Wiesz już, jak działa funkcja homograficzna. Teraz zajmiemy się ułamkami algebraicznymi, w których w liczniku i mianowniku mogą występować także wyrażenia z x², x³ i wyższymi potęgami. Nauczysz się sprawdzać, dla jakich x wzór ma sens, gdzie funkcja jest dodatnia lub ujemna oraz jak znaleźć jej największą wartość i zbiór wartości.
1. Co to jest funkcja wymierna?
Funkcja wymierna ma postać ilorazu dwóch wielomianów, np. x² − 4x + 1 albo 4xx² + 1. Jej mianownik nie może być zerem.
Każda funkcja homograficzna jest wymierna, ale nie każda funkcja wymierna jest homograficzna.
Przykład. Wyznaczamy dziedzinę.
Dana jest funkcja f(x) = x + 3x² − 9. Szukamy takich liczb x, które zerują mianownik – tych nie wolno podstawiać.
Odpowiedź: D = ℝ ∖ {−3, 3}.
2. Parzystość, nieparzystość i różnowartościowość – przypomnienie
Te własności poznaliśmy już przy innych funkcjach. Przypomnijmy je teraz na przykładach funkcji wymiernych – najpierw na wykresach, a potem na rachunkach.
Funkcja parzysta
Definicja: funkcja jest parzysta, gdy dla każdej liczby z dziedziny zachodzi f(−x) = f(x).
Po ludzku: dla liczby i jej przeciwnej wynik jest taki sam.
Na wykresie: prawa i lewa część są swoim lustrzanym odbiciem względem osi OY.
Przykład: f(x) = 4x²(x + 5)(x − 5).
Tutaj wyraźnie widać symetrię względem osi OY.
Przykład – sprawdzamy parzystość rachunkowo. Dana jest funkcja f(x) = 4x²x² − 25 i dziedzina ℝ ∖ {−5, 5}. Zamieniamy x na −x:
Dziedzina jest symetryczna: jeśli wolno podstawić x, wolno też −x. Zatem funkcja jest parzysta.
Funkcja nieparzysta
Definicja: funkcja jest nieparzysta, gdy dla każdej liczby z dziedziny zachodzi f(−x) = −f(x).
Po ludzku: gdy zmienimy x na liczbę przeciwną, wynik też zmienia znak na przeciwny.
Na wykresie: wykres ma symetrię względem punktu (0, 0).
Przykład: f(x) = 6xx² + 1.
Jeśli punkt (2, f(2)) leży na wykresie, to punkt (−2, −f(2)) też musi na nim leżeć.
Przykład – sprawdzamy nieparzystość rachunkowo. Dana jest funkcja f(x) = 6xx² + 1. Podstawiamy −x:
Dziedziną jest ℝ, więc warunek symetrii dziedziny też jest spełniony. Zatem funkcja jest nieparzysta.
Funkcja różnowartościowa
Definicja: funkcja jest różnowartościowa, gdy różne argumenty dają różne wyniki.
Po ludzku: jeden wynik nie może „powtórzyć się” dla dwóch różnych liczb x.
Na wykresie: każda prosta równoległa do osi OX przecina wykres najwyżej raz.
Przykład: f(x) = (x + 2)²6 + x − x².
Pozioma linia y = 2 ma jeden punkt wspólny z wykresem. Dla różnowartościowości tak musi być na każdej wysokości. Kółko przy x = −2 oznacza punkt wykluczony z dziedziny.
Przykład – jak sprawdzamy różnowartościowość rachunkowo? Dla dowolnych x₁, x₂ z dziedziny zakładamy f(x₁) = f(x₂). Jeśli z tego wynika, że x₁ = x₂, funkcja jest różnowartościowa.
W tym przypadku po rozkładzie mianownika otrzymujemy (z zachowaniem pierwotnej dziedziny):
Dlaczego to pomaga? Po skróceniu można już łatwo zastosować mnożenie na krzyż. Pełny dowód przećwiczysz w zadaniu na końcu lekcji.
Funkcja nieróżnowartościowa
Definicja: funkcja jest nieróżnowartościowa, jeśli co najmniej dwa różne argumenty dają ten sam wynik.
Po ludzku: możemy znaleźć dwie różne liczby x, dla których f(x) jest takie samo.
Na wykresie: istnieje pozioma prosta, która przecina wykres co najmniej dwa razy.
Przykład: f(x) = x²x² + 1. Dla x = −1 i x = 1 otrzymujemy tę samą wartość 1/2.
Pomarańczowa prosta na wysokości 1/2 przecina wykres dwukrotnie, więc funkcja nie jest różnowartościowa.
3. Miejsca zerowe funkcji wymiernej
Miejsce zerowe to taka liczba x, dla której f(x) = 0. Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest zerem, a mianownik nie jest zerem. Dlatego zawsze najpierw sprawdzamy dziedzinę.
Przykład. Wyznaczamy miejsca zerowe.
f(x) = x² − 4x − 2
Krok 1. Dziedzina: x ≠ 2.
Krok 2. Rozkładamy licznik na czynniki:
Krok 3. Licznik zeruje się dla x = 2 lub x = −2. Ale x = 2 jest poza dziedziną!
Odpowiedź: jedynym miejscem zerowym jest x = −2.
4. Kiedy funkcja jest dodatnia, a kiedy ujemna?
Funkcja jest dodatnia, gdy jej wykres leży nad osią OX, czyli f(x) > 0. Jest ujemna, gdy wykres leży pod osią OX, czyli f(x) < 0.
Ustalamy znaki licznika i mianownika. Pamiętamy: minus podzielony przez minus daje plus; plus podzielony przez minus daje minus.
Przykład. Rozwiązujemy nierówność wymierną.
Rozwiąż x − 4x + 2 < 0.
Krok 1. Dziedzina: x ≠ −2.
Krok 2. Mnożymy obie strony nierówności przez kwadrat mianownika. Ponieważ (x + 2)² > 0 dla x ≠ −2, znak nierówności się nie zmienia.
Krok 3. Miejsca zerowe iloczynu: x = −2 i x = 4. Współczynnik przy x² jest dodatni, więc parabola leży poniżej osi OX między tymi liczbami.
Odpowiedź: x ∈ (−2, 4). Punkt −2 wykluczamy także z dziedziny, a 4 nie należy do rozwiązania, bo nierówność jest ostra.
5. Co zrobić, gdy licznik ma wyższą potęgę?
Jeśli w liczniku pojawia się x³, często najwygodniej rozłożyć wielomian na czynniki. Gdy znamy jedno miejsce zerowe, możemy podzielić wielomian przez odpowiadający mu dwumian.
Przykład. Funkcja z wielomianem trzeciego stopnia.
Rozpatrzmy funkcję g(x) = x³ − 13x − 12(x + 2)(x + 3).
Krok 1. Dziedzina: x ≠ −2 i x ≠ −3.
Krok 2. Sprawdzamy x = 4: 4³ − 13 · 4 − 12 = 64 − 52 − 12 = 0. Zatem licznik jest podzielny przez x − 4.
Krok 3. Skracamy czynnik x + 3, ale zachowujemy pierwotną dziedzinę.
Krok 4. Miejsca zerowe: x = −1 oraz x = 4. Liczba −3 nie jest miejscem zerowym, bo nie należy do dziedziny.
Krok 5. Badamy znaki na przedziałach wyznaczonych przez −3, −2, −1 i 4.
| Przedział | x < −3 | −3 < x < −2 | −2 < x < −1 | −1 < x < 4 | x > 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Znak g(x) | − | − | + | − | + |
Odpowiedź: g(x) < 0 dla x ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, −2) ∪ (−1, 4).
6. Jak znaleźć największą wartość funkcji wymiernej?
Zobacz prosty pomysł: jeśli w liczniku mamy dodatnią, stałą liczbę, to cały ułamek jest tym większy, im mniejszy jest dodatni mianownik.
Przykład. Największa wartość funkcji.
Wyznacz największą wartość funkcji f(x) = 142x² + x + 1.
Krok 1. Sprawdzamy mianownik. Jest to funkcja kwadratowa q(x) = 2x² + x + 1. Jej ramiona są skierowane w górę, bo 2 > 0.
Krok 2. Wyznaczamy argument wierzchołka paraboli:
Krok 3. Obliczamy najmniejszą wartość mianownika:
Krok 4. Największą wartość ułamka dostaniemy, dzieląc 14 przez najmniejszy mianownik:
Odpowiedź: największa wartość wynosi 16 i jest przyjmowana dla x = −1/4.
Punkt zielony pokazuje maksimum funkcji: (−1/4; 16).
7. Zbiór wartości – jakie wyniki może dawać funkcja?
Dziedzina mówi, jakie liczby możemy podstawić za x. Zbiór wartości mówi, jakie wyniki y możemy otrzymać.
Przykład. Wyznaczamy zbiór wartości z wyróżnika Δ.
Dana jest funkcja h(x) = 4xx² + 1. Jej dziedzina to ℝ, bo x² + 1 > 0 dla każdego x.
Krok 1. Zapisujemy y = h(x). Chcemy sprawdzić, dla jakich y można znaleźć przynajmniej jedno rzeczywiste x.
Krok 2. Traktujemy to jako równanie z niewiadomą x. Aby miało rzeczywiste rozwiązanie, jego wyróżnik musi spełniać Δ ≥ 0. Dla y = 0 równanie jest liniowe i ma rozwiązanie x = 0 – również należy do zbioru wartości.
Krok 3. Sprawdzamy końce: dla x = 1 mamy h(1) = 2, a dla x = −1 mamy h(−1) = −2.
Odpowiedź: ZW = [−2, 2].
Zielone punkty to (−1; −2) i (1; 2). Wykres nie wychodzi ponad 2 ani poniżej −2.
8. Co warto wiedzieć o parametrze i dziedzinie?
W zadaniach z parametrem zwykle nie szukamy x, lecz wartości parametru, dla których mianownik ma określone własności. Jeśli mianownik jest trójmianem kwadratowym, często używamy delty.
Przykład. Kiedy dziedziną jest cały zbiór ℝ?
Rozważmy f(x) = 1x² + mx + 4. Dla jakich m mianownik nigdy nie jest zerem?
Krok 1. Mianownik jest trójmianem kwadratowym z dodatnim współczynnikiem przy x².
Krok 2. Aby nie miał rzeczywistych miejsc zerowych, musi zachodzić Δ < 0.
Odpowiedź: m ∈ (−4, 4).
9. Zadania do samodzielnego rozwiązania
Najpierw spróbuj samodzielnie. Dopiero potem rozwiń rozwiązanie i sprawdź każdy krok.
Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = x + 4x² − x − 6.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Rozkładamy mianownik: x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2).
Krok 2. Mianownik jest zerem dla x = 3 lub x = −2, więc te liczby wykluczamy.
Odpowiedź: D = ℝ ∖ {−2, 3}.
Zadanie 2. Wyznacz miejsca zerowe funkcji f(x) = (x − 1)(x + 3)(x + 3)(x − 4).
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Dziedzina: x ≠ −3 oraz x ≠ 4.
Krok 2. Zerujemy licznik: (x − 1)(x + 3) = 0, więc x = 1 lub x = −3.
Krok 3. x = −3 odrzucamy, bo nie należy do dziedziny.
Odpowiedź: miejsce zerowe x = 1.
Zadanie 3. Rozwiąż nierówność x − 3x + 1 ≥ 0.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Dziedzina: x ≠ −1.
Krok 2. Mnożymy przez dodatni kwadrat mianownika:
Krok 3. Parabola ma ramiona skierowane w górę i miejsca zerowe −1 oraz 3. Jest nieujemna na zewnątrz przedziału między pierwiastkami.
Krok 4. Dodajemy 3 (miejsce zerowe należy do rozwiązania), ale usuwamy −1 (poza dziedziną).
Odpowiedź: x ∈ (−∞, −1) ∪ [3, +∞).
Zadanie 4. Dana jest funkcja f(x) = x³ − ax − 12(x + 2)(x + 3). Wiadomo, że liczba 4 jest miejscem zerowym. Oblicz a.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Dziedzina: x ≠ −2, −3. Liczba 4 jest dozwolona.
Krok 2. Miejsce zerowe oznacza f(4) = 0; licznik musi być równy 0:
Odpowiedź: a = 13.
Zadanie 5. Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 2 − 10xx² + 25.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Mianownik x² + 25 jest zawsze dodatni, więc D = ℝ.
Krok 2. Korzystamy z nierówności (x − 5)² ≥ 0 i (x + 5)² ≥ 0:
Krok 3. Zatem −1 ≤ 10x/(x²+25) ≤ 1. Po odjęciu od 2 otrzymujemy 1 ≤ f(x) ≤ 3.
Krok 4. Dla x = 5 mamy f(5) = 1, a dla x = −5 mamy f(−5) = 3. Wszystkie wartości pomiędzy nimi też występują, ponieważ funkcja jest ciągła.
Odpowiedź: ZW = [1, 3].
Zadanie 6. Wykaż, że funkcja f(x) = 2xx² + 1 przyjmuje tylko wartości z przedziału [−1, 1].
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Dziedzina to ℝ, bo x² + 1 > 0.
Krok 2. Pokazujemy górne ograniczenie:
Krok 3. Pokazujemy dolne ograniczenie:
Krok 4. Oba kwadraty są nieujemne. Równość występuje dla x = 1 i x = −1.
Odpowiedź: ZW = [−1, 1].
Zadanie 7. Wykaż, że dla każdego x ∈ ℝ zachodzi −12 ≤ x1 + x² ≤ 12.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Mianownik 1 + x² jest dodatni dla każdego x. Możemy pomnożyć nierówności przez 2(1+x²), bez zmiany znaku.
Krok 2. Udowadniamy prawą nierówność:
Krok 3. Udowadniamy lewą nierówność:
Krok 4. Każdy kwadrat jest nieujemny. Dla x = −1 występuje równość po lewej, a dla x = 1 po prawej.
Odpowiedź: nierówność jest prawdziwa dla każdego x ∈ ℝ.
Zadanie 8. Wykaż, że dla każdego x ∈ ℝ zachodzi 2 ≤ 3x² − 4x + 12x² + 4 ≤ 4.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Dziedzina: ℝ, bo x² + 4 > 0.
Krok 2. Udowadniamy dolne ograniczenie:
Krok 3. Udowadniamy górne ograniczenie:
Krok 4. Oba kwadraty są nieujemne. Równość 2 uzyskujemy dla x = 2, a równość 4 dla x = −2.
Odpowiedź: nierówność zachodzi dla każdego x ∈ ℝ.
Zadanie 9. Dla jakich m dziedziną funkcji f(x) = 5x² + mx + 9 jest ℝ?
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Mianownik nigdy nie może być zerem, czyli trójmian x² + mx + 9 nie może mieć pierwiastków rzeczywistych.
Krok 2. Liczymy deltę i wymagamy Δ < 0:
Odpowiedź: m ∈ (−6, 6).
Zadanie 10. Wykaż, że funkcja f(x) = 6xx² + 1 jest nieparzysta.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Dziedzina to ℝ i jest symetryczna względem zera.
Krok 2. Podstawiamy −x zamiast x:
Krok 3. Warunek f(−x) = −f(x) spełnia się dla każdego x.
Odpowiedź: funkcja jest nieparzysta, a jej wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
Zadanie 11. Wykaż, że funkcja f(x) = (x + 2)²6 + x − x² jest różnowartościowa.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wyznaczamy dziedzinę. Rozkładamy mianownik na czynniki:
Dlatego D = ℝ ∖ {−2, 3}.
Krok 2. Upraszczamy wzór. Skracamy przez (x + 2), ale nie przywracamy wykluczonej liczby −2 do dziedziny!
Krok 3. Zakładamy, że dwa argumenty dają ten sam wynik. Nie wybieramy konkretnych liczb: dowód musi działać dla dowolnych x₁, x₂ należących do dziedziny.
Krok 4. Mnożymy na krzyż (oba mianowniki są różne od zera, bo x₁ i x₂ należą do dziedziny):
Krok 5. Wniosek. Pokazaliśmy, że jeśli wartości funkcji są równe, to argumenty muszą być takie same. Nie ma więc dwóch różnych argumentów dających ten sam wynik.
Odpowiedź: funkcja jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.
| Polecenie | Co robimy? |
|---|---|
| Podaj dziedzinę | Przyrównaj mianownik do zera i wyklucz jego pierwiastki. |
| Wyznacz miejsca zerowe | Przyrównaj licznik do zera i sprawdź dziedzinę. |
| Rozwiąż nierówność | Ustal dziedzinę, pomnóż przez kwadrat mianownika i sprawdź znaki. |
| Znajdź największą wartość | Przeanalizuj mianownik, np. za pomocą wierzchołka paraboli. |
| Wyznacz zbiór wartości | Zapisz y = f(x), a następnie sprawdź, dla jakich y istnieje rzeczywiste x. |
| Udowodnij podwójną nierówność | Sprawdź osobno obie strony i szukaj kwadratu wyrażenia. |
| Sprawdź parzystość | Oblicz f(−x) i sprawdź, czy f(−x) = f(x). |
| Sprawdź nieparzystość | Oblicz f(−x) i sprawdź, czy f(−x) = −f(x). |
| Wykaż różnowartościowość | Załóż f(x₁) = f(x₂) i wykaż, że x₁ = x₂. |