Krótka teoria
Suma kątów w trójkącie wynosi 180°. W trójkącie prostokątnym dwa kąty ostre mają razem 90°.
Równoległobok: kąty naprzeciwległe są równe, a sąsiednie mają razem 180°.
Trapez równoramienny: kąty przy tej samej podstawie są równe, a kąty przy jednym ramieniu mają razem 180°.
Prostokąt: obwód O = 2(a + b), pole P = a · b. Równanie: oznacz szukaną wielkość literą x, zapisz zależności i rozwiąż.
Zadanie 1. Kąty w trójkątach
Oblicz miary kątów trójkątów przedstawionych na rysunkach.
a)
Pokaż rozwiązanie a)
Suma kątów to 180°:
Drugi kąt: 5 · 15° = 75°.
b)
Pokaż rozwiązanie b)
Kąty ostre: 47,5° i 42,5°.
c)
Pokaż rozwiązanie c)
Kąty: 2 · 9° + 8° = 26° oraz 7 · 9° + 1° = 64°.
Zadanie 2. Odległość między miejscowościami
Na rysunku zaznaczono odległość z Górek Górnych do Dołków Dolnych. Oblicz tę odległość, jeżeli wiadomo, że droga z Górek Górnych do Dołków Górnych i z powrotem jest tak samo długa jak droga z Górek Dolnych do Dołków Dolnych (w jedną stronę).
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Nieznaną odległość oznaczamy x.
Krok 2. Droga Górki Górne → Dołki Górne ma x + 2 km. Tam i z powrotem: 2(x + 2).
Krok 3. Droga Górki Dolne → Dołki Dolne ma 5 + x km.
Zadanie 3. Pole prostokąta
Obwód prostokąta jest 9 razy większy niż długość krótszego boku. Różnica długości boków wynosi 5. Oblicz pole tego prostokąta.
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Krótszy bok to x, dłuższy x + 5.
Krok 2. Zapisujemy obwód na dwa sposoby:
Krok 3. Drugi bok: 2 + 5 = 7. Pole:
Zadanie 4. Wymiary rabaty
Wokół prostokątnej rabaty ABCD biegnie ścieżka o szerokości 2 m (tak jak na rysunku). Odcinek AD jest 4 razy krótszy od odcinka AB, a odcinek EH jest 2 razy krótszy od odcinka EF. Jakie wymiary ma rabata?
Pokaż rozwiązanie
Krok 1. Oznaczamy długość rabaty AB = x. Wtedy AD = x4.
Krok 2. Ścieżka dodaje po 2 m z każdej strony, więc EF = x + 4, a EH = x4 + 4.
Krok 3. EH jest połową EF:
Mnożymy obie strony przez 4:
AB = 8 m, AD = 8 : 4 = 2 m.
Zadanie 5. Kąty czworokątów
a) Równoległobok
Dwa sąsiednie kąty mają miary 3x + 15° oraz 2x + 15°. Oblicz kąty równoległoboku.
Pokaż rozwiązanie a)
Sąsiednie kąty równoległoboku sumują się do 180°:
3 · 30° + 15° = 105°, 2 · 30° + 15° = 75°.
b) Trapez równoramienny
Dwa kąty leżące naprzeciw siebie mają miary 4x + 5° oraz 6x − 25°. Oblicz kąty trapezu.
Pokaż rozwiązanie b)
W trapezie równoramiennym kąty przy tej samej podstawie są równe, a kąty przy ramieniu sumują się do 180°. Dlatego podane kąty też sumują się do 180°:
4 · 20° + 5° = 85°, 6 · 20° − 25° = 95°.
c) Trapez
W trapezie dwa kąty przy tym samym ramieniu mają miary 5x − 5° i 2x + 45°. Oblicz miary wszystkich kątów trapezu, wiedząc, że jest on równoramienny.
Pokaż rozwiązanie c)
Krok 1. W trapezie podstawy są równoległe, dlatego kąty przy jednym ramieniu sumują się do 180°.
Krok 2. Obliczamy kąty:
Krok 3. Trapez jest równoramienny, więc kąty przy każdej podstawie są równe.