Graniastosłupy

Graniastosłupy spotykamy na co dzień: pudełko na buty, kostka do gry czy odpowiednio ukształtowane akwarium mogą mieć ich kształt. W tej lekcji nauczysz się rozpoznawać graniastosłupy, obliczać ich pole powierzchni i objętość oraz rozwiązywać zadania podobne do tych z egzaminu ósmoklasisty. Zaczniemy od podstaw, więc materiał przyda się także młodszym uczniom. Starsi mogą wykorzystać go do powtórki wzorów.

Spis treści
  1. Co to jest graniastosłup?
  2. Elementy bryły
  3. Rodzaje graniastosłupów
  4. Prostopadłościan i sześcian
  5. Ściany, krawędzie, wierzchołki
  6. Siatki graniastosłupów
  7. Pola figur w podstawie
  8. Pole powierzchni
  9. Objętość
  10. Jednostki
  11. Obliczanie brakujących danych
  12. Przekątne i Pitagoras
  13. Przykłady z rozwiązaniem
  14. Zadania do samodzielnej pracy
  15. Powtórka wzorów

1. Co to jest graniastosłup?

Definicja. Graniastosłup to wielościan, który ma dwie przystające i równoległe podstawy będące wielokątami. Jego ściany boczne są równoległobokami.

Przystające oznacza: o takim samym kształcie i wielkości. Równoległe oznacza, że płaszczyzny, na których leżą podstawy, nie przecinają się.

podstawapodstawa ściana boczna

2. Budowa graniastosłupa

  • Podstawy – dwie takie same figury wielokątne, położone w równoległych płaszczyznach.
  • Ściany boczne – łączą odpowiadające sobie boki obu podstaw.
  • Krawędzie podstaw – boki wielokątów, które tworzą podstawy.
  • Krawędzie boczne – łączą odpowiadające sobie wierzchołki podstaw.
  • Wierzchołki – punkty, w których spotykają się krawędzie.
  • Wysokość H – odległość między płaszczyznami podstaw, mierzona prostopadle do nich.
Hkrawędź podstawykrawędź bocznaH = długość krawędzi bocznej tylko w graniastosłupie prostym
Uwaga! Wysokość bryły H to nie to samo co wysokość trójkąta lub trapezu znajdującego się w podstawie. W zadaniach najlepiej nazywać wysokość figury w podstawie małą literą h, a wysokość bryły dużą H.

3. Rodzaje graniastosłupów

Ze względu na kształt podstawy

Jeżeli podstawą jest trójkąt – mamy graniastosłup trójkątny; jeśli czworokąt – czworokątny; jeśli pięciokąt – pięciokątny itd. Nazwa zależy od liczby boków jednej podstawy, a nie od liczby wszystkich ścian bryły.

trójkątnyczworokątnypięciokątnysześciokątny

Rysunki schematyczne, nie w skali.

Ze względu na położenie krawędzi bocznych

  • Graniastosłup prosty – krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, a ściany boczne są prostokątami.
  • Graniastosłup pochyły – krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw; jego ściany boczne są równoległobokami.

Graniastosłup prawidłowy

To graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny (ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe). Przykład: graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat.

podstawa — kwadratdruga podstawa — kwadratH

Przykład: graniastosłup prawidłowy czworokątny ma kwadratowe podstawy i prostokątne ściany boczne.

4. Szczególne przypadki graniastosłupów: prostopadłościan i sześcian

Wśród graniastosłupów prostych wyróżniamy dwie szczególnie ważne bryły: prostopadłościan i sześcian. Spotykamy je na co dzień, dlatego warto umieć je rozpoznać i znać ich wzory.

Prostopadłościan

Definicja. Prostopadłościan to bryła, której wszystkie sześć ścian jest prostokątami. Ma 8 wierzchołków, 12 krawędzi i 6 ścian. Przeciwległe ściany są przystające i równoległe.

Jego trzy wymiary oznaczamy zazwyczaj literami a, b, c (długość, szerokość i wysokość). Możemy wybrać prostokątną podstawę o bokach a i b, a wtedy wysokość H = c.

abc = H

Prostopadłościan: wszystkie ściany są prostokątami. Linie przerywane oznaczają krawędzie niewidoczne.

Pole powierzchni całkowitej: trzy różne prostokąty występują po dwa razy, więc

Pc = 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

Objętość: pole podstawy mnożymy przez wysokość:

V = a · b · c

Przykład. Prostopadłościan ma wymiary 2 cm, 3 cm i 5 cm. Jego objętość wynosi V = 2 · 3 · 5 = 30 cm3, a pole całkowite Pc = 2 · 2 · 3 + 2 · 2 · 5 + 2 · 3 · 5 = 62 cm2.

Sześcian

Definicja. Sześcian to prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Każda z jego sześciu ścian jest kwadratem. Sześcian ma 8 wierzchołków, 12 krawędzi i 6 ścian.
aaa

Sześcian: wszystkie 12 krawędzi ma długość a, a każda ściana jest kwadratem.

Pole powierzchni całkowitej: liczymy pole jednego kwadratu i mnożymy przez sześć:

Pc = 6 · a2

Objętość: mnożymy trzy równe wymiary:

V = a · a · a = a3

Przykład. Krawędź sześcianu ma 4 cm. Wtedy Pc = 6 · 42 = 96 cm2, a V = 43 = 64 cm3.

Zapamiętaj! Każdy sześcian jest prostopadłościanem i graniastosłupem prostym, ale nie każdy prostopadłościan jest sześcianem. Z kolei graniastosłup prawidłowy czworokątny ma kwadratową podstawę, lecz jest sześcianem tylko wtedy, gdy jego wysokość jest równa bokowi podstawy.
CechaProstopadłościanSześcian
Ściany6 prostokątów6 kwadratów
Długości krawędziMogą być różne: a, b, cWszystkie równe: a
Pole całkowite2ab + 2ac + 2bc6a2
Objętośćabca3

5. Ile graniastosłup ma ścian, krawędzi i wierzchołków?

Nie trzeba za każdym razem liczyć wszystkiego na rysunku. Wystarczy znać liczbę boków wielokąta w podstawie, którą oznaczamy n.

ElementWzórDlaczego?
Wierzchołki WW = 2nPo n wierzchołków w każdej z dwóch podstaw.
Krawędzie KK = 3nn w dolnej podstawie + n w górnej + n bocznych.
Ściany SS = n + 2n ścian bocznych + 2 podstawy.

Przykład. W graniastosłupie pięciokątnym n = 5, więc: W = 2 · 5 = 10, K = 3 · 5 = 15, S = 5 + 2 = 7.

Sprawdzian: dla każdego wypukłego wielościanu, w tym graniastosłupa, zachodzi zależność W − K + S = 2. Dla naszego przykładu: 10 − 15 + 7 = 2.

6. Siatki graniastosłupów

Siatka to płaski układ wielokątów, z którego po odpowiednim złożeniu otrzymamy bryłę. W siatce graniastosłupa prostego są dwie przystające podstawy i prostokątne ściany boczne.

Siatka prostopadłościanuSchemat siatki graniastosłupa trójkątnego

Rysunki poglądowe: w rzeczywistej siatce długości boków sąsiadujących figur muszą do siebie pasować.

Siatka nie musi zawsze wyglądać tak samo. Najważniejsze, by figury miały odpowiednie wymiary i mogły złożyć się w bryłę bez nakładania.

Jak sprawdzić siatkę?
  1. Znajdź dwie jednakowe podstawy.
  2. Policz ściany boczne: musi ich być tyle, ile boków ma podstawa.
  3. Sprawdź, czy szerokości ścian bocznych odpowiadają długościom kolejnych boków podstawy.
  4. Wyobraź sobie składanie – czy nic na siebie nie nachodzi?

7. Pola figur w podstawie – przypomnienie

Aby obliczyć pole lub objętość graniastosłupa, najpierw często trzeba obliczyć pole jego podstawy.

Figura w podstawiePole PpCo oznaczają litery?
Kwadrata2a – bok kwadratu
Prostokąta · ba, b – długości boków
Trójkąta · h2a – bok, h – wysokość opuszczona na ten bok
Równoległoboka · ha – bok, h – odpowiadająca mu wysokość
Rombe · f2e, f – przekątne rombu
Trapez(a + b) · h2a, b – równoległe podstawy trapezu, h – jego wysokość
Sześciokąt foremny3a2√32a – bok; wzór dodatkowy do powtórki
W zadaniach na egzaminie ósmoklasisty pole podstawy często jest ukryte w treści – trzeba samodzielnie rozpoznać figurę i wybrać odpowiedni wzór.

8. Pole powierzchni graniastosłupa

Pole powierzchni mówi, jaką łączną powierzchnię mają wszystkie ściany bryły. Zawsze podajemy je w jednostkach kwadratowych, np. cm2, dm2, m2.

Pc = 2Pp + Pb

Pc – pole powierzchni całkowitej; Pp – pole jednej podstawy; Pb – pole powierzchni bocznej.

Dlaczego 2Pp? Bo graniastosłup ma dwie jednakowe podstawy.

Pole boczne graniastosłupa prostego

W graniastosłupie prostym każda ściana boczna jest prostokątem. Najłatwiej zacząć od obliczenia pola każdego z nich, a następnie dodać wyniki.

P₁P₂P₃P₄Hobwód podstawy Oₚ

Sposób 1 — liczymy każdą ścianę osobno:

Pb = P1 + P2 + P3 + P4

Sposób 2 — krócej: wszystkie prostokąty mają tę samą wysokość H. Możemy więc dodać długości ich podstaw (otrzymamy obwód podstawy graniastosłupa), a następnie pomnożyć przez H.

Pb = Op · H

Op to obwód jednej podstawy, a H to wysokość graniastosłupa.

Mini-przykład. Cztery ściany boczne mają kolejno wymiary 3 × 5, 4 × 5, 3 × 5 i 4 × 5 cm. Ich pola wynoszą 15, 20, 15 i 20 cm². Razem: Pb = 70 cm². Krótsza metoda: (3 + 4 + 3 + 4) · 5 = 70 cm².

Ważne: wzór Pb = Op · H stosujemy do graniastosłupów prostych. W graniastosłupach pochyłych nie wolno używać go automatycznie.

Przykład: prostopadłościan

Prostopadłościan ma wymiary a = 4 cm, b = 3 cm i H = 6 cm.

a = 4 cmb = 3 cmH = 6 cm
  1. Pole podstawy: Pp = 4 · 3 = 12 cm2.
  2. Obwód podstawy: Op = 2 · 4 + 2 · 3 = 14 cm.
  3. Pole boczne: Pb = 14 · 6 = 84 cm2.
  4. Pole całkowite: Pc = 2 · 12 + 84 = 108 cm2.

Można też skorzystać bezpośrednio ze wzoru na prostopadłościan: Pc = 2ab + 2aH + 2bH.

9. Objętość graniastosłupa

Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła. W odróżnieniu od pola powierzchni podajemy ją w jednostkach sześciennych: cm3, dm3, m3.

V = Pp · H

V – objętość; Pp – pole podstawy; H – wysokość bryły.

Ten wzór działa dla każdego graniastosłupa, prostego i pochyłego, gdy H oznacza prostopadłą odległość między podstawami.

Przykład. Graniastosłup ma podstawę w kształcie kwadratu o boku 5 cm i wysokość 9 cm.

Pp = 5 · 5 = 25 cm2, więc V = 25 · 9 = 225 cm3.

Wzory szczególne

BryłaObjętośćPole całkowite
Prostopadłościan o bokach a, b, cV = abcPc = 2(ab + ac + bc)
Sześcian o krawędzi aV = a3Pc = 6a2
Graniastosłup prawidłowy czworokątny, bok podstawy a, wysokość HV = a2HPc = 2a2 + 4aH

10. Jednostki pola i objętości

To jeden z najczęstszych powodów błędów. Najpierw sprowadź wszystkie długości do tej samej jednostki, dopiero potem podstaw do wzoru.

DługośćPoleObjętość
1 dm = 10 cm1 dm2 = 100 cm21 dm3 = 1000 cm3
1 m = 10 dm1 m2 = 100 dm21 m3 = 1000 dm3
1 m = 100 cm1 m2 = 10 000 cm21 m3 = 1 000 000 cm3
Pojemność: 1 dm3 = 1 litr; 1 cm3 = 1 ml; 1 m3 = 1000 litrów.

Przykład. Akwarium o wymiarach wewnętrznych 50 cm × 30 cm × 40 cm ma objętość 50 · 30 · 40 = 60 000 cm3 = 60 litrów. To jego pojemność geometryczna do wysokości 40 cm, bez uwzględnienia dekoracji i wolnej przestrzeni nad wodą.

11. Jak znaleźć brakującą wysokość lub pole podstawy?

Nie musimy zapamiętywać nowych wzorów. Wystarczy znać V = Pp · H, podstawić dane i rozwiązać proste równanie.

Przykład 1. Oblicz wysokość.

Objętość wynosi 360 cm³, a pole podstawy 45 cm².

  1. Zapisujemy wzór: V = Pp · H.
  2. Podstawiamy liczby: 360 = 45 · H.
  3. Dzielimy obie strony przez 45: H = 360 : 45 = 8 cm.
Przykład 2. Oblicz pole podstawy.

Objętość wynosi 180 cm³, a wysokość 9 cm.

  1. Zapisujemy wzór: V = Pp · H.
  2. Podstawiamy liczby: 180 = Pp · 9.
  3. Dzielimy obie strony przez 9: Pp = 180 : 9 = 20 cm².

Podobnie, gdy znamy pole całkowite, możemy podstawić dane do równania Pc = 2Pp + Pb i obliczyć brakującą wielkość.

12. Przekątne i twierdzenie Pitagorasa

W prostopadłościanie możemy rozróżnić przekątną ściany i przekątną bryły. To nie jest to samo!

przekątna ścianyprzekątna bryły

Dla prostokątnej ściany o bokach a i H z twierdzenia Pitagorasa:

dściany2 = a2 + H2

Dla prostopadłościanu o krawędziach a, b, c przekątna bryły D spełnia:

D2 = a2 + b2 + c2

Skąd drugi wzór? Najpierw liczymy przekątną podstawy: d2 = a2 + b2. Następnie D2 = d2 + c2. Łącząc obie równości, otrzymujemy podany wzór.

Uwaga: przekątne bryły nie są tym samym co przekątne ścian bocznych. W zadaniu najpierw zaznacz na rysunku, o którą przekątną chodzi.

13. Przykłady rozwiązane krok po kroku

Przykład A. Graniastosłup trójkątny

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 cm i 8 cm. Wysokość graniastosłupa wynosi 12 cm. Oblicz objętość i pole całkowite.

  1. Pole podstawy: Pp = (6 · 8) : 2 = 24 cm2.
  2. Objętość: V = 24 · 12 = 288 cm3.
  3. Trzeci bok trójkąta: c2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100, czyli c = 10 cm.
  4. Obwód podstawy: Op = 6 + 8 + 10 = 24 cm.
  5. Pole boczne: Pb = 24 · 12 = 288 cm2.
  6. Pole całkowite: Pc = 2 · 24 + 288 = 336 cm2.
Odpowiedź: V = 288 cm3, Pc = 336 cm2.

Przykład B. Malowanie pojemnika bez pokrywy

Pojemnik w kształcie prostopadłościanu nie ma pokrywy. Jego długość wynosi 80 cm, szerokość 50 cm, a wysokość 40 cm. Jaką powierzchnię zewnętrzną trzeba pomalować, jeśli malujemy dno i cztery ściany boczne?

  1. Pole dna: 80 · 50 = 4000 cm2.
  2. Dwie dłuższe ściany: 2 · 80 · 40 = 6400 cm2.
  3. Dwie krótsze ściany: 2 · 50 · 40 = 4000 cm2.
  4. Razem: 4000 + 6400 + 4000 = 14 400 cm2 = 1,44 m2.
Nie dodajemy drugiej podstawy, bo pojemnik nie ma pokrywy. Przed użyciem wzoru na pole całkowite zawsze sprawdź, które ściany obejmuje pytanie.

Przykład C. Ile litrów wody?

Do akwarium o wymiarach podstawy 60 cm × 25 cm nalano wodę do wysokości 30 cm. Ile to litrów?

  1. Pole podstawy: 60 · 25 = 1500 cm2.
  2. Objętość wody: 1500 · 30 = 45 000 cm3.
  3. Zamiana na litry: 45 000 : 1000 = 45 l.

14. Zadania do samodzielnej pracy

Najpierw spróbuj samodzielnie. Rozwiązanie każdego zadania otworzysz po kliknięciu. Zadania są ułożone od łatwiejszych do trudniejszych, ale wszystkie pozostają na poziomie szkoły podstawowej.

Poziom 1 Rozpoznawanie brył i podstawowe obliczenia

Zadanie 1. Ile wierzchołków, krawędzi i ścian ma graniastosłup sześciokątny?
Pokaż rozwiązanie
n = 6. W = 2 · 6 = 12, K = 3 · 6 = 18, S = 6 + 2 = 8.
Zadanie 2. Graniastosłup ma 21 krawędzi. Jakim wielokątem jest jego podstawa? Ile ma ścian?
Pokaż rozwiązanie
3n = 21, więc n = 7. Podstawą jest siedmiokąt. Ścian jest 7 + 2 = 9.
Zadanie 3. Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach 3 cm, 5 cm i 8 cm.
Pokaż rozwiązanie
V = 3 · 5 · 8 = 120 cm3.
Zadanie 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi 7 cm.
Pokaż rozwiązanie
Sześcian ma 6 kwadratowych ścian. Pc = 6 · 72 = 6 · 49 = 294 cm2.

Poziom 2 Pola, objętość i jednostki

Zadanie 5. Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach 4 cm i 9 cm, a wysokość bryły wynosi 10 cm. Oblicz V oraz Pc.
Pokaż rozwiązanie
Pp = 4 · 9 = 36 cm2. V = 36 · 10 = 360 cm3. Op = 2 · (4 + 9) = 26 cm. Pb = 26 · 10 = 260 cm2. Pc = 2 · 36 + 260 = 332 cm2.
Zadanie 6. Objętość graniastosłupa to 540 cm3, a pole jego podstawy wynosi 45 cm2. Oblicz wysokość.
Pokaż rozwiązanie
H = V : Pp = 540 : 45 = 12 cm.
Zadanie 7. Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt o boku 12 cm i wysokości opuszczonej na ten bok 5 cm. Wysokość graniastosłupa wynosi 8 cm. Oblicz objętość.
Pokaż rozwiązanie
Pp = (12 · 5) : 2 = 30 cm2. V = 30 · 8 = 240 cm3.
Zadanie 8. Pojemnik ma wewnętrzne wymiary 40 cm × 25 cm × 30 cm. Ile litrów mieści się w nim do pełna?
Pokaż rozwiązanie
V = 40 · 25 · 30 = 30 000 cm3. Ponieważ 1000 cm3 = 1 l, pojemnik mieści 30 litrów.
Zadanie 9. Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma bok podstawy 6 cm i wysokość 11 cm. Oblicz jego pole całkowite.
Pokaż rozwiązanie
Pp = 62 = 36 cm2; Op = 4 · 6 = 24 cm; Pb = 24 · 11 = 264 cm2; Pc = 2 · 36 + 264 = 336 cm2.

Poziom 3 Zadania egzaminacyjne i wieloetapowe

Zadanie 10. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 12 cm i 16 cm oraz boku długości 10 cm. Wysokość graniastosłupa to 15 cm. Oblicz objętość i pole całkowite.
Pokaż rozwiązanie
Pp = (12 · 16) : 2 = 96 cm2. V = 96 · 15 = 1440 cm3. Op = 4 · 10 = 40 cm. Pb = 40 · 15 = 600 cm2. Pc = 2 · 96 + 600 = 792 cm2.
Zadanie 11. Z sześcianu o krawędzi 12 cm wycięto prostopadłościenny otwór przelotowy o przekroju kwadratu 2 cm × 2 cm, biegnący prostopadle przez całą bryłę. Ile wynosi objętość pozostałej bryły?
Pokaż rozwiązanie
Objętość sześcianu: 123 = 1728 cm3. Objętość usuniętego prostopadłościanu: 2 · 2 · 12 = 48 cm3. Pozostało 1728 − 48 = 1680 cm3.
Zadanie 12. Przekątna prostokątnej ściany bocznej graniastosłupa prostego ma długość 13 cm. Jedna krawędź tej ściany ma 5 cm. Oblicz długość drugiej krawędzi.
Pokaż rozwiązanie
Z twierdzenia Pitagorasa: 52 + x2 = 132, czyli 25 + x2 = 169. Stąd x2 = 144, więc x = 12 cm.
Zadanie 13. Karton bez wieka ma wymiary podstawy 30 cm × 20 cm i wysokość 15 cm. Na jego wykonanie potrzeba o 10% więcej tektury niż wynosi pole dna i czterech ścian bocznych (zapas na zakładki). Ile co najmniej cm2 tektury potrzeba?
Pokaż rozwiązanie
Dno: 30 · 20 = 600 cm2. Ściany boczne: 2 · 30 · 15 + 2 · 20 · 15 = 900 + 600 = 1500 cm2. Razem: 2100 cm2. Zapas 10%: 210 cm2. Potrzeba 2310 cm2.
Zadanie 14. Prostopadłościan ma wymiary 4 cm, 6 cm i 10 cm. Każdą krawędź wydłużono dwukrotnie. Ile razy wzrośnie jego objętość, a ile razy pole powierzchni?
Pokaż rozwiązanie
W objętości pojawiają się trzy podwojone czynniki: 2 · 2 · 2 = 8 razy. Każda ściana ma dwa wymiary podwojone, więc jej pole rośnie 2 · 2 = 4 razy. Całe pole również rośnie 4 razy.
Zadanie 15. Basen w kształcie prostopadłościanu ma dno 5 m × 3 m. Nalano do niego 12 000 litrów wody. Jaka jest wysokość słupa wody? Wynik podaj w centymetrach.
Pokaż rozwiązanie
12 000 l = 12 m3. Pole dna: 5 · 3 = 15 m2. H = 12 : 15 = 0,8 m = 80 cm.
Zadanie 16. Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez o podstawach 6 cm i 10 cm oraz wysokości trapezu 4 cm. Wysokość bryły wynosi 9 cm. Oblicz jej objętość.
Pokaż rozwiązanie
Pole trapezu: Pp = ((6 + 10) · 4) : 2 = 32 cm2. Objętość: V = 32 · 9 = 288 cm3.

15. Najważniejsze wzory – szybka powtórka

Co liczymy?Wzór
Pole całkowite każdego graniastosłupaPc = 2Pp + Pb
Pole boczne graniastosłupa prostegoPb = Op · H
Objętość każdego graniastosłupaV = Pp · H
Wysokość z objętościH = V : Pp
Objętość prostopadłościanuV = abc
Pole prostopadłościanuPc = 2(ab + ac + bc)
Objętość sześcianuV = a3
Pole sześcianuPc = 6a2
Przekątna prostokątnej ściany o bokach a i bd2 = a2 + b2
Przekątna prostopadłościanuD2 = a2 + b2 + c2
Przed sprawdzianem lub egzaminem sprawdź, czy umiesz:
  • rozpoznać graniastosłup, jego podstawy, wysokość i ściany boczne;
  • określić liczbę ścian, krawędzi i wierzchołków;
  • rozpoznać i narysować poprawną siatkę;
  • obliczyć pole podstawy, pole boczne, pole całkowite i objętość;
  • zamieniać jednostki pola i objętości, także na litry;
  • wyznaczyć brakującą wysokość z podanej objętości;
  • zastosować twierdzenie Pitagorasa do przekątnych;
  • rozwiązać zadanie tekstowe i ustalić, które ściany lub jaki fragment bryły liczymy.

Wskazówka: w zadaniach z geometrii przestrzennej zacznij od rysunku i wypisania danych. Zaznacz innym kolorem podstawę, wysokość i szukaną wielkość. Jednostkę dopisz do wyniku – cm2 dla pola, cm3 dla objętości.

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?

Umów bezpłatną lekcję próbną — wytłumaczę Ci wszystko krok po kroku.

Umów lekcję próbną