Funkcja wymierna – sprawdzian

Krótka powtórka przed sprawdzianem

Dziedzina

W mianowniku nigdy nie może być 0. Zawsze rozpocznij od założenia, że mianownik ≠ 0.

Równania i nierówności

W równaniach pozbądź się mianowników po ustaleniu dziedziny. W nierównościach sprawdzaj znak mianownika!

Hiperbola
y = ax − p + q

Dziedzina: x ≠ p. Zbiór wartości: y ≠ q (dla a ≠ 0). Asymptoty: x = p i y = q.

Przesuwanie wykresów
g(x) = f(x − p) + q

Wektor [p, q] przesuwa wykres o p jednostek poziomo i q pionowo.

Miejsce zerowe: rozwiąż f(x) = 0. Punkt przecięcia z osią OY: oblicz f(0), jeśli 0 należy do dziedziny.

Jak pracować? Wybierz grupę A lub B, rozwiąż zadania i wpisz odpowiedzi. Kliknij „Sprawdź odpowiedź”, a następnie rozwiń rozwiązanie, jeśli potrzebujesz podpowiedzi. Sprawdzanie dowodu i samodzielnego rysunku ma charakter pomocniczy – nie zastępuje oceny pełnego toku rozumowania. Każda grupa ma 17 punktów.

Grupa A

Sprawdzono: 0 z 7 zadań
Zadanie 12 pkt

Rozwiąż równanie:

x − 73x − 2x + 1 = 0

Możesz wpisać √43, sqrt(43), ułamek lub przybliżenie dziesiętne. Kolejność pierwiastków jest dowolna.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
1
Ustal dziedzinę.

Mianowniki 3x i x + 1 muszą być różne od zera.

x ≠ 0 oraz x ≠ −1
2
Pomnóż przez wspólny mianownik.
(x − 7)(x + 1) − 6x = 0

Wolno wykonać ten krok, bo wykluczyliśmy miejsca zerowe mianowników.

3
Usuń nawiasy i uporządkuj.
x² + x − 7x − 7 − 6x = 0
x² − 12x − 7 = 0
4
Oblicz wyróżnik Δ.
Δ = (−12)² − 4 · 1 · (−7) = 144 + 28 = 172
√Δ = 2√43
5
Wyznacz rozwiązania.
x₁ = 12 − 2√432 = 6 − √43
x₂ = 12 + 2√432 = 6 + √43

Obydwa wyniki spełniają warunki dziedziny.

Odpowiedź: x ∈ {6 − √43; 6 + √43}.
Zadanie 22 pkt

Dana jest funkcja:

f(x) = 2x

Wykaż, że:

f(1 − √2) + f(1√2 + 1) = 0

Program sprawdzi końcową liczbę. Poprawność uzasadnienia ocenisz po rozwinięciu rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
1
Podstaw pierwszy argument.
f(1 − √2) = 21 − √2
2
Usuń niewymierność z mianownika.

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone: 1 + √2.

2(1 + √2)(1 − √2)(1 + √2)
(1 − √2)(1 + √2) = 1 − 2 = −1
f(1 − √2) = −2(1 + √2)
3
Oblicz drugi składnik.
f(1√2 + 1) = 21√2 + 1 = 2(1 + √2)
4
Dodaj wyniki i wyciągnij wniosek.
−2(1 + √2) + 2(1 + √2) = 0

Wartość sumy wynosi 0, co należało wykazać.

Odpowiedź: 0. Ważne: sam wynik to nie dowód — na sprawdzianie trzeba pokazać rachunki.
Zadanie 31 pkt

Dziedziną wyrażenia

3x − 1x² + 5x

jest:

Zaznacz jedną odpowiedź:
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
1
Rozłóż mianownik na czynniki.
x² + 5x = x(x + 5)
2
Znajdź wartości zakazane.
x(x + 5) ≠ 0
x ≠ 0 oraz x ≠ −5
Odpowiedź: A. ℝ ∖ {0; −5}.
Zadanie 43 pkt

Rozwiąż nierówność:

|x|2x − 1 < 2

Uzupełnij granice zbioru (-∞; a) ∪ (b; +∞) i zaznacz, czy końce należą do zbioru.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
1
Dziedzina i punkty podziału.
2x − 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ ½

Rozważamy dwa punkty: x = 0 i x = ½. Jeden wynika z wartości bezwzględnej, drugi z miejsca zerowego mianownika.

2
Podziel oś liczbową na trzy przedziały.

Oś liczbowa — podział na trzy przedziały:

0½ IIIIII x

Pełne kółko oznacza punkt należący do danego przypadku, a puste — punkt wyłączony.

x < 0;   0 ≤ x < ½;   x > ½
3
Rozwiąż nierówność osobno w każdym przypadku.
Przypadek I: x < 0

W tym przedziale |x| = −x, a mianownik 2x − 1 jest ujemny. Mnożymy przez niego i odwracamy znak nierówności.

−x2x − 1 < 2
−x > 4x − 2
−5x > −2
x < 25

Część wspólna z założeniem:

x ∈ (−∞; 0)
Przypadek II: 0 ≤ x < ½

W tym przedziale |x| = x, ale mianownik nadal jest ujemny. Po pomnożeniu znak nierówności znowu się odwraca.

x2x − 1 < 2
x > 4x − 2
−3x > −2
x < 23

Część wspólna z założeniem:

x ∈ [0; ½)
Przypadek III: x > ½

W tym przedziale |x| = x, a mianownik jest dodatni. Mnożymy bez zmiany znaku.

x2x − 1 < 2
x < 4x − 2
−3x < −2
x > 23

Część wspólna z założeniem:

x ∈ (⅔; +∞)
4
Połącz rozwiązania z trzech przypadków.
(−∞; 0) ∪ [0; ½) ∪ (⅔; +∞)

Łączymy przylegające fragmenty, pamiętając, że miejsce zerowe mianownika jest wyłączone, a nierówność jest ostra.

x ∈ (−∞; ½) ∪ (⅔; +∞)
Odpowiedź: x ∈ (−∞; ½) ∪ (⅔; +∞).
Zadanie 52 pkt

Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji:

f(x) = 2x + 1x − 1
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
1
Wyznacz dziedzinę.
x − 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1
2
Przekształć wzór do postaci kanonicznej.
f(x) = 2 + 3x − 1

Można to zrobić przez podzielenie licznika przez mianownik albo zapisanie licznika jako wielokrotności mianownika i reszty.

3
Odczytaj zbiór wartości.

Część ułamkowa nigdy nie wynosi 0, dlatego funkcja nie przyjmuje wartości 2.

D = ℝ ∖ {1}, W = ℝ ∖ {2}
Odpowiedź: D = ℝ ∖ {1}, W = ℝ ∖ {2}.
Zadanie 61 pkt

Mianownik ułamka jest o 3 większy od jego licznika. Gdyby licznik i mianownik tego ułamka zmniejszyć o 2, to ułamek byłby równy 0,5.

Suma licznika i mianownika tego ułamka jest równa:

Zaznacz jedną odpowiedź:
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
1
Oznacz licznik przez x.
Licznik: x,   mianownik: x + 3
2
Ułóż równanie.
x − 2x + 1 = 12

Po zmniejszeniu licznika i mianownika o 2 ułamek ma wartość 0,5 = 12.

3
Rozwiąż równanie.
2(x − 2) = x + 1
2x − 4 = x + 1
x = 5
4
Wyznacz sumę i sprawdź.
5 + 8 = 13
5 − 28 − 2 = 36 = 0,5
Odpowiedź: A. 13.
Zadanie 76 pkt

Funkcję

f(x) = 1x

przesunięto o wektor p⃗ = [2; 1]. Otrzymaną funkcję oznacz jako g(x).

a) (2 pkt) We wspólnym układzie współrzędnych narysuj wykresy f(x) oraz g(x).

Układ do samodzielnego narysowania wykresów (na ekranie lub na kartce):

xy-6-5-4-3-2-112345678-5-4-3-2-112345
b) (2 pkt) Napisz wzór g(x) oraz podaj jej dziedzinę i zbiór wartości.
c) (1 pkt) Wyznacz miejsce zerowe funkcji g(x).
d) (1 pkt) Podaj punkt przecięcia wykresu g(x) z osią OY.

Sprawdzenie podpunktów

a) Sprawdź asymptoty przesuniętej funkcji (samego rysunku program nie ocenia).

b) Podaj wzór, wartość wykluczoną z dziedziny i wartość wykluczoną ze zbioru wartości.
c–d) Wpisz otrzymane współrzędne.

Wzór g(x) wpisz np. 1/(x−2)+1 (grupa A) lub 1/(x−3)−1 (grupa B). Uznawane są również równoważne postacie.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

a) Wykres i asymptoty

Oryginalna hiperbola f(x) = 1x ma asymptoty x = 0 oraz y = 0.

Wektor [2; 1] przesuwa wykres o 2 jednostki w prawo i o 1 w górę. Nowe asymptoty to x = 2 i y = 1.

xy-6-5-4-3-2-112345678-5-4-3-2-112345
f(x) = 1/xg(x) = 1/(x − 2) + 1

b) Wzór, dziedzina, zbiór wartości

1
Zastosuj wzór na przesunięcie.
g(x) = f(x − 2) + 1
g(x) = 1x − 2 + 1
2
Podaj dziedzinę.
x − 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2
D = ℝ ∖ {2}
3
Podaj zbiór wartości.

Wyrażenie 1x − 2 nigdy nie jest zerem, więc po przesunięciu o 1 nie otrzymamy wartości 1.

W = ℝ ∖ {1}

c) Miejsce zerowe

1
Przyjmij g(x) = 0.
1x − 2 + 1 = 0
2
Przekształć.
1x − 2 = −1
1 = −(x − 2)
x = 1
Odpowiedź: x = 1, punkt (1; 0).

d) Przecięcie z OY

1
Podstaw x = 0, ponieważ na osi OY x jest równe 0.
g(0) = 10 − 2 + 1
2
Oblicz wartość funkcji.
g(0) = 12
Odpowiedź: Punkt (0; 12).
Ważne: automatyczny komunikat „Poprawnie” oznacza poprawność wpisanego wyniku lub zaznaczenia. Za pełne punkty w sprawdzianie wymagane są również odpowiednie obliczenia, uzasadnienie w zadaniu 2 i samodzielnie narysowany wykres w zadaniu 7a. Sprawdzanie nie zapisuje odpowiedzi na serwerze.

Chcesz przerobić ten temat na spokojnie?

Umów bezpłatną lekcję próbną — wytłumaczę Ci wszystko krok po kroku.

Umów lekcję próbną