:

Funkcja \(f\) ma w punkcie \(x_0\) granicę równą \(g\), jeżeli dla każdego ciągu \((x_n)\), którego wyrazy należą do dziedziny funkcji, spełniają \(x_n\neq x_0\) oraz \(x_n\to x_0\), zachodzi \(f(x_n)\to g\).

Definicja Heinego jest szczególnie przydatna, gdy chcemy wykazać, że granica nie istnieje. Wystarczy znaleźć dwa ciągi dążące do tego samego punktu \(x_0\), dla których wartości funkcji dążą do dwóch różnych liczb.

Dlaczego często wybieramy \(\frac1n\) i \(-\frac1n\)?

Ciąg \(a_n=\frac1n\) ma kolejne wyrazy \(1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\) i dąży do zera. Wszystkie jego wyrazy są dodatnie, dlatego ciąg zbliża się do \(0\) od prawej strony.

Ciąg \(b_n=-\frac1n\) ma kolejne wyrazy \(-1,-\frac12,-\frac13,-\frac14,\ldots\) i również dąży do zera. Wszystkie jego wyrazy są ujemne, dlatego ciąg zbliża się do \(0\) od lewej strony.

Zadania

Zadanie 1

Oblicz granice funkcji.

a) \(f(x)=2x+4,\quad x_0=1\)

b) \(f(x)=4x^2-10,\quad x_0=2\)

Pokaż rozwiązanie

a)

\[ \lim_{x\to1}(2x+4) = 2\cdot1+4 = 6. \]

Zatem \(\boxed{\lim_{x\to1}f(x)=6}\).

b)

\[ \lim_{x\to2}(4x^2-10) = 4\cdot2^2-10 = 16-10 = 6. \]

Zatem \(\boxed{\lim_{x\to2}f(x)=6}\).

Zadanie 2

Oblicz granicę:

\[ \lim_{x\to-8} \frac{ (\sqrt[3]{x}+2) \left( \sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4 \right) }{ x+8 }. \]
Pokaż rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\). Przyjmujemy \(a=\sqrt[3]{x}\) oraz \(b=2\).

\[ (\sqrt[3]{x}+2) \left( \sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4 \right) = x+8. \]

Dla \(x\neq-8\) całe wyrażenie upraszcza się do \(1\).

\[ \boxed{ \lim_{x\to-8} \frac{ (\sqrt[3]{x}+2) \left( \sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]{x}+4 \right) }{ x+8 } =1 } \]
Zadanie 3

Oblicz granicę:

\[ \lim_{x\to-2} \frac{x^3+3x+14}{x^2-x-6}. \]
Pokaż rozwiązanie

Po podstawieniu \(x=-2\) otrzymujemy symbol nieoznaczony \(\frac00\), dlatego rozkładamy licznik i mianownik na czynniki.

Licznik:

\[ x^3+3x+14=(x+2)(x^2-2x+7). \]

Mianownik:

\[ x^2-x-6=(x+2)(x-3). \]

Skracamy czynnik \(x+2\):

\[ \frac{x^3+3x+14}{x^2-x-6} = \frac{x^2-2x+7}{x-3}. \]

Teraz podstawiamy \(x=-2\):

\[ \frac{(-2)^2-2(-2)+7}{-2-3} = \frac{4+4+7}{-5} = \frac{15}{-5} = -3. \]

Zatem granica jest równa \(\boxed{-3}\).

Zadanie 4

Korzystając z definicji Heinego, wykaż, że granica funkcji \(f(x)=\frac{x^2+|2x|}{x}\) w punkcie \(x_0=0\) nie istnieje.

Jak wygląda ta funkcja?

Dla \(x>0\) mamy \(|2x|=2x\), dlatego \(f(x)=\frac{x^2+2x}{x}=x+2\).

Dla \(x<0\) mamy \(|2x|=-2x\), dlatego \(f(x)=\frac{x^2-2x}{x}=x-2\).

\[ f(x)= \begin{cases} x-2, & x<0,\\ x+2, & x>0. \end{cases} \]
x y −2 2 0 y = x − 2 y = x + 2
Dla \(x<0\) funkcja ma postać \(y=x-2\), a dla \(x>0\) postać \(y=x+2\).
Pokaż rozwiązanie

Chcemy wykazać, że granica funkcji w punkcie \(x_0=0\) nie istnieje. Korzystamy z definicji Heinego i wybieramy dwa ciągi:

\[ a_n=\frac{1}{n}, \qquad b_n=-\frac{1}{n}. \]

Oba ciągi dążą do zera:

\[ \lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0, \]
\[ \lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}\left(-\frac{1}{n}\right) = 0. \]

Sprawdzamy teraz, do czego dążą wartości funkcji dla każdego z tych ciągów.

1. Ciąg \(a_n=\frac{1}{n}\)

Do wzoru funkcji \(f(x)=\frac{x^2+|2x|}{x}\) w miejsce \(x\) podstawiamy \(a_n=\frac{1}{n}\):

\[ f(a_n) = f\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{ \left(\frac{1}{n}\right)^2 + \left|2\cdot\frac{1}{n}\right| }{ \frac{1}{n} }. \]

Ponieważ \(n>0\), liczba \(\frac{2}{n}\) jest dodatnia, więc:

\[ \left|\frac{2}{n}\right| = \frac{2}{n}. \]

Otrzymujemy:

\[ \begin{aligned} f\left(\frac{1}{n}\right) &= \frac{ \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n} }{ \frac{1}{n} }\\[6pt] &= \left( \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n} \right)\cdot n\\[6pt] &= \frac{1}{n}+2. \end{aligned} \]

Liczymy granicę:

\[ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}f(a_n) &= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n}+2\right)\\[4pt] &= 0+2\\[4pt] &= 2. \end{aligned} \]

Czyli:

\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}f(a_n)=2} \]

2. Ciąg \(b_n=-\frac{1}{n}\)

Teraz do wzoru funkcji podstawiamy \(b_n=-\frac{1}{n}\):

\[ f(b_n) = f\left(-\frac{1}{n}\right) = \frac{ \left(-\frac{1}{n}\right)^2 + \left|2\cdot\left(-\frac{1}{n}\right)\right| }{ -\frac{1}{n} }. \]

Mamy:

\[ \left(-\frac{1}{n}\right)^2 = \frac{1}{n^2} \]

oraz:

\[ \left|-\frac{2}{n}\right| = \frac{2}{n}. \]

Dlatego:

\[ \begin{aligned} f\left(-\frac{1}{n}\right) &= \frac{ \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n} }{ -\frac{1}{n} }\\[6pt] &= \left( \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n} \right)\cdot(-n)\\[6pt] &= -\frac{1}{n}-2. \end{aligned} \]

Liczymy granicę:

\[ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}f(b_n) &= \lim_{n\to\infty} \left(-\frac{1}{n}-2\right)\\[4pt] &= 0-2\\[4pt] &= -2. \end{aligned} \]

Czyli:

\[ \boxed{\lim_{n\to\infty}f(b_n)=-2} \]
Wniosek: ciągi \(a_n\) i \(b_n\) dążą do tego samego punktu \(0\), ale wartości funkcji dla tych ciągów mają różne granice: \[ \lim_{n\to\infty}f(a_n)=2, \qquad \lim_{n\to\infty}f(b_n)=-2. \] Zatem, na podstawie definicji Heinego, granica funkcji w punkcie \(0\) nie istnieje.
\[ \boxed{ \lim_{x\to0} \frac{x^2+|2x|}{x} \text{ nie istnieje} } \]

Zapamiętaj

1. Granica opisuje zachowanie funkcji w pobliżu punktu. Zapis \(\lim_{x\to x_0}f(x)=g\) oznacza, że gdy \(x\) zbliża się do \(x_0\), wartości \(f(x)\) zbliżają się do \(g\).

2. Najpierw spróbuj podstawić \(x=x_0\). Jeżeli otrzymujesz zwykłą liczbę, zazwyczaj możesz od razu podać wynik. Jeżeli pojawi się symbol \(\frac00\), trzeba przekształcić wyrażenie i spróbować ponownie.

3. Granica istnieje, gdy granice jednostronne są równe. Jeżeli \(\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=g\), to \(\lim_{x\to x_0}f(x)=g\).

4. Granica funkcji nie musi być równa wartości funkcji w punkcie. Funkcja może nawet nie być określona w punkcie \(x_0\), a mimo to może mieć w tym punkcie granicę.

5. Definicja Heinego pozwala badać granicę za pomocą ciągów. Jeżeli znajdziemy dwa ciągi dążące do tego samego punktu \(x_0\), dla których wartości funkcji mają różne granice, oznacza to, że granica funkcji w punkcie \(x_0\) nie istnieje.

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?

Umów bezpłatną lekcję próbną — wytłumaczę Ci wszystko krok po kroku.

Umów lekcję próbną