Geometria analityczna - teoria + sprawdzian

1. Długość odcinka

Jeżeli znamy współrzędne dwóch punktów, możemy obliczyć odległość między nimi.

|AB| = √ (x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²

Skąd bierze się ten wzór?

Weźmy punkty:

A = (1,2), B = (4,6)

Na obu osiach 1 kratka oznacza 1 jednostkę.

Widzimy trójkąt prostokątny. Jego przyprostokątne mają długości:

4 − 1 = 3

6 − 2 = 4

Z twierdzenia Pitagorasa:

|AB| = √ 3² + 4² = √ 25 = 5

Zapamiętaj: wzór na długość odcinka wynika z twierdzenia Pitagorasa.

2. Środek odcinka

Środek odcinka to punkt, który dzieli odcinek na dwie równe części.

Jeżeli:

A=(x_A,y_A) i B=(x_B,y_B)

współrzędne środka obliczamy oddzielnie:

x_S = x_A + x_B 2 y_S = y_A + y_B 2

Dopiero na końcu zapisujemy:

S=(x_S,y_S)

Przykład

Dane są punkty:

A=(−2,3), B=(6,7)

x_S = −2 + 6 2 = 4 2 =2

y_S = 3 + 7 2 = 10 2 =5

S=(2,5)

Punkt S=(2,5) znajduje się dokładnie w połowie odcinka AB.

3. Równanie okręgu

Każdy punkt okręgu znajduje się w tej samej odległości od jego środka. Ta odległość to promień.

(x−a)²+(y−b)²=r²

S=(a,b)

Na przykład:

(x−2)²+(y−1)²=9

stąd:

S=(2,1), r=3

Okrąg o środku S=(2,1) i promieniu r=3. Jedna kratka = jedna jednostka.

Uważaj na znaki!
(x−2)² → x_S=2
(y+3)² → y_S=−3

4. Okrąg opisany na trójkącie

Okrąg opisany na trójkącie to okrąg przechodzący przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta.

Środek okręgu opisanego znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków trójkąta.

Co to jest symetralna?

Symetralna odcinka:

• przechodzi przez jego środek,
• jest do niego prostopadła.

Każdy punkt leżący na symetralnej jest jednakowo odległy od obu końców odcinka.

SA=SB=SC=r

Zobaczmy to na dokładnym przykładzie.

Weźmy trójkąt:

A=(−3,0), B=(3,0), C=(0,4)

Środek okręgu opisanego znajduje się w punkcie przecięcia trzech symetralnych boków.

Symetralna każdego boku przechodzi dokładnie przez jego środek i przecina ten bok pod kątem prostym.

W tym przykładzie otrzymujemy:

S=(0, 7 8 )

Każda z trzech symetralnych przechodzi przez środek odpowiedniego boku i jest do niego prostopadła. Wszystkie trzy przecinają się w punkcie S.

Zapamiętaj: aby znaleźć środek okręgu opisanego, w praktyce wystarczy wyznaczyć dwie symetralne. Trzecia również przejdzie przez ten sam punkt.

5. Wzajemne położenie dwóch okręgów

Liczbę punktów wspólnych dwóch okręgów możemy często zobaczyć bezpośrednio na wykresie.

Z równań odczytujemy środki i promienie, a następnie rysujemy oba okręgi w tym samym układzie współrzędnych.

Przykład

O₁: x²+y²=16

O₂: (x−5)²+y²=9

Odczytujemy:

S₁=(0,0), r₁=4

S₂=(5,0), r₂=3

Okręgi przecinają się w dwóch punktach – mają 2 punkty wspólne.

Jak sprawdzić to bez rysunku?

Porównujemy:

r₁ – promień pierwszego okręgu,
r₂ – promień drugiego okręgu,
d – odległość między środkami.

2 punkty wspólne

|r₁−r₂| < d < r₁+r₂

Styczność zewnętrzna – 1 punkt wspólny

d=r₁+r₂

Styczność wewnętrzna – 1 punkt wspólny

d=|r₁−r₂|

Okręgi rozłączne zewnętrznie – 0 punktów wspólnych

d>r₁+r₂

Jeden okrąg wewnątrz drugiego – 0 punktów wspólnych

d<|r₁−r₂|

6. Geometryczna interpretacja układu równań

Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi opisuje prostą.

Rozwiązanie układu równań to punkt wspólny obu prostych.

Jedno rozwiązanie

Proste przecinają się w punkcie P=(0,0), więc układ ma jedno rozwiązanie.

Brak rozwiązań

Proste są równoległe i różne – nie mają punktu wspólnego.

Nieskończenie wiele rozwiązań

Obie proste pokrywają się – każdy ich punkt jest rozwiązaniem układu.

7. Symetria względem osi OX i OY

Symetrię najłatwiej zrozumieć, patrząc na układ współrzędnych.

Punkt A=(3,2) oraz jego odbicia względem osi OY i OX.

Symetria względem osi OX

(x,y) → (x,−y)

x zostaje bez zmian, zmieniamy znak przy y.

Symetria względem osi OY

(x,y) → (−x,y)

y zostaje bez zmian, zmieniamy znak przy x.

8. Symetria okręgu

Przy odbijaniu okręgu względem osi promień się nie zmienia. Odbijamy jedynie jego środek.

Dany jest okrąg:

(x−2)²+(y−2)²=4

Ma środek i promień:

S=(2,2), r=2

Po odbiciu względem osi OX:

S′=(2,−2)

więc otrzymujemy:

(x−2)²+(y+2)²=4

Oba okręgi mają taki sam promień. Zmieniło się jedynie położenie środka.

9. Punkty przecięcia z osiami

Każdy punkt leżący na osi OX ma drugą współrzędną równą 0. Każdy punkt leżący na osi OY ma pierwszą współrzędną równą 0.

Oś OX

y=0

Oś OY

x=0

Przykład

Dany jest okrąg:

(x−3)²+(y+2)²=25

Szukamy jego punktów wspólnych z osią OY.

Na osi OY:

x=0

Podstawiamy:

(0−3)²+(y+2)²=25

9+(y+2)²=25

(y+2)²=16

y+2=4 lub y+2=−4

y=2 lub y=−6

Zatem:

P=(0,2), Q=(0,−6)

Punkty P i Q leżą na osi OY, dlatego ich pierwsza współrzędna wynosi 0.

Najważniejsze rzeczy do zapamiętania

Długość odcinka:

|AB| = √ (x_B−x_A)²+(y_B−y_A)²

Środek odcinka:

x_S = x_A+x_B 2 y_S = y_A+y_B 2

Równanie okręgu:
(x−a)²+(y−b)²=r²

Okrąg opisany:
środek leży w punkcie przecięcia symetralnych boków.

Symetria względem OX:
(x,y) → (x,−y)

Symetria względem OY:
(x,y) → (−x,y)

Punkt na osi OX: y=0

Punkt na osi OY: x=0

Zadanie 1

Wykaż, że przekątne czworokąta o wierzchołkach A=(4,1), B=(5,3), C=(−1,6), D=(−2,2) są jednakowej długości.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Wskazujemy przekątne czworokąta

Przekątne czworokąta ABCD to odcinki:

AC oraz BD.

Musimy więc obliczyć ich długości i sprawdzić, czy są równe.

Krok 2. Obliczamy długość przekątnej AC

Korzystamy ze wzoru na długość odcinka:

|AC|= √ (x_C−x_A)²+ (y_C−y_A)²

Podstawiamy współrzędne A=(4,1) i C=(−1,6):

|AC|= √ (−1−4)²+(6−1)²

|AC|= √ (−5)²+5²

|AC|= √ 25+25 = √ 50

Krok 3. Obliczamy długość przekątnej BD

B=(5,3), D=(−2,2), więc:

|BD|= √ (−2−5)²+(2−3)²

|BD|= √ (−7)²+(−1)²

|BD|= √ 49+1 = √ 50

Krok 4. Porównujemy długości

|AC|=|BD|= √ 50

Odpowiedź: przekątne czworokąta mają jednakową długość.

Zadanie 2

Dany jest trójkąt o wierzchołkach A=(−5,−1), B=(3,−3), C=(−1,5). Środek odcinka łączącego środki boków AC i CB ma współrzędne:

A. (−2,0)
B. (0,−½)
C. (−2,1)
D. (−1,1½)

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Wyznaczamy środek boku AC

Oznaczmy go przez M.

x_M= −5+(−1) 2 = −6 2 =−3

y_M= −1+5 2 = 4 2 =2

M=(−3,2)

Krok 2. Wyznaczamy środek boku CB

Oznaczmy go przez N.

x_N= −1+3 2 =1

y_N= 5+(−3) 2 =1

N=(1,1)

Krok 3. Wyznaczamy środek odcinka MN

Teraz szukamy środka odcinka łączącego punkty M i N.

x= −3+1 2 =−1

y= 2+1 2 = 3 2 =1½

Odpowiedź: D. (−1, 1½)

Zadanie 3

Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach A=(7,−8), B=(−1,−4), C=(7,4).

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Szukamy środka okręgu opisanego

Środek okręgu opisanego znajduje się w punkcie przecięcia symetralnych boków trójkąta.

Najwygodniej zacząć od boku AC.

A=(7,−8), C=(7,4)

Oba punkty mają taką samą pierwszą współrzędną, więc odcinek AC jest pionowy.

Krok 2. Wyznaczamy środek boku AC

Obliczamy jego współrzędne:

x= 7+7 2 =7

y= −8+4 2 = −4 2 =−2

M=(7,−2)

Odcinek AC jest pionowy, dlatego jego symetralna jest pozioma. Przechodzi przez punkt M=(7,−2), więc jej równanie to:

y=−2

Krok 3. Wyznaczamy środek boku AB

A=(7,−8), a B=(−1,−4).

x= 7+(−1) 2 = 6 2 =3

y= −8+(−4) 2 = −12 2 =−6

N=(3,−6)

Krok 4. Wyznaczamy symetralną boku AB

Najpierw obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:

a_AB= −4−(−8) −1−7

a_AB= 4 −8 =− 1 2

Symetralna jest prostopadła do AB. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej wynosi więc:

a=2

Symetralna przechodzi przez środek boku AB, czyli punkt N=(3,−6).

y−(−6)=2(x−3)

y+6=2x−6

y=2x−12

Krok 5. Znajdujemy punkt przecięcia symetralnych

Pierwsza symetralna ma równanie:

y=−2

Druga:

y=2x−12

Podstawiamy y=−2:

−2=2x−12

10=2x

x=5

Wiemy już również, że y=−2, więc środek okręgu opisanego to:

S=(5,−2)

Krok 6. Obliczamy promień okręgu

Promień jest odległością środka S od dowolnego wierzchołka trójkąta. Skorzystajmy z punktu C=(7,4).

r= √ (7−5)²+(4−(−2))²

r= √ 2²+6²

r= √ 4+36

r= √ 40

Do równania okręgu potrzebujemy r², czyli:

r²=40

Krok 7. Zapisujemy równanie okręgu

Korzystamy ze wzoru:

(x−a)²+(y−b)²=r²

Środek to S=(5,−2), a r²=40, więc:

(x−5)²+(y−(−2))²=40

(x−5)²+(y+2)²=40

Odpowiedź: okrąg opisany na trójkącie ma równanie (x−5)²+(y+2)²=40.

Zadanie 4

Figurę F tworzą trzy okręgi:

x²+y²=16,

(x+12)²+y²=64,

(x−12)²+y²=64.

Ile punktów wspólnych z figurą F ma okrąg o równaniu

x²+(y−3)²=49?

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Odczytujemy środki i promienie okręgów

Pierwszy okrąg:

x²+y²=16

S₁=(0,0), r₁=4

Drugi okrąg:

(x+12)²+y²=64

S₂=(−12,0), r₂=8

Trzeci okrąg:

(x−12)²+y²=64

S₃=(12,0), r₃=8

Badany okrąg:

x²+(y−3)²=49

S=(0,3), r=7

Krok 2. Rysujemy wszystkie okręgi

Zaznaczamy środki okręgów i rysujemy okręgi o odpowiednich promieniach.

Czerwone punkty oznaczają punkty wspólne badanego okręgu z figurą F.

Krok 3. Liczymy punkty wspólne

Z wykresu widzimy:

• z lewym okręgiem – 2 punkty,
• ze środkowym okręgiem – 1 punkt,
• z prawym okręgiem – 2 punkty.

2+1+2=5

Odpowiedź: okrąg ma z figurą F 5 punktów wspólnych.

Zadanie 5

Podaj interpretację geometryczną układu równań oraz jego rozwiązanie.

3x−2y=11
5x+4y=11

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Interpretujemy równania geometrycznie

Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi opisuje prostą.

Rozwiązaniem układu będzie więc punkt przecięcia dwóch prostych.

Krok 2. Przekształcamy pierwsze równanie

3x−2y=11

−2y=11−3x

y= 3x−11 2

Krok 3. Tworzymy tabelkę dla pierwszej prostej

x	1	3	5
y	−4	−1	2

Zaznaczymy więc punkty:

(1,−4), (3,−1), (5,2)

Krok 4. Przekształcamy drugie równanie

5x+4y=11

4y=11−5x

y= 11−5x 4

Krok 5. Tworzymy tabelkę dla drugiej prostej

x	−1	3	7
y	4	−1	−6

Zaznaczymy więc punkty:

(−1,4), (3,−1), (7,−6)

Krok 6. Rysujemy obie proste

Proste przecinają się w punkcie P=(3,−1).

Krok 7. Odczytujemy rozwiązanie

Współrzędne punktu przecięcia prostych są rozwiązaniem układu:

x=3, y=−1

Odpowiedź: geometrycznie układ opisuje dwie przecinające się proste. Ich punktem przecięcia jest

P=(3,−1)

więc rozwiązaniem układu jest x=3, y=−1.

Zadanie 6

Odcinek o końcach A=(−5,1) i C=(2,5) jest przekątną czworokąta ABCD. Druga przekątna jest symetryczna do AC względem osi OY. Wyznacz współrzędne wierzchołków czworokąta symetrycznego do ABCD względem osi OX.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Zaznaczamy przekątną AC

Mamy punkty:

A=(−5,1), C=(2,5)

Zaznaczamy je w układzie współrzędnych i łączymy.

Krok 2. Odbijamy przekątną AC względem osi OY

Przy symetrii względem osi OY:

(x,y) → (−x,y)

Odbijamy punkt A:

A=(−5,1) → B=(5,1)

Odbijamy punkt C:

C=(2,5) → D=(−2,5)

Druga przekątna ma więc końce:

B=(5,1), D=(−2,5)

Krok 3. Rysujemy czworokąt ABCD

Niebieski czworokąt to ABCD. Szary czworokąt jest jego odbiciem względem osi OX.

Krok 4. Odbijamy wszystkie wierzchołki względem osi OX

Przy odbiciu względem osi OX:

(x,y) → (x,−y)

Zatem:

A=(−5,1) → A′=(−5,−1)

B=(5,1) → B′=(5,−1)

C=(2,5) → C′=(2,−5)

D=(−2,5) → D′=(−2,−5)

Odpowiedź:

A′=(−5,−1), B′=(5,−1),

C′=(2,−5), D′=(−2,−5)

Zadanie 7

Wyznacz równanie okręgu O₂ symetrycznego względem osi OX do okręgu O₁ opisanego za pomocą równania

(x−3)²+(y−2)²=25.

Podaj punkty wspólne okręgu O₂ i osi OY.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Odczytujemy środek i promień okręgu O₁

(x−3)²+(y−2)²=25

Stąd:

S₁=(3,2)

r=5

Krok 2. Odbijamy środek względem osi OX

Przy symetrii względem osi OX:

(x,y) → (x,−y)

Zatem:

S₁=(3,2) → S₂=(3,−2)

Promień nie zmienia swojej długości:

r=5

Krok 3. Zapisujemy równanie okręgu O₂

Środek nowego okręgu to S₂=(3,−2), a promień wynosi 5.

(x−3)²+(y+2)²=25

Krok 4. Rysujemy oba okręgi

Okrąg O₂ jest odbiciem okręgu O₁ względem osi OX. Czerwone punkty to punkty wspólne O₂ z osią OY.

Krok 5. Wyznaczamy dokładnie punkty wspólne O₂ z osią OY

Z wykresu widzimy dwa punkty przecięcia. Wyznaczmy ich dokładne współrzędne.

Każdy punkt leżący na osi OY ma:

x=0

Podstawiamy x=0 do równania okręgu O₂:

(0−3)²+(y+2)²=25

9+(y+2)²=25

(y+2)²=16

Krok 6. Rozwiązujemy równanie

y+2=4

lub

y+2=−4

Stąd:

y=2

lub:

y=−6

Ponieważ punkty leżą na osi OY, ich pierwsza współrzędna wynosi 0.

P=(0,2), Q=(0,−6)

Odpowiedź:

Równanie okręgu O₂:

(x−3)²+(y+2)²=25

Punkty wspólne okręgu O₂ z osią OY:

P=(0,2), Q=(0,−6)

Geometria analityczna – teoria + sprawdzian

1. Długość odcinka

Skąd bierze się ten wzór?

2. Środek odcinka

3. Równanie okręgu

4. Okrąg opisany na trójkącie

Co to jest symetralna?

5. Wzajemne położenie dwóch okręgów

Jak sprawdzić to bez rysunku?

6. Geometryczna interpretacja układu równań

Jedno rozwiązanie

Brak rozwiązań

Nieskończenie wiele rozwiązań

7. Symetria względem osi OX i OY

8. Symetria okręgu

9. Punkty przecięcia z osiami

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?